একটি পৃথক ইউনিফর্ম বিতরণ প্রতিস্থাপন ছাড়াই টানা নমুনার মধ্যে সর্বাধিক ফাঁক

Question

এই সমস্যাটি রোবোটিক কভারেজে আমার ল্যাবের গবেষণার সাথে সম্পর্কিত:

সেটটি থেকে এলোমেলোভাবে সংখ্যাগুলি আঁকুন replacement প্রতিস্থাপন ছাড়াই, এবং সংখ্যাটিকে ক্রমবর্ধমান ক্রমে সাজান। ।$n$$\{1,2,\ldots,m\}$$1\le n\le m$

numbers সংখ্যার এই সাজানো তালিকা থেকে একটানা সংখ্যা এবং সীমানার মধ্যে পার্থক্য তৈরি করুন: । এটি ফাঁক দেয় ।$\{a_{(1)},a_{(2)},…,a_{(n)}\}$$g = \{a_{(1)},a_{(2)}−a_{(1)},\ldots,a_{(n)}−a_{(n-1)},m+1-a_{(n)}\}$$n+1$

সর্বোচ্চ ব্যবধানের বিতরণ কী?

$P(\max(g) = k) = P(k;m,n) = ?$

এটি অর্ডার পরিসংখ্যান ব্যবহার করে ফ্রেম করা যেতে পারে : $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = ?$

ফাঁকগুলির বিতরণের জন্য লিঙ্কটি দেখুন , তবে এই প্রশ্নটি সর্বোচ্চ ফাঁকগুলির বিতরণ জিজ্ঞাসা করে ।

আমি গড় মান, \ mathbb {E} [g _ {(n + 1)}] দিয়ে সন্তুষ্ট হয়েছি $\mathbb{E}[g_{(n+1)}]$।

যদি $n=m$ সমস্ত ফাঁক হয় তবে আকার 1 n যদি এন + 1 = মি 2$n+1 = m$ আকারের একটি ফাঁক হয় , এবং n + 1 সম্ভাব্য অবস্থানগুলি। সর্বাধিক গ্যাপের আকার এম-এন + 1 , এবং এই ফাঁকটি মোট এন + 1 সম্ভাব্য পজিশনের জন্য, যে কোনও এন সংখ্যার আগে বা পরে স্থাপন করা যেতে পারে । সর্বাধিকতম সর্বাধিক গ্যাপের আকার \ lceil \ frac {mn} {n + 1} ce rceil । কোনো সমন্বয় সম্ভাবনা নির্ধারণ টি = {M N চয়ন \} ^ {- 1} । $2$$n+1$$m-n+1$$n$$n+1$$\lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil$$T= {m \choose n}^{-1}$

আমি P (g _ {(n + 1)} = কে) = পি (কে; এম, এন) = \ আরম্ভ {কেস} 0 & কে <ce লিসিল \ ফ্র্যাক {এমএন} as হিসাবে সম্ভাব্য ভর কার্যকারিতা আংশিক সমাধান করেছি $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = \begin{cases} 0 & k < \lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil\\ 1 & k = \frac{m-n}{n+1} \\ 1 & k = 1 \text{ (occurs when $m=n$)} \\ T(n+1)& k = 2 \text{ (occurs when $m=n+1$)} \\ T(n+1)& k = \frac{m-(n-1)}{n} \\ ? & \frac{m-(n-1)}{n} \le k \le m-n+1 \\ T(n+1)& k = m-n+1\\ 0 & k > m-n+1 \end{cases} \tag{1}$

বর্তমান কাজ (1): প্রথম ফাঁক, একটি _ {(1)} এর সমীকরণটি $a_{(1)}$সোজা:

$$P(a_{(1)} = k) = P(k;m,n) = \frac{1}{{m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1}$$ প্রত্যাশিত মানটির একটি সাধারণ মান রয়েছে: $\mathbb{E}[P(a_{(1)})] = \frac{1}{ {m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1} k = \frac{m-n}{1+n}$ । প্রতিসাম্য দ্বারা, আমি আশা করি যে সমস্ত $n$ ফাঁকগুলি এই বন্টন হবে। সম্ভবত এই বিতরণ থেকে $n$ বার অঙ্কন করে সমাধানটি সন্ধান করা যেতে পারে ।

বর্তমান কাজ (2): মন্টি কার্লো সিমুলেশনগুলি চালানো সহজ।

simMaxGap[m_, n_] := Max[Differences[Sort[Join[RandomSample[Range[m], n], {0, m+1}]]]];
m = 1000; n = 1; trials = 100000;
SmoothHistogram[Table[simMaxGap[m, n], {trials}], Filling -> Axis,
Frame -> {True, True, False, False},
FrameLabel -> {"k (Max gap)", "Probability"},
PlotLabel -> StringForm["m=``,n=``,smooth histogram of maximum map for `` trials", m, n, trials]][![enter image description here][1]][1]

Comments

এই শর্তগুলির সাথে আপনার অবশ্যই এন <= মি। আমার মনে হয় আপনি g = {a_ (1), a_ (2) -a_ (1), ..., a_ (n) -a_ (n-1) want চান} এলোমেলোভাবে নির্বাচিত হওয়ার অর্থ কি প্রথম অঙ্কে সম্ভাব্যতা 1 / মি সহ প্রতিটি সংখ্যা নির্বাচন করা? যেহেতু আপনি প্রতিস্থাপন করবেন না সম্ভাবনাটি দ্বিতীয়টিতে 1 / (মি -1) এবং এমথ অঙ্কনে 1-এ নেমে যদি n = m থাকে। যদি এন <এম এটি প্রথম ড্র হয় তবে সম্ভাব্যতা 1 / (এম- (এন -1)) এর সাথে থাকবে নবম ড্রতে stop

— মাইকেল আর চেরনিক

আপনার মূল বিবরণটি কোনও অর্থহীন নয়, কারণ (আমি বিশ্বাস করি) আপনি দুটি সাবস্ক্রিপ্ট স্থানান্তরিত করেছেন। দয়া করে যাচাই করুন যে আমার সম্পাদনাটি আপনার অভিপ্রায় অনুসারে রয়েছে: বিশেষত, দয়া করে নিশ্চিত করুন যে আপনি সেখানে ফাঁক থাকতে চান, যার মধ্যে । প্রথম। $g$$n$$a_{(1)}$

— হুড়হুড়ি

@ গুং আমি মনে করি এটি আত্ম-অধ্যয়নের চেয়ে গবেষণাটি

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা 18

আমি মনে করি আপনার সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিক গ্যাপের মাপ এবং হওয়া উচিত । একটানা পূর্ণসংখ্যা নির্বাচন করা হলে সর্বনিম্ন ব্যবধানের আকার হ'ল এবং আপনি যখন এবং প্রথম পূর্ণসংখ্যা (বা এবং ) নির্বাচন করেন তখন সর্বাধিক ফাঁক আকার হয়$1$$m-n+1$$m$$n-1$$1,\dots,n-1$$1$$m-n+2,\dots,m$

— সম্ভাব্যতাব্লোগিক

ধন্যবাদ মাইকেল চেরনিক এবং সম্ভাব্যতা সম্পর্কিত, আপনার সংশোধন করা হয়েছে। সংশোধন করার জন্য আপনাকে @ শুভ ধন্যবাদ!

— অ্যারোনবেকার

Answer 1

যাক সুযোগ যে ন্যূনতম হতে , সমান ; যে, নমুনা নিয়ে গঠিত এবং এর -subset । সেখানে মতো সাবসেটগুলি সমানভাবে সম্ভাব্য বাইরে রয়েছে$f(g;n,m)$$a_{(1)}$$g$$g$$n-1$$\{g+1,g+2,\ldots,m\}$$\binom{m-g}{n-1}$$\binom{m}{n}$

$$\Pr(a_{(1)}=g = f(g;n,m) = \frac{\binom{m-g}{n-1}}{\binom{m}{n}}.$$

যোগ করার পদ্ধতি সব সম্ভাব্য মান জন্য তার চেয়ে অনেক বেশী বেঁচে থাকার ফাংশন উৎপাদ$f(k;n,m)$$k$$g$

$$\Pr(a_{(1)} \gt g) = Q(g;n,m)= \frac{(m-g)\binom{m-g-1}{n-1}}{n \binom{m}{n}}.$$

যাক হতে দৈব চলক বৃহত্তম ফাঁক কর্তৃক প্রদত্ত:$G_{n,m}$

$$G_{n,m} = \max\left(a_{(1)}, a_{(2)}-a_{(1)}, \ldots, a_{(n)}-a_{(n-1)}\right).$$

(এটি এবং মধ্যে ফাঁক অন্তর্ভুক্ত করার আগে এটি সংশোধন করার আগে এই প্রশ্নের উত্তর দেয় )$a_{(n)}$$m$ আমরা এর বেঁচে থাকার ক্রিয়া গণনা করব যা থেকে of এর সম্পূর্ণ বিতরণ সহজেই উদ্ভূত হয়। পদ্ধতিটি দিয়ে শুরু হওয়া একটি গতিশীল প্রোগ্রাম , যার জন্য এটি স্পষ্ট

$$P(g;n,m)=\Pr(G_{n,m}\gt g),$$ $G_{n,m}$$n=1$

$$P(g;1,m) = \Pr(G_{1,m} \gt 1) = \frac{m-g}{m},\ g=0, 1, \ldots, m.\tag{1}$$

বৃহত্তর , নোট করুন যে ইভেন্ট হল ইভেন্টটির ইউনিয়ন$n\gt 1$$G_{n,m}\gt g$

$$a_{1} \gt g,$$

যার জন্য প্রথম ব্যবধানটি ছাড়িয়ে গেছে এবং পৃথক ইভেন্ট$g$$g$

$$a_{1}=k\text{ and } G_{n-1,m-k} \gt g, \ k=1, 2, \ldots, g$$

যার জন্য প্রথম ব্যবধানটি সমান এবং চেয়ে বড় ব্যবধানটি নমুনায় পরে আসে। মোট সম্ভাবনার আইন এই ইভেন্টগুলির সম্ভাব্যতাগুলি যুক্ত করে, কোথাও যুক্ত করে$k$$g$

$$P(g;n,m) = Q(g;n,m) + \sum_{k=1}^g f(k;n,m) P(g;n-1,m-k).\tag{2}$$

ফিক্সিং এবং দ্বি-মুখী অ্যারে রাখুন এবং আমরা ব্যবহার করে গণনা করতে পারি এর প্রথম সারিটি পূরণ করতে এবং প্রতি সারি ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে প্রতিটি ধারাবাহিক সারি পূরণ করতে । ফলস্বরূপ টেবিলটি অপারেশনে সমাপ্ত হতে পারে এবং মাধ্যমে জন্য সমস্ত টেবিলগুলি যেতে পারে ।$g$$i=1,2,\ldots,n$$j=1,2,\ldots,m$$P(g;n,m)$$(1)$$(2)$$O(gm)$$O(gmn)$$g=1$$g=m-n+1$$O(m^3n)$

এই গ্রাফগুলি জন্য থাকার ফাংশনটি । হিসাবে বেড়ে যায়, বাম দিকে গ্রাফ প্যাচসমূহ, বড় ফাঁক এর কমে সম্ভাবনা সংশ্লিষ্ট।$g\to P(g;n,64)$$n=1,2,4,8,16,32,64$$n$

বন্ধ সূত্রগুলি বিশেষত বড় জন্য অনেকগুলি বিশেষ ক্ষেত্রে পাওয়া যেতে পারে , তবে আমি সমস্ত প্রয়োগ করে এমন একটি বদ্ধ সূত্র পেতে সক্ষম হইনি । একটানা ইউনিফর্ম ভেরিয়েবলের জন্য অভিন্ন সমস্যাটির সাথে এই সমস্যাটি প্রতিস্থাপন করে ভাল আনুমানিকতা সহজেই উপলব্ধ।$P(g;n,m)$$n$$g,n,m$

শেষ , of এর প্রত্যাশা থেকে শুরু হয়ে বেঁচে থাকার ক্রিয়াটি প্রাপ্ত হবে :$G_{n,m}$$g=0$

$$\mathbb{E}(G_{n,m}) = \sum_{g=0}^{m-n+1} P(g;n,m).$$

প্রত্যাশার এই কনট্যুর প্লটটি অন্ধকার থেকে আলোর দিকে স্নাতক হওয়া এ সংক্ষিপ্তসার দেখায় ।$2, 4, 6, \ldots, 32$

Comments

প্রস্তাবনা: লাইন 'আসুন দৈব চলক বৃহত্তম ফাঁক কর্তৃক প্রদত্ত হতে: ", শেষ ফাঁক যোগ করুন । আপনার প্রত্যাশার প্লটটি আমার মন্টি কার্লো সিমুলেশনের সাথে মেলে। $G_{n,m}$$m+1-a_{n}$

— অ্যারোনবেকার