একটি 3x3 সম্পর্কিত ম্যাট্রিক্স সম্পূর্ণ করা: প্রদত্ত তিনটির দুটি সহগফল

20

একটি সাক্ষাত্কারে আমাকে এই প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল।

আসুন আমাদের বলুন যে আমাদের ফর্মটির একটি সংযুক্তি ম্যাট্রিক্স রয়েছে

[\begin{matrix} 1 & 0.6 & 0.8 \\ 0.6 & 1 & γ \\ 0.8 & γ & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}1&0.6&0.8\\0.6&1&\gamma\\0.8&\gamma&1\end{bmatrix}$

এই পারস্পরিক সম্পর্কের ম্যাট্রিক্সের ভিত্তিতে আমাকে গামার মান জানতে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল।
আমি ভেবেছিলাম আমি ইগেনভ্যালুগুলির সাথে কিছু করতে পারি, যেহেতু সেগুলি সমস্ত 0 এর চেয়ে বড় বা সমান হওয়া উচিত (ম্যাট্রিক্সকে ইতিবাচক অর্ধবৃত্ত হওয়া উচিত) - তবে আমি মনে করি না এই পদ্ধতির উত্তরটি পাওয়া যাবে। আমি একটি কৌশল মিস করছি।

আপনি কি দয়া করে এর সমাধান করার জন্য কোনও ইঙ্গিতটি সরবরাহ করতে পারেন?

pearson-r correlation-matrix

— ব্রতী
সূত্র

মন্তব্যগুলি বর্ধিত আলোচনার জন্য নয়; এই কথোপকথন চ্যাটে সরানো হয়েছে ।

— হোবল

1

এই সাইটের অনুসন্ধানের ফলে প্রাসঙ্গিক সূত্রগুলি সহ একাধিক (একাধিক) থ্রেডে নেতৃত্ব দেওয়া হয়েছিল: stats.stackexchange.com/questions/5747 । ফেলিক্স এস এর উত্তরে কিছু দরকারী প্লটও রয়েছে ।

— whuber

21

আমরা ইতিমধ্যে জানি মধ্যে বেষ্টিত পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স ইতিবাচক semidefinite হওয়া উচিত এবং অত: পর তার প্রধান অপ্রাপ্তবয়স্কদের নন-নেগেটিভ হওয়া উচিত $\gamma$ $[-1,1]$

সুতরাং,

\begin{aligned} 1 (1 - γ^{2}) - 0.6 (0.6 - 0.8 γ) + + 0.8 (0.6 γ - 0.8) & \geq 0 \\ - γ^{2} + + 0.96 γ \geq 0 \\ ⟹ γ (γ - 0.96) \leq 0 এবং - 1 \leq γ \leq 1 \\ ⟹ 0 \leq γ \leq 0.96 \end{aligned}

$\begin{align*} 1(1-\gamma^2)-0.6(0.6-0.8\gamma)+0.8(0.6\gamma-0.8) &\geq 0\\ -\gamma^2+0.96\gamma \geq 0\\ \implies \gamma(\gamma-0.96) \leq 0 \text{ and } -1 \leq \gamma \leq 1 \\ \implies 0 \leq \gamma \leq 0.96 \end{align*}$

— rightskewed
সূত্র

4

@ নভোস আপনি সিলভেস্টারের মাপদণ্ডের

— ই

দুর্দান্ত উত্তর। আমি নিম্নলিখিতটি যুক্ত করব: গামা প্রাপ্তির জনপ্রিয় উপায়টি গামাটি অনুসন্ধানের চেষ্টা করা যা উপরের সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় সবচেয়ে ছোট পারমাণবিক আদর্শ (ওরফে কে-ফ্যান আদর্শ) এর পারস্পরিক সম্পর্ক মেট্রিক্সের দিকে নিয়ে যায়। আরও তথ্যের জন্য, "ম্যাট্রিক্স সমাপ্তি," " কমপ্রেসিভ সেন্সিং" দেখুন বা বিট . ly/2iwY1nW বিষয়টিতে এই প্রতিবেদনটি দেখুন ।

— মোস্তফা এস আইসা

1

এর প্রমাণ হওয়ার জন্য আপনাকে অন্য দিকে একটি ফলাফলের প্রয়োজন: যদি সমস্ত অনানুষ্ঠানিক অগ্রণী নাবালিকাগুলি এবং ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক , তবে ম্যাট্রিক্সটি ইতিবাচক অর্ধবৃত্ত হয়।

> 0

$>0$

\geq 0

$\geq 0$

— ফেডেরিকো পোলোনি 4'17

10

এখানে একটি সহজ (এবং সম্ভবত আরও স্বজ্ঞাত) সমাধান রয়েছে:

সমাহারটিকে কোনও বিমূর্ত ভেক্টরের জায়গার উপরে একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য হিসাবে ভাবেন । তারপরে, সম্পর্কের ম্যাট্রিক্সের এন্ট্রিগুলি the vectors , , , যেখানে কৌনিক বন্ধনী -এর মানে কোণ মধ্যে এবং । $\cos\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle$ $\mathbf{v}_1$ $\mathbf{v}_2$ $\mathbf{v}_3$ $\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle$ $\mathbf{v}_i$ $\mathbf{v}_j$

এটা তোলে ঠাহর করা যে কঠিন নয় দ্বারা বেষ্টিত । (তার কোসাইন উপর আবদ্ধ ) এইভাবে হয় । বেসিক ত্রিকোণমিতি তারপরে gives দেয় $\langle\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\rangle$ $|\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\pm\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle|$ $\gamma$ $\cos\left[\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\pm\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle\right]$ । $\gamma\in[0.6\times 0.8 - 0.6\times 0.8, 0.6\times 0.8 + 0.6\times 0.8] = [0, 0.96]$

সম্পাদনা: লক্ষ্য করুন গত লাইনে সত্যিই - 0.6 এবং 0.8 এর দ্বিতীয় উপস্থিতি জন্য কাকতালীয়ভাবে ঘটে $0.6\times 0.8 \mp 0.6\times 0.8$ $\cos\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\cos\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle\mp \sin\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle\sin\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle$ $0.6^2+0.8^2=1$ ।

— yangle
সূত্র

1

+1, একটি বৈধ জ্যামিতিক যুক্তি (এটি বলার পরেও আমি আপনার গণনাগুলি পরীক্ষা করে দেখিনি)। আমি প্রশ্নের মন্তব্যে ঠিক ঠিক এটাই প্রস্তাব করেছি (দুর্ভাগ্যক্রমে, সমস্ত মন্তব্য মডারেটর দ্বারা আড্ডার জন্য স্থানান্তরিত হয়েছিল, উপরের লিঙ্কটি দেখুন)।

— ttnphns

আমার কাছে মনে হচ্ছে আপনার "প্রমাণিত" আছে যে সমস্ত পারস্পরিক সম্পর্ক অবশ্যই অ-নেতিবাচক হওয়া উচিত, কারণ এটি প্রদর্শিত হয় যে আপনার গণনা সর্বদা নিম্ন সীমাতে শূন্য দেবে। যদি এটি না হয়, তবে আপনার গণনা কীভাবে সাধারণভাবে কাজ করে তা আপনি কী ব্যাখ্যা করতে পারেন? আমি সত্যই বিশ্বাস করি না - বা বুঝতে পারি না - আপনার আবদ্ধ, কারণ তিন বা ততোধিক মাত্রায় আপনি সর্বদা একটি

খুঁজে পেতে পারেন যার জন্য উভয়

এবং তারপরে আপনার আবদ্ধ বোঝায়

সর্বদা শূন্য! (সিসি @ttnphns)

v_{1}

$v_1$

v_{1} \cdot v_{2} = v_{1} \cdot v_{3} = 0

$v_1\cdot v_2=v_1\cdot v_3=0$

v_{2} \cdot v_{3}

$v_2\cdot v_3$

— হুঁশিয়ারি

@ শুভ: বিভ্রান্তির জন্য দুঃখিত। গণনা সর্বদা নিম্ন সীমাতে শূন্য দেয় না । আমি আমার উত্তর সংশোধন করেছি।

— ইয়াঙ্গেল

আপনি আমার শেষ উদ্বেগ সাড়া কিভাবে? আপনার সীমানা ভুল বলে মনে হচ্ছে।

— whuber

@ শুভ্র: আপনার ক্ষেত্রে, 1v1, v2⟩ = ⟨v1, v3⟩ = π / 2, অতএব আবদ্ধ | ⟨v1, v2⟩ ±v1, v3⟩ | প্রত্যাশার মতো [0, π] ⟨-তে আবদ্ধ কোসোভ 1, ভি 2⟩cos⟨v1, v3⟩∓sin⟨v1, v3⟩sin⟨v1, v2⟩ এ [-1, 1] হিসাবে কাজ করে।

— ইঙ্গিতে

4

উত্তরের আমার প্রাথমিক মন্তব্যে আমি কী বোঝাতে চেয়েছি এবং @ ইয়াংল যেটি সম্পর্কে কথা বলছেন তা (যদিও আমি তাদের গণনা অনুসরণ / পরীক্ষা করি নি) is

"ম্যাট্রিক্স পজিটিভ সেমাইডাইফাইনেট হওয়া উচিত" বোঝায় ভেরিয়েবল ভেক্টর ইউক্যালিডিয়ান স্পেসে এক গুচ্ছ। পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স ক্ষেত্রে সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স তুলনায় অনেক সহজ কারণ তিনটি ভেক্টর লেন্থ 1. কল্পনা 3 ইউনিট ভেক্টর XYZ এবং মনে রাখবেন যে হতে সংশোধন করা হয় হয় কোণের কোসাইন । সুতরাং, , এবং । কি জন্য সীমানা হতে পারে $r$ $\cos \alpha=r_{xy}=0.6$ $\cos \beta=r_{yz}=0.8$ $\cos \gamma=r_{xz}$ ? যে পারস্পরিক সম্পর্ক ওয়াই (পালন কোণ সম্পর্কে জেড circumscribing দ্বারা সংজ্ঞায়িত কোনো মান নিতে পারেন এটা দিয়ে): $r_{yz}=0.8$

এটি স্পিন হিসাবে, দুটি অবস্থান চূড়ান্ত আর্ট এক্স হিসাবে উল্লেখযোগ্য, উভয়ই জেড যখন এক্সওয়াই বিমানের মধ্যে পড়ে। একটি এক্স এবং ওয়াইয়ের মধ্যে এবং অন্যটি ওয়াইয়ের বিপরীত দিকে These এগুলি নীল এবং লাল ভেক্টর দ্বারা দেখানো হয়েছে। এই উভয় অবস্থানে ঠিকই কনফিগারেশন এক্সওয়াইজেড (পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স) একবচন। এবং এগুলি হ'ল ন্যূনতম এবং সর্বাধিক কোণ (তাই পারস্পরিক সম্পর্ক) জেডটি রিং এক্স অর্জন করতে পারে

একটি সমতলে কোণগুলির পার্থক্য বা পার্থক্য গণনা করতে ত্রিকোণমিতিক সূত্রটি বাছাই করা আমাদের কাছে রয়েছে:

সীমানা হিসাবে। $\cos \gamma = r_{xy} r_{yz} \mp \sqrt{(1-r_{xy}^2)(1-r_{yz}^2)} = [0,0.96]$

এই জ্যামিতিক দৃষ্টিভঙ্গি অন্য একটি (এবং 3 ডি ক্ষেত্রে একটি নির্দিষ্ট এবং সহজ) হ'ল @ রাইটসেকেড বীজগণিত পদগুলিতে (অপ্রাপ্তবয়স্ক ইত্যাদি) কী প্রকাশ করেছেন তা দেখুন।

— ttnphns
সূত্র

যদি এক্স, ওয়াই, জেড এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয় তবে আপনি কীভাবে তাদের 3 ডি স্পেসে ভেক্টরগুলিতে ম্যাপ করবেন (তারা কেবল 1 ডি স্পেসে ভেক্টর হতে পারে)। এছাড়াও আরভি'র যদি এনএক্স 1 হয় তবে তারা এন ডাইমেনশনাল স্পেসে ভেক্টর হবে?

— নবজাতক 1

@ নভোস হ্যাঁ, তারা প্রাথমিকভাবে এনডি স্পেসে 3 জন ভেক্টর, তবে মাত্র 3 টি মাত্রা অমানবিক। অনুগ্রহ করে উত্তরের ২ য় লিঙ্কটি অনুসরণ করুন এবং বিষয়বস্তু যেখানে এটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে সেখানে আরও রেফারেন্স পড়ুন ।

— ttnphns

4

প্রধান অপ্রাপ্তবয়স্কদের সাথে চারপাশে খেলা 3 বা 3 বা 4 দ্বারা 4 টি সমস্যার জরিমানা হতে পারে তবে উচ্চতর মাত্রায় গ্যাস এবং সংখ্যাগত স্থায়িত্বের বাইরে চলে যায়।

এটির মতো একক "ফ্রি" প্যারামিটার সমস্যার জন্য, এটি দেখতে সহজ যে ম্যাট্রিক্স পিএসডি তৈরির সমস্ত মানগুলির সেটটি একক বিরতি হতে পারে। সুতরাং, ন্যূনতম এবং সর্বাধিক এই জাতীয় মানগুলি সন্ধান করা যথেষ্ট। রৈখিক সেমিডেফিনাইট প্রোগ্রামিং (এসডিপি) সমস্যার একজোড়া সংখ্যাগতভাবে সমাধানের মাধ্যমে এটি সহজেই সম্পাদন করা যায়:

ন্যূনতম γ ম্যাট্রিক্স সাপেক্ষে পিএসডি হয়।
ম্যাক্সিমাইজ γ ম্যাট্রিক্স সাপেক্ষে পিএসডি হয়।

উদাহরণস্বরূপ, ম্যাটল্যাবের অধীনে YALMIP ব্যবহার করে এই সমস্যাগুলি সূত্রবদ্ধ ও সংখ্যাগতভাবে সমাধান করা যেতে পারে।

gamma = sdpvar; এ = [1 .6 .8; .6 1 গামা; .8 গামা 1]; অনুকূলিতকরণ (এ> = 0, গামা)
অনুকূলিতকরণ (এ> = 0, -গ্যামা)

দ্রুত, সহজ এবং নির্ভরযোগ্য।

বিটিডাব্লু, যদি স্মার্ট প্যান্টের ইন্টারভিউয়ার প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করে না যে সেমিডিফিনিট প্রোগ্রামিং, যা ভালভাবে বিকশিত এবং পরিশীলিত এবং নির্ভরযোগ্যভাবে ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের জন্য সংখ্যাসূচক অপ্টিমাইজার ব্যবহার করতে পারে, এই সমস্যাটি সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে এবং আরও অনেক কিছু কঠিন রূপগুলি, তাকে / তাকে বলুন যে এটি আর 1870 নয়, এবং এটি আধুনিক গণনামূলক উন্নয়নের সুবিধা নেওয়ার সময় এসেছে।

— মার্ক এল স্টোন
সূত্র

4

আসুন নীচের উত্তল সেট বিবেচনা করা যাক

{(x, y, z) \in R^{3} : [\begin{matrix} 1 & x & y \\ x & 1 & z \\ y & z & 1 \end{matrix}] ⪰ O_{3}}

$\Bigg\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : \begin{bmatrix} 1 & x & y\\ x & 1 & z\\ y & z & 1\end{bmatrix} \succeq \mathrm O_3 \Bigg\}$

যা হয় spectrahedron নামে -dimensional elliptope । এই উপবৃত্তাকার একটি চিত্র এখানে $3$

এবং দ্বারা সংজ্ঞায়িত প্লেনগুলির সাহায্যে এই উপবৃত্তাকার ছেদ করা , আমরা একটি লাইন বিভাগ পেয়েছি যার প্রান্ত বিন্দুগুলি হলদে বর্ণযুক্ত $x=0.6$ $y=0.8$

উপবৃত্তাকার সীমাটি একটি ঘন পৃষ্ঠ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়

det [\begin{matrix} 1 & x & y \\ x & 1 & z \\ y & z & 1 \end{matrix}] = 1 + 2 x y z - x^{2} - y^{2} - z^{2} = 0

$\det \begin{bmatrix} 1 & x & y\\ x & 1 & z\\ y & z & 1\end{bmatrix} = 1 + 2 x y z - x^2 - y^2 - z^2 = 0$

$x=0.6$ $y=0.8$

0.96 z - z^{2} = z (0.96 - z) = 0

$0.96 z - z^2 = z (0.96 - z) = 0$

সুতরাং, দুটি প্লেনের সাথে উপবৃত্তের ছেদটি হ'ল লাইন বিভাগটি প্যারামিটারাইজড

{(0.6, 0.8, t) ∣ 0 \leq t \leq 0.96}

$\{ (0.6, 0.8, t) \mid 0 \leq t \leq 0.96 \}$

— রদ্রিগো দে আজেভেদো
সূত্র

1

প্রতিটি ধনাত্মক আধা-নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স একটি পারস্পরিক সম্পর্ক / কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স (এবং বিপরীতে)।

$A$ $A$ $A=UDU^T$ $U$ $D$ $B= U D^{1/2} U^T$ $D^{1/2}$

$\mathbf{x}$ $B \mathbf{x}$ $A$

$R=E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]$ $R = R^T$ $\mathbf{a}^T R \mathbf{a} = E[(\mathbf{a}^T \mathbf{x})^2] \geq 0$ $\mathbf{a}$ $R$

$2^n$ $n$

— সেনাপতির পরিচারক
সূত্র