আরও বেশি করে ডেটা সংগ্রহ হওয়ার সাথে সাথে সম্ভাবনা অনুপাতের কী হবে?

11

যাক , এবং ঘনত্বের হতে হবে এবং অনুমান করা আপনি , । সম্ভাবনা অনুপাতের কী হবে হিসাবে ? (এটি কি রূপান্তর করে? কিসের দিকে?) $f$ $g$ $h$ $x_i \sim h$ $i \in \mathbb{N}$

\prod_{i = 1}^{n} \frac{f (x_{i})}{g (x_{i})}

$\prod_{i=1}^n \frac{f(x_i)}{g(x_i)}$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

উদাহরণস্বরূপ, আমরা ধরে নিতে পারি । সাধারণ ক্ষেত্রেও আগ্রহের বিষয়। $h = g$

convergence asymptotics likelihood-ratio

— অলিভিয়ের
সূত্র

সম্ভাব্য সদৃশ Kullback-Leibler বিকিরণ না করেই তথ্য তত্ত্ব

— সিয়ান

4

@ সিয়ান। আমার মনে হয় এই প্রশ্নটি এসইতে যুক্ত করার ফলে উত্তরের প্রশ্নগুলিতে সংযোগটি আঁকতে দেওয়া হবে। উত্তর মিল থাকলেও প্রশ্নগুলি সে এক নয়।

— জন

1

লিঙ্কের জন্য ধন্যবাদ। প্রশ্নটি কোনও সদৃশ নয়, যদিও আমার প্রশ্নের উত্তরগুলিতে কুলব্যাক-লেবেলার বিচরণ জড়িত থাকতে পারে।

— অলিভিয়ার

15

যদি কেউ এই পণ্যটির লগারিদম গ্রহণ করে তবে এবং এটিকে গড়ে

r = \log \prod_{i = 1}^{n} \frac{f (x_{i})}{g (x_{i})} = \sum_{i = 1}^{n} \log \frac{f (x_{i})}{g (x_{i})}

${\mathfrak{r}}=\log \prod_{i=1}^n \frac{f(x_i)}{g(x_i)} = \sum_{i=1}^n \log\frac{f(x_i)}{g(x_i)}$

বৃহৎ সংখ্যক আইন প্রযোজ্য, অত: পর এক পায় প্রায় নিশ্চিত অভিসৃতি

{\bar{r}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \log \frac{f (x_{i})}{g (x_{i})}

$\bar{\mathfrak{r}}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log\frac{f(x_i)}{g(x_i)}$

ধরে

যে এই অবিচ্ছেদ্যটি সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে [পাল্টা উদাহরণগুলি দিয়ে আসা সহজ]।

{\bar{r}}_{n} \overset{a.s.}{⟶} E_{h} [\log \frac{f (X)}{g (X)}] = \int_{X} \log \frac{f (x)}{g (x)} h (x) d x

$\bar{\mathfrak{r}}_n\stackrel{\text{a.s.}}{\longrightarrow}\mathbb{E}_h\left[\log \frac{f(X)}{g(X)}\right]=\int_\mathfrak{X} \log\frac{f(x)}{g(x)}\,h(x)\,\text{d}x$

উদাহরণস্বরূপ, , , এবং যদি যথাক্রমে , , এবং শূন্যের সাথে সাধারণ বিতরণের জন্য ঘনত্ব হয় তবে তারতম্য সহ,, এর মান $f$ $g$ $h$ $\mu_1$ $\mu_2$ হল

\int_{X} \log \frac{f (x)}{g (x)} h (x) d x

$\int_\mathfrak{X} \log\frac{f(x)}{g(x)}\,h(x)\,\text{d}x$

\int_{X} {(x - μ_{1})^{2} - (x - μ_{2}^{2})} φ (x) d x = μ_{1}^{2} - μ_{2}^{2} .

$\int_\mathfrak{X} \{(x-\mu_1)^2-(x-\mu^2_2)\}\,\varphi(x)\,\text{d}x= \mu_1^2-\mu^2_2\,.$

এটিও নোট করুন, গড় ছাড়াই, পণ্যটি প্রায় অবশ্যই শূন্যে রূপান্তরিত হয় (যখন

\prod_{i = 1}^{n} \frac{f (x_{i})}{h (x_{i})}

$\prod_{i=1}^n \frac{f(x_i)}{h(x_i)}$

x_{i} \sim h (x)

$x_i\sim h(x)\,$

\prod_{i = 1}^{n} \frac{f (x_{i})}{g (x_{i})}

$\prod_{i=1}^n \frac{f(x_i)}{g(x_i)}$

g

$g$

f

$f$

h

$h$

x_{i} \sim h (x)

$x_i\sim h(x)\,$ )।

— সিয়ান
সূত্র

g = h

$g=h$

1

f = g

$f=g$

f = h

$f=h$

g \neq h

$g\ne h$

g = h

$g=h$

f \neq h

$f\ne h$

f \neq h

$f\ne h$

f \neq g

$f\ne g$

g \neq h

$g \ne h$

f

$f$

g

$g$

h

$h$

h

$h$

1

r = n r_{n}

$\mathfrak{r}= n \mathfrak{r}_n$

0

$Z_n = \prod^n_i \frac{p(x)}{q(x)}$

W_{n} = \frac{1}{n} l o g (Z_{n}) = \frac{1}{n} \sum_{i}^{n} l o g (\frac{p (x)}{q (x)})

$W_n = \frac{1}{n}log(Z_n) = \frac{1}{n}\sum_i^n log(\frac{p(x)}{q(x)})$

lim_{n \to \infty} W_{n} = E_{q (x)} [l o g (\frac{p (x)}{q (x)})] = \int_{X} l o g (\frac{p (x)}{q (x)}) q (x) d x

$\lim_{n \rightarrow \infty} W_n = E_{q(x)}[log(\frac{p(x)}{q(x)})] = \int_\mathcal{X} log(\frac{p(x)}{q(x)})q(x)dx$

$log(a) < a-1 \ \forall a > 0$ $a \neq 1$ $\frac{p(x)}{q(x)} > 0$ $p(x) \neq q(x)$

W_{n} \to \int_{X} l o g (\frac{p (x)}{q (x)}) q (x) d x < \int_{X} (\frac{p (x)}{q (x)} - 1) q (x) d x = \int_{X} p (x) d x - \int_{X} q (x) d x = 1 - 1 = 0

$W_n \rightarrow \int_\mathcal{X} log(\frac{p(x)}{q(x)})q(x)dx < \int_\mathcal{X} (\frac{p(x)}{q(x)} - 1)q(x)dx = \int_\mathcal{X} p(x)dx - \int_\mathcal{X} q(x)dx = 1 - 1 = 0$

lim_{n \to \infty} W_{n} < 0 ⟹ lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} l o g (Z_{n}) < 0 ⟹ lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{n} l o g (Z_{n}) = - \infty ⟹ lim_{n \to \infty} l o g (Z_{n}) = - \infty ⟹ lim_{n \to \infty} Z_{n} = 0 ◼

$\lim_{n \rightarrow \infty} W_n < 0 \implies \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}log(Z_n) < 0 \implies \lim_{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{1}{n}log(Z_n) = -\infty \\ \implies \lim_{n \rightarrow \infty} log(Z_n) = -\infty \\ \implies \lim_{n \rightarrow \infty} Z_n = 0 \ \blacksquare$

— bgao
সূত্র