কেমন আছে

Question

কার্টেসিয়ান $x,y$ স্থানাংকগুলিকে এলোমেলো বিন্দুর $(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$ ।

সুতরাং, ব্যাসার্ধ, $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ ,এরপিডিএফদ্বারাহিসাবে অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয়নি।$\rho$

তবুও আমি আশা করব $\theta = \arctan{\frac{y}{x}}$ প্রায় অভিন্ন হতে, প্রান্তে 4 টি বাম ওভারের কারণে শিল্পকর্মগুলি বাদ দিয়ে:

নীচে θ এবং ρ এর গ্রাফিকালি গণিত সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন রয়েছে : $\theta$$\rho$

এখন আমি যদি $x,y$ কে বিতরণ করতে পারি এক্স $x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$ তবে $\theta$ অভিন্নরূপে বন্টিত বলে মনে হচ্ছে:

কেন অভিন্ন যখন নয় ( এক্স , Y ) ~ ইউ ( - 10 , 10 ) × ইউ ( - 10 , 10 ) এবং অভিন্ন যখন এক্স , Y ~ এন ( 0 , 20 2 ) × এন ( 0 , 20 2 ) ?$\theta$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$

আমি যে মাতলাব কোডটি ব্যবহার করেছি:

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

তৃতীয় লাইন প্রতিস্থাপন: এর r = (b-a).*randn(2,number_of_points);সাথে ( x , y ) এরr = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ; বন্টন স্বাভাবিক থেকে অভিন্নতে পরিবর্তন করা হবে ।$(x,y)$

Comments

প্রতিটি সম্পাদনার সাথে প্রশ্নটি সুন্দর এবং সুন্দর দেখায় এবং প্রশ্নের শিরোনাম পরিষ্কার এবং আরও সংক্ষিপ্ত হয়। ভাল হয়েছে @ 0x90।

— মাইকেল আর। চেরনিক

+1 টি। এটি আকর্ষণীয় যে সাধারণ বিতরণটিই একমাত্র সমানভাবে বিতরণকৃত কোণগুলিতে নিয়ে যায় (অর্থাত্ একটি ঘূর্ণমান প্রতিসাম্য 2D বিতরণে), দেখুন stats.stackexchange.com/a/255417/28666 ।

— অ্যামিবা বলেছেন মনিকাকে

Answer 1

আপনি স্বাধীন variates একজোড়া থেকে একটি রূপান্তর উল্লেখ করছি পোলার প্রতিনিধিত্বের ( আর , θ ) (ব্যাসার্ধ এবং কোণ), এবং তারপর এর প্রান্তিক বন্টন দিকে তাকিয়ে θ ।$(X,Y)$$(R,\theta)$$\theta$

আমি কিছুটা স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা দিতে যাচ্ছি (যদিও আমি অনানুষ্ঠানিকভাবে বর্ণনা করি ঘনত্বের একটি গাণিতিক বিকাশ মূলত তা করে)।

মনে রাখবেন যে আপনি দুটি ভেরিয়েবল স্কেল করেন, এক্স এবং ওয়াই কিছু সাধারণ স্কেল দ্বারা (যেমন ইউ (-1,1) থেকে ইউ (-10,10) অথবা এন (0,1) থেকে এন (0,20) উভয় ভেরিয়েবল একই সাথে) যা কোণ বিতরণে কোনও তাত্পর্যপূর্ণ করে না (এটি কেবল ব্যাসার্ধের বিতরণের স্কেলকে প্রভাবিত করে)। সুতরাং আসুন শুধু ইউনিট মামলা বিবেচনা করা যাক।

ইউনিফর্মের ক্ষেত্রে কী চলছে তা প্রথমে বিবেচনা করুন। নোট করুন যে বিতরণ ইউনিট বর্গক্ষেত্রের উপর সমান, যাতে কোনও অঞ্চলে এর মধ্যে থাকা সম্ভাবনার ঘনত্ব অঞ্চলের ক্ষেত্রের সাথে সমানুপাতিক। বিশেষ করে, ঘনত্ব এ বর্ণন কোণের একটি উপাদান সঙ্গে যুক্ত ঘ θ অনুভূমিক (কাছাকাছি কোণ কাছাকাছি θ = 0 ) এবং তির্যক (কাছাকাছি কোণ উপর θ = π / 4 ):$[-1,1]^2$$d\theta$$\theta=0$$\theta=\pi/4$

স্পষ্টত সম্ভাব্যতা উপাদান (অর্থাত অঞ্চল) কোণ (এর একটি উপাদান সংশ্লিষ্ট ঘ θ ) যখন কোণ কর্ণ কাছাকাছি এক বড়। প্রকৃতপক্ষে স্কোয়ারের ভিতরে একটি বৃত্ত লিখতে বিবেচনা করুন; বৃত্তের মধ্যে একটি প্রদত্ত ক্ষুদ্র কোণ দ্বারা বিস্তৃত অঞ্চলটি স্থির থাকে এবং তারপরে যখন ত্রিয়ার কাছে পৌঁছে যায় তখন বৃত্তের বাইরের অংশটি বৃদ্ধি পায় where$df_\theta$$d\theta$

সিমুলেশনগুলিতে আপনি যে প্যাটার্নটি দেখেন এটির জন্য এটি পুরোপুরি অ্যাকাউন্ট করে।

প্রকৃতপক্ষে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে ঘনত্বটি অবশ্যই বর্গের কেন্দ্র থেকে তার প্রান্তে বিভাগের দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক হতে হবে; সাধারণ ত্রিকোণমিতি সেখান থেকে ঘনত্ব অর্জনের জন্য যথেষ্ট এবং তারপরে ঘনত্ব 1 টি সংহত করার জন্য প্রয়োজনীয় ধ্রুবক সন্ধান করা সহজ।

[সম্পাদনা: ব্যাসার্ধটি নিয়ে আলোচনার জন্য এই পরবর্তী বিটটি যুক্ত করা হয়েছে, যেহেতু আমার মূল উত্তর থেকে প্রশ্নটি পরিবর্তিত হয়েছে।]

মনে রাখবেন যে ইউনিট বৃত্তের উপর যদি আমাদের অভিন্ন বিতরণ থাকে (যেমন আমরা আগে বর্গাকারে খোদাই করেছিলাম) তবে এর ব্যাসার্ধের ঘনত্ব ব্যাসার্ধের সাথে সমানুপাতিক হবে (প্রস্থ এর একটি ছোট কণিকা সংক্রান্ত উপাদান বিবেচনা করুন) ব্যাসার্ধ এ দ অর্থাত মধ্যে - R এবং দ + + ঘ দ - এতে এলাকায় সমানুপাতিক হয়েছে দ )। তারপরে যখন আমরা বৃত্তের বাইরে যাব, বৃহত্তর ব্যাসার্ধ সহ নতুন কৌণিক অঞ্চলগুলি কেবল বর্গের অংশ থেকে ঘনত্বের অবদান পাবে, তাই ঘনত্ব হ্রাস পায় (শুরুতে বেশ দ্রুত, তারপরে আরও ধীরে ধীরে) 1 এবং $dr$$r$$r$$r+dr$$r$$1$ । (আবার প্রয়োজনে ঘনত্বের কার্যকরী ফর্ম পেতে মোটামুটি সহজ জ্যামিতিক ধারণা যথেষ্ট sufficient$\sqrt 2$

---

বিপরীতে, যদি যৌথ বিতরণটি আবর্তনের বিষয়ে আবর্তিতভাবে প্রতিসম হয় তবে কোনও কোনও কোণে সম্ভাবনার উপাদানটি কোণের উপর নির্ভর করে না (এটি মূলত একটি টোটোলজি!)। দুটি স্বতন্ত্র স্ট্যান্ডার্ড গাউসিয়ানদের দ্বিখণ্ডিত বিতরণটি মূল সম্পর্কে আবর্তিতভাবে প্রতিসম:

(এই চিত্রের জন্য এলান কোহেনের কোডের ভিত্তিতে কোড তবে এখানে একটি দুর্দান্ত বিকল্প রয়েছে , এবং এখানে দুজনের মধ্যে কিছু রয়েছে )

ফলে ভলিউম কিছু কোণ অন্তর্ভুক্ত যে জন্য একই θ , তাই কোণ সঙ্গে যুক্ত ঘনত্ব উপর অভিন্ন হয় [ 0 , 2 π ) ।$d\theta$$\theta$$[0,2\pi)$

[প্রকৃত রেখার উপরে সাধারণ ঘনত্বকে সংহত করার জন্য সাধারণত পোলার ট্রিকটি ব্যবহার করা যেতে পারে যে বর্গাকার ব্যাসার্ধের ঘনত্ব নেতিবাচক তাত্পর্যপূর্ণ হয় এবং সেখান থেকে ব্যাসার্ধের ঘনত্ব একটি সাধারণ রূপান্তর যুক্তি দ্বারা চিহ্নিত করা সহজ বিতরণ ফাংশন]

Comments

এর বিতরণে চারটি স্পাইক প্রকৃতপক্ষে স্কোয়ারের চারটি কোণের কারণে ( - 10 , 10 ) 2 । নোট করুন যে কোনও গোলকভাবে প্রতিসাম্য বন্টন θ এ ইউনিফর্ম বিতরণে নেতৃত্ব দেয় , গোলক এবং বৃত্তগুলিতে ইউনিফর্মগুলি দিয়ে শুরু করে ( 0 , 0 ) । $\theta$$(-10,10)^2$$\theta$$(0,0)$

— শি'য়ান

+1 টি। এটি আকর্ষণীয় যে সাধারণ বিতরণটি কেবলমাত্র একটি যা ঘূর্ণমান প্রতিসাম্য 2D বিতরণের দিকে পরিচালিত করে, stats.stackexchange.com/a/255417/28666 দেখুন । এটা আমার জন্য অবাক।

— অ্যামিবা বলেছেন মনিকাকে

@ অ্যামিবা হ্যাঁ, এটিই একমাত্র বিজ্ঞপ্তি প্রতিসম বিতরণ যা স্বাধীন মার্জিনের পণ্য।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আমি মনে করি এটি বেশ আশ্চর্যজনক। আপনার উত্তরে এটি উল্লেখ বিবেচনা করুন!

— অ্যামিবা বলেছেন মনিকাকে

Answer 2

ইউনিফর্ম বিতরণের দিকে পরিচালিত সাধারণ কেস সম্পর্কে আমি প্রশ্নের উত্তর দেব । এটি সুপরিচিত যে এবং ওয়াই যদি স্বতন্ত্র এবং সাধারণত বিতরণ করা হয় তবে ধ্রুব সম্ভাবনার ঘনত্বের আকারগুলি এক্স - ওয়াই প্লেনের একটি বৃত্ত । ব্যাসার্ধ আর = $X$$Y$$x-y$ এররেলেহ বিতরণ রয়েছে। এর ভাল আলোচনার জন্য রেলিঘ বিতরণ শিরোনামের উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি।$R= \sqrt{X^2+ Y^2}$

এখন আসুন পোলার স্থানাঙ্কগুলি ব্যবহার করে এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং ওয়াইয়ের দিকে নজর দেওয়া যাক ।$X$$Y$

, ওয়াই = আর পাপ ( θ ) । উল্লেখ্য যে এক্স 2 + ওয়াই 2 = আর 2 । যদি θ ( 0 , 2 π ) তে অভিন্ন হয়এবং r এর একটি রায়লেগ বিতরণ এক্স থাকে এবং Y এর প্রতিটি 0 ও একটি সাধারণ বৈকল্পিকেরসাথে স্বতন্ত্র নরমাল হবে। কনভার্সটিও সত্য। কথোপকথনের প্রমাণ হ'ল ওপি প্রশ্নের দ্বিতীয় অংশের উত্তর হিসাবে কী চায়।$X = r\cos(\theta)$$Y = r \sin(\theta)$$X^2 +Y^2= r^2$$\theta$$(0,2 \pi)$$r$$X$$Y$$0$

এখানে প্রমাণের স্কেচ দেওয়া হল। সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই আমরা ধরে নিতে পারি যে বিতরণ করা হয় এন ( 0 , 1 ) এবং ওয়াই বিতরণ করা হয় এন ( 0 , 1 ) এবং একে অপরের থেকে পৃথক।$X$$N(0,1)$$Y$$N(0,1)$

তারপর যৌথ ঘনত্ব । G ( r , θ ) পেতে পোলার স্থানাঙ্কে রূপান্তরটি ব্যবহার করুন । যেহেতু x = r পাপ ( θ ) এবং y = r cos ( θ ) । সুতরাং $f(x,y) = (1/2 \pi)\exp[(-[x^2 +y^2])/2]$$g(r, \theta)$$x = r \sin(\theta)$$y = r \cos(\theta)$ এবংθ=আর্টিকান(x/y)। রূপান্তরটির জ্যাকবিয়ান গণনা করুন এবং যথাযথ প্রতিস্থাপনকেচ(x,y) এ পরিণত করুন। ফলেগ্রাম(দ,θ)হতে হবেদমেপুঃ[(-R2)/(2π)]জন্যদ≥0এবং0≤θ$r= \sqrt{x^2 + y^2}$$\theta = \arctan(x/y)$$f(x,y)$$g(r, \theta)$$r \exp[(-r^2)/(2 \pi)]$$r\geq0$ । এ থেকে জানা যায় দ এবং থেটা সঙ্গে স্বাধীন দ একটি রয়ালে বন্টন থাকার এবং থেটা ধ্রুবক ঘনত্ব আছে 1 / ( 2 π ) ।$0\leq\theta\leq 2 \pi$$r$$r$$1/(2 \pi)$

Comments

এর অর্থ হ'ল আপনি যদি কেন্দ্র থেকে একটি নির্দিষ্ট রেডিয়াল দূরত্বে দ্বিবিড়ীয় ঘনত্বের উচ্চতার দিকে লক্ষ্য করেন (এই ক্ষেত্রে উত্স) তবে এটি বৃত্তের সমস্ত পয়েন্টের সমান মান হবে।

— মাইকেল আর চেরনিক

math.hkbu.edu.hk/~hpeng/stat3710/

— বক্তৃতা_নোট

@ 0x90 হ্যাঁ আপনার লিঙ্কটি এটি দেখার একটি উপায় দেখায় তা হ'ল ঘনত্বের সূচকগুলিতে চতুষ্কোণ রূপটি দেখুন। সুতরাং সাধারণভাবে দ্বিবিভক্ত সাধারণ সেটিংয়ের জন্য যা ধ্রুবককে ঘনিষ্ঠভাবে ধ্রুবক ঘনত্বের সূচকে সংজ্ঞা দেয় এবং সেই সমীকরণটি একটি উপবৃত্তের একটি। বিশেষ ক্ষেত্রে যখন covariance ম্যাট্রিক্স একটি মাপকাঠি সনাক্তকরণ ম্যাট্রিক্স হয় উপবৃত্তাকার একটি বৃত্তে সরল করে।

— মাইকেল আর। চেরনিক

$X,Y$$0$$\operatorname{Cauchy}(0,1)$$\arctan$ $\arctan(X/Y)$

@ ফ্রাঙ্কিস বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই আমার সমস্ত সমীকরণের আপনার সম্পাদনার প্রশংসা করছি। আমি এটাও বলতে চাই যে উপরে আপনার মন্তব্যটি অবশ্যই থিতাকে নিয়ে অভিন্নতার সমস্যা সমাধানের জন্য একটি কাল্পনিক দৃষ্টিভঙ্গি দেখায়। আমি নিশ্চিত যে কেউ কেউ এটি সম্মত হবেন যে এটি আরও সহজ।

— মাইকেল আর চেরনিক

Answer 3

$\theta$$(X,Y)$$[-1,1]\times[-1,1]$$1 \over 4$$0$$1 \over 4$

আমাদের প্রশ্নের আগ্রহের অঞ্চলটি এই অঙ্কনের লাল ক্ষেত্র:

$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$

$\theta\in \left[ -{\pi \over 4}, {\pi\over 4}\right]$$\pi\over 2$

$1\over \cos\theta$

$${1\over \cos(\theta + d\theta)} = {1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta.$$ (We’ll see that the precise value of the derivative doesn’t really matter here!)

Now the area of a triangle with two sides of lengthes $a$ and $b$ forming an angle $\alpha$ is ${1\over 2}ab\sin\alpha$, hence in our case

$${1\over 2} \left({1\over \cos\theta} \right) \left({1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta\right) \sin d\theta = {d\theta \over 2\cos^2 \theta}$$ (we neglect higher powers of $d\theta$ and use $\sin d \theta= d\theta$).

Thus the density of $\theta$ is

$${1\over 8 \cos^2 \theta}$$ for $\theta$ in $\left[-{\pi\over 4},{\pi\over 4}\right]$, and is $\pi\over 2$ periodic.

Verification:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )