কেন এলোমেলো পদচারণা আন্তঃসংযোগযুক্ত?

আমি পর্যবেক্ষণ করেছি যে, গড়পড়তা, পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের নিখুঁত মান হ'ল দৈর্ঘ্য নির্বিশেষে যে কোনও স্বতন্ত্র এলোমেলো পদক্ষেপের জন্য এক ধরণের কাছাকাছি close~~0.56~~0.42

কেউ কি এই ঘটনাটি ব্যাখ্যা করতে পারেন?

ওয়াকের দৈর্ঘ্য বাড়ার সাথে সাথে যেকোন এলোমেলো অনুক্রমের মতো পারস্পরিক সম্পর্কগুলি আরও ছোট হওয়ার আশা করেছি।

আমার পরীক্ষাগুলির জন্য আমি ধাপে গড় 0 এবং ধাপে স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি 1 দিয়ে এলোমেলো গাউসিয়ান ওয়াক ব্যবহার করেছি used

হালনাগাদ:

আমি ডেটা কেন্দ্র করতে ভুলে গিয়েছিলাম, এজন্য এর 0.56পরিবর্তে এটি ছিল 0.42।

পারস্পরিক সম্পর্কগুলি গণনা করার জন্য পাইথন লিপিটি এখানে:

import numpy as np
from itertools import combinations, accumulate
import random

def compute(length, count, seed, center=True):
    random.seed(seed)
    basis = []
    for _i in range(count):
        walk = np.array(list(accumulate( random.gauss(0, 1) for _j in range(length) )))
        if center:
            walk -= np.mean(walk)
        basis.append(walk / np.sqrt(np.dot(walk, walk)))
    return np.mean([ abs(np.dot(x, y)) for x, y in combinations(basis, 2) ])

print(compute(10000, 1000, 123))

— আদম
সূত্র

আমার প্রথম চিন্তাটি হ'ল হাঁটাচলা আরও দীর্ঘতর হওয়ার সাথে সাথে আরও বিশালতার সাথে মানগুলি পাওয়া সম্ভব এবং এর সাথে পারস্পরিক সম্পর্ক বাড়ছে।

— জন পল

তবে এটি যে কোনও এলোমেলো ক্রম নিয়ে কাজ করবে, যদি আমি আপনাকে সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে কেবল এলোমেলো পদচারণায় এই ধ্রুবক সম্পর্ক রয়েছে।

— আদম 20

এটি কেবল কোনও "এলোমেলো ক্রম" নয়: পারস্পরিক সম্পর্কগুলি অত্যন্ত উচ্চতর, কারণ প্রতিটি শব্দটি পূর্ববর্তীটি থেকে মাত্র এক ধাপ দূরে। নোট, এছাড়াও, আপনি যে সংযুক্তি সহগটি কম্পিউটিং করছেন তা র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সাথে জড়িত নয়: এটি সিকোয়েন্সগুলির জন্য একটি পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ (কেবল জোড়াযুক্ত ডেটা হিসাবে ভাবা হয়েছিল), যা বিভিন্ন স্কোয়ার এবং সমস্ত বিভাগের পার্থক্যের সাথে জড়িত একটি বৃহত সূত্রের সমান amounts ক্রম শর্তাবলী।

— whuber

আপনি সম্পর্কযুক্তরূপে বিষয়ে কথা হয় মাঝে (এক সিরিজ মধ্যে সিরিজ জুড়ে নয়) র্যান্ডম চলাফেরা করে? যদি তা হয়, তবে এটি আপনার স্বাধীন এলোমেলো পদচারণ একীভূত হলেও সমন্বিত নয়, এটি একটি সুপরিচিত পরিস্থিতি যেখানে প্রফুল্ল সম্পর্ক রয়েছে।

— ক্রিস হাগ

আপনি যদি প্রথম পার্থক্য নেন তবে আপনি কোনও সম্পর্ক খুঁজে পাবেন না। এখানে স্ট্যাটারিটির অভাবই মূল বিষয়।

— পল

উত্তর:

আপনার স্বাধীন প্রক্রিয়াগুলি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত নয়! যদি এবং স্বতন্ত্র এলোমেলো : $X_t$ $Y_t$

সময় মতো একটি পারস্পরিক সম্পর্কের সহগের অস্তিত্ব নেই। ( সম্পর্কে কথা বলবেন না ) $\operatorname{Corr}(X, Y)$
কোন সময়ের জন্য , প্রকৃতপক্ষে 0। $t$ $\operatorname{Corr}(X_t, Y_t)$
কিন্তু সময়-সিরিজ গড়ের উপর ভিত্তি করে নমুনা পরিসংখ্যানগুলি কোনও কিছুর সাথে রূপান্তর করবে না! সময়ের সাথে একাধিক পর্যবেক্ষণের গড় ভিত্তিতে আপনি যে নমুনা সহসংস্থান সহগের গণনা করেছেন তা অর্থহীন।

স্বজ্ঞাতভাবে, আপনি অনুমান করতে পারেন (ভুলভাবে) যে:

দুই প্রক্রিয়ার মধ্যে স্বাধীনতা এবং বোঝা তারা শূন্য পারস্পরিক সম্পর্ক আছে। (দুটি এলোমেলো পদচারণার জন্য, বিদ্যমান নেই)) $\{X_t\}$ $\{Y_t\}$ $\operatorname{Corr}(X, Y)$
সময় ধারাবাহিক, নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক (অর্থাত্ সময়-সিরিজ ব্যবহার করে গণনা করা সহগ, sample ) জনসংখ্যা সহগ কে হিসাবে রূপান্তর করবে । $\hat{\rho}_{XY}$ $\hat{\mu_X} = \frac{1}{T} \sum_{\tau = 1}^T X_\tau$ $\rho_{XY}$ $T \rightarrow \infty$

সমস্যা হল তন্ন তন্ন এই বিবৃতির র্যান্ডম পদচারনায় জন্য সত্য! (তারা ভাল আচরণের প্রক্রিয়াগুলির জন্য সত্য))

অ-স্থির প্রক্রিয়াগুলির জন্য:

আপনি যে কোনও দুটি নির্দিষ্ট পয়েন্টে এবং processes প্রসেসের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক সম্পর্কে কথা বলতে পারেন (উদাঃ একটি নিখুঁত বুদ্ধিমান বক্তব্য)) $\{X_t\}$ $\{Y_t\}$ $\operatorname{Corr}(X_2, Y_3)$
তবে সময়মতো শর্তহীন দুটি সিরিজের মধ্যে সম্পর্কের বিষয়ে কথা বলার অর্থ নেই! একটি সুসংজ্ঞাত অর্থ নেই। $\operatorname{Corr}(X, Y)$

এলোমেলো হাঁটার ক্ষেত্রে সমস্যা?

এলোমেলো হাঁটার জন্য, শর্তহীন জনসংখ্যার মুহুর্তগুলি (যেমন time , যেমন টাইমের উপর নির্ভর করে না ) উপস্থিত নেই don't (কিছুটা আলগা অর্থে, তারা অসীম।) একইভাবে, দুটি স্বতন্ত্র এলোমেলো মধ্যে নিঃশর্ত সম্পর্কের সহগ zero শূন্য নয়; বাস্তবে এর অস্তিত্ব নেই! $t$ $\operatorname{E}[X]$ $\rho_{XY}$
এরগোডিক উপপাদ্যগুলির অনুমানগুলি প্রযোজ্য নয় এবং বিভিন্ন সময়-সিরিজের গড় (যেমন ) হিসাবে কোনও কিছুর দিকে রূপান্তরিত হয় না ।
- একটি স্থিতিশীল ক্রমের জন্য, সময় সিরিজের গড় অবশেষে সময়ের সাথে নিঃশর্ত অবস্থায় থাকা রূপান্তরিত করে। তবে একটি স্থিতিশীল ক্রমের জন্য, সময় মতো নিঃশর্ত হওয়ার কোনও অর্থ নেই!

আপনার যদি সময়ের সাথে দুটি স্বতন্ত্র এলোমেলো বিভিন্ন পর্যবেক্ষণ থাকে (উদাহরণস্বরূপ , , ইত্যাদি ... এবং , , ....) এবং আপনি নমুনা সহগ গণনা করেন, আপনি এবং এর মধ্যে একটি সংখ্যা পাবেন । তবে এটি জনসংখ্যার পারস্পরিক সম্পর্কের সহগের (যা বিদ্যমান নেই) অনুমানের মতো হবে না। $X_1$ $X_2$ $Y_1$ $Y_2$ $-1$ $1$

পরিবর্তে, ( থেকে থেকে টাইম-সিরিজ গড় ব্যবহার করে গণনা করা ) মূলত একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে চলেছে ( মান গ্রহণ করে ) যা এলোমেলো পদক্ষেপগুলি সুযোগ অনুসারে নেওয়া দুটি নির্দিষ্ট পথকে প্রতিফলিত করে (যেমন নমুনা স্থান থেকে আঁকা দ্বারা নির্ধারিত পাথগুলি ) ।) অত্যন্ত শিথিলভাবে কথা বলা (এবং অনর্থক): $\hat{\rho}_{XY}(T)$ $t=1$ $t=T$ $[-1, 1]$ $\omega$ $\Omega$

যদি উভয় এবং একই বন্ধ চরা ঘটেছে, আপনি একটি কৃত্রিম ইতিবাচক সম্পর্ক শনাক্ত করব। $X_t$ $Y_t$
যদি এবং বিভিন্ন দিক থেকে ঘুরে বেড়ায় তবে আপনি একটি নেতিবাচক সম্পর্ক সনাক্ত করতে পারেন। $X_t$ $Y_t$
যদি এবং একে অপরকে যথেষ্ট পরিমাণে ঘুরে ঘটনা আপনি একটি শূন্যের সম্পর্ক সনাক্ত করতে পারেন। $X_t$ $Y_t$

শর্তাদি সহ আপনি আরও গুগল করতে পারেন spurious regression random walk।

একটি র্যান্ডম হাঁটার নিশ্চল এবং সময়ের গড় নিচ্ছে না আপনি IID গ্রহণ করে পেতে হবে কি একই বিন্দুতে মিলিত হবে না স্বপক্ষে নমুনা স্থান থেকে । উপরের মন্তব্যে উল্লিখিত হিসাবে, আপনি প্রথম পার্থক্য নিতে পারেন এবং এলোমেলো হাঁটার জন্য, প্রক্রিয়াটি স্থির। $t$ $\omega$ $\Omega$ $\Delta x_t = x_t - x_{t-1}$ $\{\Delta x_t\}$

বড় চিত্র ধারণা:

সময়ের সাথে একাধিক পর্যবেক্ষণ কোনও নমুনা স্থান থেকে একাধিক অঙ্কনের মতো নয়!

মনে রাখবেন যে একটি বিচ্ছিন্ন সময় স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া both উভয় সময়ের ( ) এবং একটি নমুনা স্থান একটি ফাংশন । $\{ X_t \}$ $t \in \mathbb{N}$ $\Omega$

সময়ের সাথে গড় জন্য একটি নমুনা স্থান ধরে প্রত্যাশা প্রতি বিন্দুতে মিলিত করার , আপনি প্রয়োজন stationarity এবং ergodicity । অনেক সময়-সিরিজ বিশ্লেষণে এটি মূল বিষয়। এবং এলোমেলো হাঁটা কোনও নিশ্চল প্রক্রিয়া নয়। $t$ $\Omega$

হুবারের উত্তরের সাথে সংযোগ:

যদি আপনি একাধিক সিমুলেশন জুড়ে গড় নিতে পারেন (যেমন থেকে একাধিক অঙ্কন গ্রহণ করেন ) পরিবর্তে সময়ের গড় নিতে বাধ্য হন , তবে আপনার বেশ কয়েকটি সমস্যা অদৃশ্য হয়ে যায়। $\Omega$ $t$

আপনি অবশ্যই কে এবং তে গণনা করা নমুনা সহগ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারেন এবং এটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াও হবে। $\hat{\rho}_{XY}(t)$ $X_1\ldots X_t$ $Y_1 \ldots Y_t$

আপনি কিছু র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে এটি সংজ্ঞায়িত করতে পারেন : $Z_t$

Z_{t} = | {\hat{ρ}}_{X Y} (t) |

$Z_t = |\hat{\rho}_{XY}(t)|$

ইনক্রিমেন্ট সহ এ শুরু হওয়া দুটি এলোমেলো সিমুলেশন দ্বারা সহজ (যেমন থেকে একাধিক অঙ্কন নেওয়া ) $0$ $\mathcal{N}(0,1)$ $E[Z_{10000}]$ $\Omega$

নীচে, আমি একটি নমুনা পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের 10,000 গণনার একটি সিমুলেশন চালিয়েছি। প্রতিবার আমি:

সিমুলেটেড দুই 10,000 দৈর্ঘ্যের এলোমেলো পদচারণা (distributed থেকে সাধারণত ইনক্রিমেন্টগুলি সহ )। $\mathcal{N}(0,1)$
তাদের মধ্যে নমুনা পারস্পরিক সহগের গণনা করেছেন।

নীচে একটি হিস্টোগোম রয়েছে যা 10000 গণনা করা সহাবস্থান সহগের উপর অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা বন্টন করে।

আপনি স্পষ্টভাবে লক্ষ্য করতে পারেন যে এলোমেলোভাবে এলোমেলো পরিবর্তনশীল পুরো জায়গা জুড়ে থাকতে পারে । এবং দুটি স্থির পাথের জন্য , সময় সিরিজের দৈর্ঘ্য বাড়ার সাথে সাথে নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ কোনও কিছুর সাথে রূপান্তরিত করে না। $\hat{\rho}_{XY}(10000)$ $[-1, 1]$ $X$ $Y$

অন্যদিকে, একটি নির্দিষ্ট সময়ের জন্য (যেমন, ), নমুনা পারস্পরিক সম্পর্কের সহগ একটি সীমাবদ্ধ গড় ইত্যাদির সাথে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল ... আমি যদি নিরঙ্কুশ মানটি গ্রহণ করি এবং সমস্ত অনুকরণের মধ্যে গড়টি গণনা করি তবে আমি গণনা করি প্রায় .42। আমি নিশ্চিত না আপনি কেন এটি করতে চান বা কেন এটি মোটেই অর্থবহ ??, তবে অবশ্যই আপনি পারেন। $t=10,000$

কোড:

for i=1:10000 
  X = randn(10000,2); 
  Y = cumsum(X); 
  z(i) = corr(Y(:,1), Y(:,2));
end;
histogram(z,20);
mean(abs(z))

— ম্যাথু গন
সূত্র

যেহেতু নমুনার আকারটি স্পষ্টতই সীমাবদ্ধ নয়, বিভিন্ন পরিমাণের উপস্থিতি নেই আপনার ধারণাগুলি বিস্মিত। ওপি দ্বারা বর্ণিত পরিস্থিতিতে আপনার প্রতীকগুলি কীভাবে প্রয়োগ হয় তা দেখা মুশকিল।

— whuber

আপনার নমুনার আকার কখনই অনন্তে যায় না! যতক্ষণ না আপনি কম্পিউটারের সাথে নমুনাগুলি আঁকছেন, কেবলমাত্র খাঁটি গণিতে আপনি এই ধরনের অনুমানগুলি তৈরি করতে পারেন )। এবং এর অর্থ কী: আপনার অসীম অনেক পয়েন্ট রয়েছে কারণ এটি রূপান্তর করে না? তুমি কোথায় পড়েছ?

— মায়ু 36

@ শুভকামনা আশা করি এই সংস্করণটি কিছুটা পরিষ্কার। আমি এটিকে ওপি জিজ্ঞাসা করছি যে কেন এলোমেলো পদক্ষেপের দুটি সীমাবদ্ধ বিভাগের মধ্যে নমুনা সহসংস্থান সহগ (টাইম-সিরিজ গড়ের উপর নির্ভরশীল) শূন্য নয়, এমনকি সময়-সিরিজের বিশাল দৈর্ঘ্যের জন্যও। একটি মৌলিক সমস্যা হ'ল এলোমেলো হাঁটার জন্য, বিভিন্ন জনসংখ্যার মুহুর্তের অস্তিত্ব থাকে না এবং সময়-সিরিজ গড়গুলি কোনও কিছুর সাথে রূপান্তর করে না।

— ম্যাথু গুন

তবুও, স্থির সবকিছু সীমাবদ্ধ। তদুপরি, নিখুঁত নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের প্রত্যাশা বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে একত্রিত হয় ! নোট, এছাড়াও, যে প্রশ্নটি সেই গুণফলের নিখুঁত মান সম্পর্কিত concerns এর প্রত্যাশা (স্পষ্টতই) শূন্য।

n

$n$

n

$n$

— হোয়বার

@ হুবুহু আপনি কি নির্দিষ্ট সময়-সিরিজের দৈর্ঘ্যের বোঝাতে চান , সবকিছু সীমাবদ্ধ? (হ্যাঁ আমি এটির সাথে একমত।) নমুনা পারস্পরিক সম্পর্কের প্রত্যাশা শূন্য (হ্যাঁ, আমি এটির সাথে একমত)। হিসাবে যদিও বেড়ে যায়, নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক যদিও নেই না একটি একক বিন্দু একই বিন্দুতে মিলিত। স্বেচ্ছাসেবী দৈর্ঘ্যের দুটি এলোমেলো পদচারণা বিভাগের জন্য, [0, 1] (হিস্টগ্রাম দেখুন) এ ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে এলোমেলো ড্র থেকে নমুনা সংযোগ সহগ খুব বেশি নয়।

t

$t$

t

$t$

— ম্যাথু গুন

একটি সঠিক ফলাফল পেতে প্রয়োজনীয় গণিতটি অগোছালো, তবে আমরা তুলনামূলকভাবে বেদাহীনভাবে প্রত্যাশিত স্কোয়ারড রিলেশনশিটি সহগের জন্য একটি সঠিক মান অর্জন করতে পারি । এটি ব্যাখ্যা করতে সহায়তা করে যে কেন কাছাকাছি কোনও মান প্রদর্শিত হচ্ছে এবং কেন এলোমেলো হাঁটার দৈর্ঘ্য বাড়িয়ে জিনিস পরিবর্তন করবে না। $1/2$ $n$

স্ট্যান্ডার্ড পদ সম্পর্কে বিভ্রান্তির সম্ভাবনা রয়েছে। পরম পারস্পরিক সম্পর্ক, প্রশ্নে উল্লেখ পরিসংখ্যান এটি আপ করতে সঙ্গে বরাবর - ভেরিয়ানস covariances - হয় সূত্রে যে এক কোন যুগল আবেদন করতে পারেন উপলব্ধির র্যান্ডম পেশার করুন। প্রশ্নটি যখন আমরা অনেকগুলি স্বাধীন উপলব্ধির দিকে তাকাই তখন কী হয় concern তার জন্য, এলোমেলো পদক্ষেপের প্রক্রিয়া সম্পর্কে আমাদের প্রত্যাশা নেওয়া দরকার ।

(সম্পাদনা করুন)

আমরা এগিয়ে যাওয়ার আগে, আমি আপনার সাথে কিছু গ্রাফিকাল অন্তর্দৃষ্টি ভাগ করতে চাই। একজোড়া স্বতন্ত্র এলোমেলো পদচারণা দুটি মাত্রায় একটি এলোমেলো হাঁটা। আমরা পথ প্লটে বিভক্ত করতে পারে প্রতিটি পদক্ষেপ থেকে । যদি এই পথটি নীচের দিকে ঝুঁকে থাকে (বাম থেকে ডানে, সাধারণ XY অক্ষের উপরে প্লট করা হয়) তবে পারস্পরিক সম্পর্কের নিখুঁত মান অধ্যয়নের জন্য , আসুন সমস্ত মানগুলিকে উপেক্ষা করুন । প্লট পদচারনা অক্ষ দিতে মাপের উপর এবং মান স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন সমান এবং আরোপ করা লিস্ট স্কোয়ারগুলির উপযোগীতা থেকে $(X,Y)$ $(X_t,Y_t)$ $X_{t+1},Y_{t+1}$ $Y$ $X$ $Y$ $Y$ $X$ । এই রেখাগুলির .ালু সর্বদা এবং মধ্যে থাকা মিথস্ক্রিয়া সহগের পরম মান হবে । $0$ $1$

এই চিত্রটি এমন পদচারণা দেখায় , প্রতিটি দৈর্ঘ্যের (স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ পার্থক্য সহ)। সামান্য উন্মুক্ত চেনাশোনাগুলি তাদের প্রারম্ভিক পয়েন্টগুলি চিহ্নিত করে। অন্ধকার চেনাশোনাগুলি তাদের চূড়ান্ত অবস্থান চিহ্নিত করে। $15$ $960$

এই opালু বেশ বড় হতে থাকে। এই অনেক পয়েন্টের নিখুঁতভাবে এলোমেলো স্ক্র্যাপপ্লটগুলির সর্বদা শূন্যের খুব কাছে .ালু । যদি আমাদের এখানে উত্থিত নিদর্শনগুলি বর্ণনা করতে হয় তবে আমরা বলতে পারি যে 2D এলোমেলো পদক্ষেপগুলি ধীরে ধীরে এক অবস্থান থেকে অন্য জায়গায় চলে যায়। (তবে এটি অগত্যা তাদের প্রারম্ভিক এবং শেষের অবস্থানের অবস্থান নয়, তবে) প্রায় অর্ধেক সময় পরে, যে স্থানান্তরটি একটি তির্যক দিকের দিকে ঘটে - এবং slালু ততক্ষণে উচ্চ।

এই পোস্টের বাকি অংশগুলি এই পরিস্থিতির একটি বিশ্লেষণের স্কেচ করে।

একটি এলোমেলো হাঁটা হ'ল এর আংশিক অঙ্কের ক্রম যেখানে স্বতন্ত্রভাবে শূন্য-গড় ভেরিয়েবলগুলি বিতরণ করে। তাদের সাধারণ প্রকরণটি Let । $(X_i)$ $(W_1, W_2, \ldots, W_n)$ $W_i$ $\sigma^2$

এ জাতীয় উপলব্ধিতে , "বৈকল্পিক" গণনা করা হবে যেমন এটি কোনও ডেটাसेट ছিল: $x = (x_1, \ldots, x_n)$

V (x) = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \bar{x})^{2} .

$\operatorname{V}(x) = \frac{1}{n}\sum (x_i-\bar x)^2.$

এই মানটি গণনা করার একটি দুর্দান্ত উপায় হ'ল সমস্ত বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের অর্ধেক গড় নেওয়া:

V (x) = \frac{1}{n (n - 1)} \sum_{j > i} (x_{j} - x_{i})^{2} .

$\operatorname{V}(x) = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{j \gt i} (x_j-x_i)^2.$

যখন একটি র্যান্ডম হাঁটার ফলাফল হিসেবে দেখা হয় এর পদক্ষেপ, এই প্রত্যাশা নেই $x$ $X$ $n$

E (V (X)) = \frac{1}{n (n - 1)} \sum_{j > i} E (X_{j} - X_{i})^{2} .

$\mathbb{E}(\operatorname{V}(X)) = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{j \gt i} \mathbb{E}(X_j-X_i)^2.$

পার্থক্যগুলি হ'ল আইড ভেরিয়েবলের যোগফল,

X_{j} - X_{i} = W_{i + 1} + W_{i + 2} + \dots + W_{j} .

$X_j - X_i = W_{i+1} + W_{i+2} + \cdots + W_j.$

বর্গক্ষেত্র প্রসারিত করুন এবং প্রত্যাশা নিন। যেহেতু কে স্বাধীন এবং এর শূন্য অর্থ রয়েছে, সমস্ত ক্রস শর্তগুলির প্রত্যাশা শূন্য। এটি কেবল মতো পদ ছেড়ে , যার প্রত্যাশা । এইভাবে $W_k$ $W_k$ $\sigma^2$

E ((W_{i + 1} + W_{i + 2} + \dots + W_{j}^{2})) = (j - i) σ^{2} .

$\mathbb{E}((W_{i+1} + W_{i+2} + \cdots + W_j^2)) = (j-i)\sigma^2.$

এটি সহজেই অনুসরণ করে

E (V (X)) = \frac{1}{n (n - 1)} \sum_{j > i} (j - i) σ^{2} = \frac{n + 1}{6} σ^{2} .

$\mathbb{E}(\operatorname{V}(X)) = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{j \gt i} (j-i)\sigma^2 = \frac{n+1}{6}\sigma^2.$

দুইটি স্বতন্ত্র উপলব্ধির জন্য এবং - ডেটাসেটের বিবেচনায় র্যান্ডম ভেরিয়েবল নয় - একই কৌশলটির সাথে গণনা করা যেতে পারে (তবে এর জন্য আরও বীজগণিত কাজ প্রয়োজন; একটি চতুর্ভুজের যোগ জড়িত)। ফলাফল যে সমবায় এর প্রত্যাশিত বর্গ হয় $x$ $y$

E (C (X, Y)^{2}) = \frac{3 n^{6} - 2 n^{5} - 3 n^{2} + 2 n}{480 n^{2} (n - 1)^{2}} σ^{4} .

$\mathbb{E}(\operatorname{C}(X,Y)^2) = \frac{3n^6-2n^5-3n^2+2n}{480n^2(n-1)^2}\sigma^4.$

ফলস্বরূপ এবং মধ্যে বর্গক্ষেত্রের পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের প্রত্যাশা, পদক্ষেপের বাইরে নেওয়া হয় $X$ $Y$ $n$

ρ^{2} (n) = \frac{E (C (X, Y)^{2})}{E (V (X))^{2}} = \frac{3}{40} \frac{3 n^{3} - 2 n^{2} + 3 n - 2}{n^{3} - n} .

$\rho^2(n) = \frac{\mathbb{E}(\operatorname{C}(X,Y)^2)}{\mathbb{E}(\operatorname{V}(X))^2} = \frac{3}{40}\frac{3n^3-2n^2+3n-2}{n^3-n}.$

যদিও এটি স্থির নয়, এটি দ্রুত একটি সীমাবদ্ধ মানের কাছে । তার বর্গমূল প্রায় অতএব পরিমাপক প্রত্যাশিত পরম মান (এবং underestimates)। $9/40$ $0.47$ $\rho(n)$

আমি নিশ্চিত যে আমি গণনামূলক ত্রুটি করেছি, তবে সিমুলেশনগুলি অ্যাসিম্পটোটিক যথার্থতা বহন করে। নীচের ফলাফলগুলিতে প্রতিটি সিমুলেশনের জন্য এর হিস্টোগ্রামগুলি দেখায়, উল্লম্ব লাল রেখাগুলি উপায়টি দেখায় যখন ড্যাশযুক্ত নীল রেখাগুলি সূত্রটির মান দেখায়। স্পষ্টতই এটি ভুল, তবে অ্যাসিপোটোটিকভাবে এটি সঠিক। স্পষ্টতই distribution এর সম্পূর্ণ বিতরণ বাড়ার সাথে সাথে একটি সীমা অতিক্রম করছে । একইভাবে বিতরণ (যা আগ্রহের পরিমাণ) একটি সীমাতে পৌঁছাবে। $\rho^2(n)$ $1000$ $\rho^2(n)$ $n$ $|\rho(n)|$

Rচিত্রটি তৈরি করার জন্য এটি কোড।

f <- function(n){
  m <- (2 - 3* n + 2* n^2 -3 * n^3)/(n - n^3) * 3/40 
}
n.sim <- 1e4
par(mfrow=c(1,4))
for (n in c(3, 10, 30, 100)) {
  u <- matrix(rnorm(n*n.sim), nrow=n)
  v <- matrix(rnorm(n*n.sim), nrow=n)
  x <- apply(u, 2, cumsum)
  y <- apply(v, 2, cumsum)
  sim <- rep(NA_real_, n.sim)
  for (i in 1:n.sim)
    sim[i] <- cor(x[,i], y[,i])^2
  z <- signif(sqrt(n.sim)*(mean(sim) - f(n)) / sd(sim), 3)
  hist(sim,xlab="rho(n)^2", main=paste("n =", n), sub=paste("Z =", z))
  abline(v=mean(sim), lwd=2, col="Red")
  abline(v=f(n), col="Blue", lwd=2, lty=3)
}

— whuber
সূত্র

জন্য আমার মন্টে-কার্লো সিমুলেশন ভিত্তিক অনুমান প্রায় .24 (যা আপনার ফলাফলের সাথে একমত বলে মনে হচ্ছে) is আমি এখানে আপনার বিশ্লেষণের সাথে একমত। ওপি কীভাবে তার সংখ্যায় আসে তা আপনি পেয়ে যাবেন (যদিও আমি .42 হিসাব করি, না .56)।

E [ρ^{2}]

$E[\rho^2]$

T = 100

$T = 100$

— ম্যাথু গন

যদি আপনি থেকে বার বার অঙ্কন করতে পারেন তবে সময়-সিরিজ বিশ্লেষণে বিশেষভাবে কিছু নেই। সমস্যা (যেমন। Ergodicity, stationarity ইত্যাদি ...) বিকাশ যখন আপনি শুধুমাত্র নতুন মান মান্য করতে পারেন সময় আগুয়ান দ্বারা যা আমি কি ওপি এ ... (কিন্তু হয়তো নয়) পেতে চেষ্টা ছিল অধিকৃত।

Ω

$\Omega$

X

$X$

t

$t$

— ম্যাথু গুন

+1 তবে কেন এই ধনাত্মক মান রয়েছে তা সম্পর্কে অন্তর্নিহিততা , যদিও কেউ আশা করতে পারেন যে যদি কেউ দুটি দীর্ঘ দীর্ঘ এলোমেলো গ্রহণ করে তবে তাদের কাছে শূন্যের কাছাকাছি পারস্পরিক সম্পর্ক হওয়া উচিত, নিঃসন্দেহে কেউ পারস্পরিক সম্পর্কের বিতরণ আশা করতে পারে বড় হওয়ার সাথে সাথে শূন্যে সঙ্কুচিত হতে ?

9 / 40

$9/40$

n

$n$

— অ্যামিবা বলেছেন

@amoeba প্রথমত, আমি সম্পূর্ণরূপে মান বিশ্বাস করে না , কিন্তু আমি এটা সঠিক পাসে জানি। অন্তর্দৃষ্টি জন্য, বিবেচনা করুন যে দুটি স্বতন্ত্র পদচারণা এবং দুটি মাত্রায় একটি এলোমেলো । যে কোনও র্যান্ডম স্ক্রেটারপ্লট 2 ডি তে নিন এবং এর উত্সাহটি কোনওভাবে পরিমাপ করুন। এটি পুরোপুরি বিজ্ঞপ্তি হওয়া বিরল হবে rare সুতরাং, আমরা প্রত্যাশা করি গড় উত্সাহটি ইতিবাচক হবে। এলোমেলো পদক্ষেপের জন্য সীমাবদ্ধ বিতরণ কেবল এই 2 ডি পদক্ষেপের স্ব-অনুরূপ "ফ্র্যাক্টাল" প্রকৃতির প্রতিফলন ঘটায়।

9 / 40

$9/40$

X_{t}

$X_t$

Y_{t}

$Y_t$

(X_{t}, Y_{t})

$(X_t,Y_t)$

— হোয়বার

এখানে আলোচিত বিষয়গুলির একটি অ্যাসিম্পোটিক বিশ্লেষণ ফিলিপস (1986), থিওরেম 1e-তে পাওয়া যেতে পারে ।

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক