হ্যামিল্টন থেকে এআরএমএ (পি, কিউ) এর রাষ্ট্রীয় স্থান প্রতিনিধিত্ব

$r = \max(p,q+1)$

\begin{aligned} y_{t} - μ & = ϕ_{1} (y_{t - 1} - μ) + ϕ_{2} (y_{t - 2} - μ) + . . . + ϕ_{3} (y_{t - 3} - μ) \\ + ϵ_{t} + θ_{1} ϵ_{t - 1} + . . . + θ_{r - 1} ϵ_{t - r + 1} . \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t -\mu &= \phi_1(y_{t-1} -\mu) + \phi_2(y_{t-2} -\mu) + ... + \phi_3(y_{t-3} -\mu) \\ &+ \epsilon_t + \theta_1\epsilon_{t-1} + ... + \theta_{r-1}\epsilon_{t-r+1}. \end{aligned}$

ξ_{t + 1} = [\begin{matrix} ϕ_{1} & ϕ_{2} & \dots & ϕ_{r - 1} & ϕ_{r} \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{matrix}] ξ_{t} + [\begin{matrix} ϵ_{t + 1} \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]

$\xi_{t+1} = \begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \dots & \phi_{r-1} & \phi_r \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dots &1 &0 \end{bmatrix} \xi_t + \begin{bmatrix} \epsilon_{t+1} \\ 0\\\vdots \\ 0 \end{bmatrix}$

এবং পর্যবেক্ষণ সমীকরণ হিসাবে:

y_{t} = μ + [\begin{matrix} 1 & θ_{1} & θ_{2} & \dots & θ_{r - 1} \end{matrix}] ξ_{t} .

$y_t = \mu + \begin{bmatrix} 1 & \theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_{r-1} \\ \end{bmatrix} \xi_t.$

এই ক্ষেত্রে কী তা আমি বুঝতে পারি না । কারণ তাঁর এআর (পি) উপস্থাপনায় এটি ও তার এমএ (1) উপস্থাপনা এটা । $\xi_t$ $\begin{bmatrix} y_{t} - \mu \\ y_{t-1} - \mu\\\vdots \\ y_{t-p+1} - \mu \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} \epsilon_{t} \\ \epsilon_{t-1} \end{bmatrix}$

কেউ কি আমাকে আরও কিছুটা ভাল করে ব্যাখ্যা করতে পারেন?

— dleal
সূত্র

উত্তর:

হ্যামিল্টন দেখায় যে এটি বইতে একটি সঠিক প্রতিনিধিত্ব, তবে পদ্ধতির বিষয়টি কিছুটা বিপরীত বলে মনে হতে পারে। অতএব আমাকে প্রথমে একটি উচ্চ-স্তরের উত্তর দিন যা তার মডেলিংয়ের পছন্দকে অনুপ্রাণিত করে এবং তারপরে তার উত্সটি সম্পর্কে কিছুটা বিশদভাবে বর্ণনা করুন।

প্রেরণা :

১৩ তম অধ্যায়টি পড়া থেকে স্পষ্ট হওয়া উচিত, রাষ্ট্রীয় স্থানের আকারে গতিশীল মডেল লেখার অনেকগুলি উপায় রয়েছে। আমাদের তাই জিজ্ঞাসা করা উচিত কেন হ্যামিল্টন এই বিশেষ প্রতিনিধিত্বটি বেছে নিয়েছিলেন। কারণ হ'ল এই প্রতিনিধিত্বটি রাষ্ট্র ভেক্টরের মাত্রিকতা কম রাখে। স্বজ্ঞাতভাবে, আপনি ভাবেন (বা কমপক্ষে আমি করব) যে কোনও এআরএমএ ( , ) এর স্টেট ভেক্টরের কমপক্ষে মাত্রা । সব পরে, বলে দেখে শুধু থেকে , আমরা মান অনুমান করতে পারবে না । তবুও তিনি দেখান যে আমরা রাষ্ট্র-স্থানের প্রতিনিধিত্বকে একটি চৌকস উপায়ে সংজ্ঞায়িত করতে পারি যা রাষ্ট্রের ভেক্টরকে সর্বাধিক of $p$ $q$ $p+q$ $y_{t-1}$ $\epsilon_{t-1}$ $r = \max\{p, q + 1 \}$ । গণ্য প্রয়োগের জন্য রাষ্ট্রের মাত্রা কম রাখা গুরুত্বপূর্ণ হতে পারে বলে আমার ধারণা। দেখা যাচ্ছে যে তার রাজ্য-স্থান প্রতিনিধিত্ব একটি এআরএমএ প্রক্রিয়াটির একটি দুর্দান্ত ব্যাখ্যাও দেয়: অরক্ষিত রাষ্ট্রটি একটি এআর ( ) হয়, যখন এমএ ( ) অংশটি পরিমাপের ত্রুটির কারণে উত্থিত হয়। $p$ $q$

উত্স :

এখন ডেরাইভেশন জন্য। প্রথম দ্রষ্টব্য যে ল্যাগ অপারেটর স্বরলিপি ব্যবহার করে, এআরএমএ (পি, কিউ) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: যেখানে আমরা জন্য , এবং জন্য এবং আমরা বাদ যেহেতু কমপক্ষে । সুতরাং আমাদের কেবল এটিই দেখাতে হবে যে তার রাজ্য এবং পর্যবেক্ষণ সমীকরণগুলি উপরের সমীকরণকে বোঝায়। রাষ্ট্র ভেক্টরকে এখন দেখুন রাষ্ট্র সমীকরণ আপনি থেকে সমীকরণটি পরীক্ষা করতে পারেন

(1 - ϕ_{1} L - \dots - ϕ_{r} L^{r}) (y_{t} - μ) = (1 + θ_{1} L + \dots + θ_{r - 1} L^{r - 1}) ϵ_{t}

$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) =(1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\epsilon_t$

ϕ_{j} = 0

$\phi_j = 0$

j > p

$j>p$

θ_{j} = 0

$\theta_j = 0$

j > q

$j>q$

θ_{r}

$\theta_r$

r

$r$

q + 1

$q+1$

ξ_{t} = {ξ_{1, t}, ξ_{2, t}, \dots, ξ_{r, t}}^{⊤}

$\mathbf{\xi}_t = \{\xi_{1,t}, \xi_{2,t},\ldots,\xi_{r,t}\}^\top$

2

$2$

r

$r$ কেবল এন্ট্রিগুলি থেকে এক পিরিয়ড এগিয়ে নিয়ে যান এবং the কে রাষ্ট্রের ভেক্টরে । প্রথম সমীকরণ, নির্ধারণ করার জন্য এটি প্রাসঙ্গিক। এটিকে : যেহেতু দ্বিতীয় উপাদান প্রথম উপাদান এবং তৃতীয় উপাদান হয় of এর প্রথম উপাদান

ξ_{i, t}

$\xi_{i,t}$

ξ_{i - 1, t + 1}

$\xi_{i-1,t+1}$

ξ_{r, t}

$\xi_{r,t}$

t + 1

$t+1$

ξ_{i, t + 1}

$\xi_{i,t+1}$

ξ_{1, t + 1} = ϕ_{1} ξ_{1, t} + ϕ_{2} ξ_{2, t} + \dots + ϕ_{r} ξ_{r, t} + ϵ_{t + 1}

$\xi_{1,t+1} = \phi_1 \xi_{1,t} + \phi_2 \xi_{2,t} + \ldots + \phi_r \xi_{r,t} + \epsilon_{t+1}$

ξ_{t}

$\mathbf{\xi_{t}}$

ξ_{t - 1}

$\mathbf{\xi_{t-1}}$

ξ_{t}

$\mathbf{\xi_{t}}$

ξ_{t - 2}

$\mathbf{\xi_{t-2}}$ এবং এরপরে, আমরা ল্যাগ অপারেটর স্বরলিপি ব্যবহার করে এবং লেগ বহুপথকে বাম হাতের দিকে নিয়ে চলেছি (সমীকরণের 13.1.24): সুতরাং গোপনীয় অবস্থাটি একটি স্বতঃসংশ্লিষ্ট প্রক্রিয়া অনুসরণ করে। একইভাবে, পর্যবেক্ষণের সমীকরণটি বা এটি মতো দেখাচ্ছে না, তবে এখন আসে সুন্দর অংশ: শেষ সমীকরণটি :

(1 - ϕ_{1} L - \dots - ϕ_{r} L^{r}) ξ_{1, t + 1} = ϵ_{t + 1}

$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)\xi_{1,t+1} = \epsilon_{t+1}$

y_{t} = μ + ξ_{1, t} + θ_{1} ξ_{2, t} + \dots + θ_{r - 1} ξ_{r - 1, t}

$y_t = \mu + \xi_{1,t} + \theta_1\xi_{2,t} + \ldots + \theta_{r-1}\xi_{r-1,t}$

y_{t} - μ = (1 + θ_{1} L + \dots + θ_{r - 1} L^{r - 1}) ξ_{1, t}

$y_t - \mu = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\xi_{1,t}$

(1 - ϕ_{1} L - \dots - ϕ_{r} L^{r})

$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)$

(1 - ϕ_{1} L - \dots - ϕ_{r} L^{r}) (y_{t} - μ) = (1 + θ_{1} L + \dots + θ_{r - 1} L^{r - 1}) (1 - ϕ_{1} L - \dots - ϕ_{r} L^{r}) y_{t}

$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)y_t$ তবে রাষ্ট্রীয় সমীকরণ (এক সময়সীমা পিছিয়ে) থেকে আমাদের ! সুতরাং সমতুল্য যা হ'ল আমাদের দেখাতে হবে! সুতরাং রাষ্ট্র-পর্যবেক্ষণ সিস্টেমটি সঠিকভাবে এআরএমএ (পি, কিউ) উপস্থাপন করে। আমি সত্যিই হ্যামিল্টনের প্যারাফ্রেসিং করছিলাম, তবে আমি আশা করি এটি যেভাবেই কার্যকর হবে।

(1 - ϕ_{1} L - \dots - ϕ_{r} L^{r}) ξ_{1, t} = ϵ_{t}

$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)\xi_{1,t} = \epsilon_{t}$

(1 - ϕ_{1} L - \dots - ϕ_{r} L^{r}) (y_{t} - μ) = (1 + θ_{1} L + \dots + θ_{r - 1} L^{r - 1}) ϵ_{t}

$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\epsilon_{t}$

— ম্যাথিয়াস শ্মিড্টব্লাইচার
সূত্র

যদিও আমি রাজ্যের ব্যাখ্যায় পুরোপুরি বিক্রি করি না। আপনি যখন রাষ্ট্রের রূপান্তর সমীকরণের প্রথম লাইনটি লিখেন, এমন সমীকরণের মতো মনে হয় যা ধরে নেওয়া মডেলের সাথে দ্বন্দ্ব করে। এছাড়াও আমি এটি আশ্চর্যজনক মনে করি যে আপনি ধরে নিয়েছেন যে পর্যবেক্ষণ করা ডেটা একই সময়ে লুকানো / সুপ্ত is

— টেলর

আপনি ঠিক বলেছেন, রাজ্যটি আসলে মতো । এই বিষয়টি চিহ্নিত করার জন্য ধন্যবাদ. আমি এটিকে সংশোধন করেছিলাম, এখনই ঠিকঠাক হওয়া উচিত। বিটিডব্লিউ, সাধারণভাবে আমরা রাষ্ট্র ভেক্টরে ভেরিয়েবলগুলি পর্যবেক্ষণ করতে পারতাম, উদাহরণস্বরূপ এআর (পি) উদাহরণটি দেখুন। কোথায় লুকিয়ে পরিবর্তনশীল পরবর্তী পর্যায় মান হিসাবে, ভাবা যেতে পারে ।

y_{t}

$y_t$

y_{t + 1}

$y_{t+1}$

— ম্যাথিয়াস শ্মিড্টব্লাইচার

ধন্যবাদ! তবে এই রাজ্যের স্থান উপস্থাপনে কী তা নিয়ে আমি এখনও বিভ্রান্ত । উদাহরণস্বরূপ নয়, তাঁর 13.1.15 এবং 13.1.14 সমীকরণ এবং এআর (পি) এবং এমএ (1) প্রক্রিয়াতে i এর সংজ্ঞাটি y আমার বিভ্রান্তি হ'ল, আমি যদি এটি মাতলাব এ রাখি তবে আমি এ কী সংখ্যা পাচ্ছি ?

ξ

$\xi$

ξ

$\xi$

ξ

$\xi$

— dleal

এখানে বিভ্রান্তকর বিষয়টি হ'ল রাষ্ট্রের স্পেস মডেলিং কোনও গোপন অবস্থার সাথে সম্পর্কিত, যখন এআরএমএ প্রক্রিয়াগুলির সাথে আমরা ভেরিয়েবলগুলি গোপন হিসাবে ভাবি না। রাষ্ট্রের স্থান প্রতিনিধিত্ব এবং (কালম্যান) ফিল্টারিং কৌশলগুলি অরক্ষিত রাজ্যটি ফিল্টার করে প্রেরণা পায়। এআরএমএ প্রক্রিয়াগুলির জন্য, আমরা কেবলমাত্র রাজ্য-স্থানের মডেলগুলি তৈরি করি যাতে আমরা কলম্যান ফিল্টার ব্যবহার করে পরামিতিগুলি অনুমান করতে পারি। সুতরাং আমরা কিছুটা ইচ্ছামতভাবে পরবর্তী সময়কালের পর্যবেক্ষণ 13 হিসাবে 13.1.4 তে লুকানো রাজ্যটিকে সংজ্ঞায়িত করি যখন 13.1.22-এ, রাজ্যটি একটি নতুন পরিবর্তনশীল যা মূল মডেলটিতে উপস্থিত হয় না।

y_{t + 1}

$y_{t+1}$

— ম্যাথিয়াস শ্মিড্টব্লাইচার

মতলব সম্পর্কে আপনার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য: আপনি যদি কোনও এআরএমএ (পি, কিউ) থেকে শুরু করেন তবে এমন কোনও পরিবর্তনশীল নয় যা সেই মডেলটিতে উপস্থিত হয়। তবে, রাষ্ট্রীয় স্থানের প্রতিনিধিত্বটি আসলে এআরএমএ (পি, কিউ) এর আলাদা ব্যাখ্যা দেয়: গোপনীয় অবস্থাটি আপনার আগ্রহী পরিবর্তনশীল হতে পারে এবং পরিমাপের ত্রুটির কারণে এমএ (কিউ) কাঠামো উত্থাপিত হয়েছিল। আপনি একটি এআর (1) লিখে লিখে কিছু সাদা গোলমাল যুক্ত করতে পারেন যে কোনও এআরএমএ কাঠামোটি উত্থাপিত হয়েছে তা দেখতে।

ξ

$\xi$

— ম্যাথিয়াস শ্মিড্টব্লাইচার

এটি উপরের মতো একই, তবে আমি ভেবেছিলাম যে আমি একটি সংক্ষিপ্ত, আরও সংক্ষিপ্ত উত্তর সরবরাহ করব। আবার এটি হ'ল হ্যামিল্টনের কার্যকারক এআরএমএ ( , ) প্রক্রিয়ার জন্য প্রতিনিধিত্ব, যেখানে । এই সংখ্যাটি রাষ্ট্র ভেক্টরের মাত্রা হবে , এবং এটির সারিগুলির সংখ্যা তৈরি করা প্রয়োজন পর্যবেক্ষণ ম্যাট্রিক্সের কলামগুলির সংখ্যার সাথে রাজ্যটির মিল। এর অর্থ যখনই সূচকটি খুব বড় হয় তখন আমাদের শূন্যের সহগগুলিও নির্ধারণ করতে হবে। $p$ $q$ $r=\max(p,q+1)$ $r$ $(\xi_t, \xi_{t-1},\ldots, \xi_{t-r+1})'$

পর্যবেক্ষণ সমীকরণ

\begin{aligned} ϕ (B) (y_{t} - μ) = θ (B) ϵ_{t} \\ (causality) & ⟺ & (y_{t} - μ) = ϕ^{- 1} (B) θ (B) ϵ_{t} \\ ⟺ & y_{t} = μ + ϕ^{- 1} (B) θ (B) ϵ_{t} \\ ⟺ & y_{t} = μ + θ (B) ϕ^{- 1} (B) ϵ_{t} \\ (letting ξ_{t} = ϕ^{- 1} (B) ϵ_{t}) & ⟺ & y_{t} = μ + θ (B) ξ_{t} \\ (this is where we need r) & ⟺ & y_{t} = μ + [\begin{array}{ccccc} 1 & θ_{1} & θ_{2} & \dots & θ_{r - 1} \end{array}] \underset{the state vector}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} ξ_{t} \\ ξ_{t - 1} \\ ⋮ \\ ξ_{t - r + 1} \end{matrix}]}} + 0 . \end{aligned}

$\begin{align*} &\phi(B)(y_t - \mu) = \theta(B)\epsilon_t \\ \iff &(y_t - \mu) = \phi^{-1}(B)\theta(B)\epsilon_t \tag{causality}\\ \iff &y_t = \mu + \phi^{-1}(B)\theta(B)\epsilon_t \\ \iff &y_t = \mu + \theta(B)\phi^{-1}(B)\epsilon_t \\ \iff &y_t = \mu + \theta(B)\xi_t \tag{letting $\xi_t = \phi^{-1}(B)\epsilon_t$}\\ \iff &y_t = \mu + \left[\begin{array}{ccccc}1 & \theta_1 & \theta_2 & \ldots & \theta_{r-1} \end{array}\right] \underbrace{\left[\begin{array}{c} \xi_t \\ \xi_{t-1} \\ \vdots \\ \xi_{t-r+1} \end{array}\right]}_{\text{the state vector}} + 0\tag{this is where we need $r$}. \end{align*}$

রাষ্ট্রীয় সমীকরণ

\begin{aligned} ξ_{t} = ϕ^{- 1} (B) ϵ_{t} \\ ⟺ & ϕ (B) ξ_{t} = ϵ_{t} \\ ⟺ & (1 - ϕ_{1} B - \dots - ϕ_{r} B^{r}) ξ_{t} = ϵ_{t} \\ ⟺ & ξ_{t} = ϕ_{1} ξ_{t - 1} + \dots + ϕ_{r} ξ_{t - r} + ϵ_{t} \\ ⟺ & [\begin{matrix} ξ_{t} \\ ξ_{t - 1} \\ ξ_{t - 2} \\ ⋮ \\ ξ_{t - r + 1} \end{matrix}] = [\begin{array}{ccccc} ϕ_{1} & ϕ_{2} & ϕ_{3} & \dots & ϕ_{r} \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{array}] [\begin{matrix} ξ_{t - 1} \\ ξ_{t - 2} \\ ⋮ \\ ξ_{t - r} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ϵ_{t} \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}] . \end{aligned}

$\begin{align*} &\xi_t = \phi^{-1}(B)\epsilon_t \\ \iff &\phi(B)\xi_t = \epsilon_t \\ \iff &(1 - \phi_1 B - \cdots - \phi_rB^r) \xi_t = \epsilon_t \\ \iff &\xi_t = \phi_1 \xi_{t-1} + \cdots + \phi_r \xi_{t-r} + \epsilon_t \\ \iff & \left[\begin{array}{c} \xi_t \\ \xi_{t-1} \\ \xi_{t-2} \\ \vdots \\ \xi_{t-r+1} \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{ccccc} \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \cdots & \phi_r \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 &\cdots & 1 & 0 \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} \xi_{t-1} \\ \xi_{t-2} \\ \vdots \\ \xi_{t-r} \end{array}\right] + \left[ \begin{array}{c} \epsilon_t \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right]. \end{align*}$

— টেলর
সূত্র

এগুলি অবশেষে পরিষ্কার করে দেয় those রাষ্ট্রীয় সমীকরণগুলি কোথা থেকে এসেছে। আমি মনে করি যে এটির মতো উল্লেখ করা ঠিক তাত্ক্ষণিকভাবে সেই র্যান্ডম প্রদর্শিত সমীকরণগুলি নোটের সাথে সঠিকভাবে পরিণত হয় giving

— অ্যালেক্স

@ কাউবয় ট্র্যাডার হ্যাঁ, এটা ঠিক। কমপক্ষে এই এআরএমএ উপস্থাপনার জন্য। আরও কিছু আছেন।

— টেলর

@ কাউবয় ট্রেডার নো, তবে আমি বলব এটি একটি বোধগম্য বোধ কারণ রাষ্ট্রীয় স্থানের মডেলগুলিতে সাহিত্য ফিল্টারিংয়ের পক্ষে পক্ষপাতদুষ্ট। রিনিয়ার গাউসিয়ান রাষ্ট্রীয় স্থানের মডেলগুলির জন্য পুনরাবৃত্তি পূর্বাভাস সমীকরণ বিদ্যমান, তবে আপনি ফিল্টারিং স্টাফগুলিকে একটি অতিরিক্ত বোনাস হিসাবে পাবেন।

— টেলর

@ কাউবয় ট্রেডার নির্দ্বিধায় আমাকে একটি ইমেল প্রেরণ করুন। আমি জানি সবাই মন্তব্যগুলিতে বর্ধিত আলোচনা পছন্দ করে না তাই এটি করা সহজতর হতে পারে।

— টেলর

আমি দেখতে পাচ্ছি যে এটি প্রমাণিত হয়েছে তবে আপনি কি দয়া করে কিছু অনুভূতি দেওয়ার জন্য সাহায্য করতে পারেন? রাষ্ট্রের ভেরিয়েবলগুলি কী, টি = 0 রাষ্ট্র ভেক্টর কী?

— ফ্রাঙ্ক