এলোমেলো- এবং স্থির-প্রভাবের মধ্যে গাণিতিক পার্থক্য কী?

26

এলোমেলো- এবং স্থির-প্রতিক্রিয়াগুলির ব্যাখ্যা সম্পর্কে আমি ইন্টারনেটে অনেক কিছু পেয়েছি। তবে আমি নিম্নলিখিতটি নীচে পিন করার কোনও উত্স পেতে পারি না:

এলোমেলো- এবং স্থির-প্রভাবের মধ্যে গাণিতিক পার্থক্য কী?

এর অর্থ আমার কাছে মডেলটির গাণিতিক সূত্র এবং পরামিতিগুলি অনুমান করার উপায়।

— jokel
সূত্র

1

ঠিক আছে, স্থির প্রভাবগুলি যৌথ বন্টনের গড় প্রভাব এবং এলোমেলো প্রভাবগুলি ভেরিয়েন্স এবং সমিতি কাঠামোকে প্রভাবিত করে। "গাণিতিক পার্থক্য" বলতে কী বোঝ? আপনি কি জিজ্ঞাসা করছেন সম্ভাবনা কীভাবে পরিবর্তিত হয়? আপনি আরো নির্দিষ্ট হতে পারে?

— ম্যাক্রো

সম্ভাব্য আগ্রহের: এলোমেলো প্রভাব-, স্থির প্রভাব- এবং প্রান্তিক মডেলের মধ্যে পার্থক্য কী?

— গুং - মনিকা পুনরায়

1

এছাড়াও সম্পর্কিত: স্থির প্রভাব, এলোমেলো প্রভাব এবং মিশ্র প্রভাবের মডেলগুলির মধ্যে পার্থক্য কী?

— অ্যামিবা বলেছেন মোনিকা

1

প্রশ্নটি যে পটভূমি থেকে এটি আঁকা হচ্ছে তা পৃথক করে বলে মনে হচ্ছে না। প্যানেল ডেটা ইকোনমিকসের এই পরিভাষা মাল্টিলেভেল মডেলগুলি ব্যবহার করে অন্যান্য সামাজিক বিজ্ঞানের তুলনায় পৃথক। প্রশ্নটির আরও ব্যাখ্যা প্রয়োজন। অন্যথায়, যে কোনও প্রসঙ্গে ব্যাকগ্রাউন্ড থেকে এখানে আসার জন্য এটি বিভ্রান্তিমূলক is

— লুচোনাচো

21

র্যান্ডম প্রভাব সঙ্গে সহজ মডেল র্যান্ডম প্রভাব সঙ্গে একমুখী ANOVA মডেল, পর্যবেক্ষণ দ্বারা দেওয়া হয় distributional অনুমানের সাথে $y_{ij}$

(Y_{আমি ঞ} | μ_{আমি}) ~_{IID} এন (μ_{আমি}, σ_{W}^{2}), ঞ = 1, ..., জে, μ_{আমি} ~_{IID} এন (μ, σ_{খ}^{2}), আমি = 1, ..., আমি ।

$(y_{ij} \mid \mu_i) \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu_i, \sigma^2_w), \quad j=1,\ldots,J, \qquad \mu_i \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu, \sigma^2_b), \quad i=1,\ldots,I.$

এখানে এলোমেলো প্রভাব । এগুলি এলোমেলো ভেরিয়েবল, এগুলি এএনওভা মডেলে স্থির প্রভাব সহ স্থির সংখ্যা। $\mu_i$

উদাহরণ হিসেবে বলা যায় তিনটি প্রযুক্তিবিদরা প্রতিটি একটি পরীক্ষাগার পরিমাপ একটি সিরিজ রেকর্ড, এবং হয় প্রকর্মী এর -th পরিমাপ । কল প্রকর্মী দ্বারা উত্পন্ন সিরিজের "সত্যিকারের গড় মান" ; এই সামান্য কৃত্রিম প্যারামিটার, আপনি দেখতে পারেন গড় মান প্রকর্মী হিসাবে যদি তিনি / সে পরিমাপ একটি বিশাল সিরিজ রেকর্ড করেছেন প্রাপ্ত করা হত। $i=1,2,3$ $y_{ij}$ $j$ $i$ $\mu_i$ $i$ $\mu_i$ $i$

আপনি যদি , , মূল্যায়ন করতে আগ্রহী হন (উদাহরণস্বরূপ অপারেটরগুলির মধ্যে পক্ষপাতমূলক মূল্যায়ন করার জন্য ), তবে আপনাকে স্থির প্রভাব সহ আনোভা মডেলটি ব্যবহার করতে হবে। $\mu_1$ $\mu_2$ $\mu_3$

আপনি যখন ভেরিয়েন্সগুলিতে আগ্রহী হন তখন আপনাকে এলোভা মডেল ব্যবহার করতে হবে $\sigma^2_w$ এবং মডেল সংজ্ঞায়িত, এবং মোট ভ্যারিয়েন্স (নিচে দেখুন)। ভ্যারিয়েন্স এক প্রকর্মী দ্বারা উত্পন্ন রেকর্ডিং ভ্যারিয়েন্স (এটা সব প্রযুক্তিবিদরা জন্য একই গণ্য করা হয়), এবং মধ্যে-প্রযুক্তিবিদরা ভ্যারিয়েন্স বলা হয়। হতে পারে আদর্শভাবে, প্রযুক্তিবিদদের এলোমেলোভাবে নির্বাচন করা উচিত। $\sigma^2_b$ $\sigma^2_b+\sigma^2_w$ $\sigma^2_w$ $\sigma^2_b$

এই মডেলটি কোনও ডেটা নমুনার জন্য বৈকল্পিক সূত্রের ক্ষয়কে প্রতিবিম্বিত করে: এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

মোট ভ্যারিয়েন্স = মানে ভ্যারিয়েন্স ভিতরে-ভেরিয়ানস মাধ্যম $+$

যা এলোভা মডেল দ্বারা এলোমেলো প্রভাব সহ প্রতিফলিত হয়: এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

প্রকৃতপক্ষে, বিতরণ প্রদত্ত শর্তযুক্ত বিতরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে $y_{ij}$ $(y_{ij})$ এবং বন্টনের দ্বারা । এক নির্ণয় এর "নিঃশর্ত" ডিস্ট্রিবিউশন তাহলে তারপর আমরা এটি । $\mu_i$ $\mu_i$ $y_{ij}$ $\boxed{y_{ij} \sim {\cal N}(\mu, \sigma^2_b+\sigma^2_w)}$

আরও ভাল ছবি দেখতে এখানে স্লাইড 24 এবং 25 স্লাইড দেখুন (ওভারলেগুলি প্রশংসা করতে আপনাকে পিডিএফ ফাইলটি সংরক্ষণ করতে হবে, অনলাইন সংস্করণটি দেখুন না)।

— স্টাফেন লরেন্ট
সূত্র

1

(+1) খুব সুন্দর পরিসংখ্যান!

— অ্যামিবা বলছেন

1

আপনাকে ধন্যবাদ অ্যামিবা, জড়তা মুহুর্তের জন্য আমার কোডটি আমার ব্লগে পাওয়া যাবে: stla.github.io/stlapblog/posts/Variance_inertia.html

— স্টাফেন লরেন্ট ২

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

σ

$\sigma$

@ স্টাফেনলরেন্ট কোন আনোভা একটি সাধারণের ধারণা um

σ

$\sigma$

σ

$\sigma$

μ_{i}

$\mu_i$

σ_{b}^{2}

$\sigma_b^2$

μ_{i}

$\mu_i$

σ_{w}^{2}

$\sigma_w^2$

16

মূলত, আপনি যদি এলোমেলো হিসাবে কোনও ফ্যাক্টরকে মডেল করেন তবে আমি যা সবচেয়ে স্বতন্ত্র পার্থক্য মনে করি তা হ'ল এই প্রভাবগুলি সাধারণ সাধারণ বিতরণ থেকে আঁকা বলে ধরে নেওয়া হয়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার কাছে গ্রেড সম্পর্কিত কোনও ধরণের মডেল থাকে এবং আপনি বিভিন্ন স্কুল থেকে আগত আপনার শিক্ষার্থীর ডেটার জন্য অ্যাকাউন্ট করতে চান এবং আপনি স্কুলটিকে একটি এলোমেলো ফ্যাক্টর হিসাবে মডেল করেন তবে এর অর্থ হল আপনি ধরে নেন যে স্কুল গড় সাধারণত বিতরণ করা হয়। এর অর্থ হ'ল পরিবর্তনের দুটি উত্স মডেলিং: শিক্ষার্থীদের গ্রেডের বিদ্যালয়ের ভেরিয়েবিলিটি এবং বিদ্যালয়ের পরিবর্তনশীলতার মধ্যে।

এর ফলে আংশিক পুলিং নামে পরিচিত কিছু ঘটে । দুটি চরম বিবেচনা করুন:

বিদ্যালয়ের কোনও প্রভাব নেই (বিদ্যালয়ের পরিবর্তনশীলতা শূন্যের মধ্যে)। এই ক্ষেত্রে একটি লিনিয়ার মডেল যা বিদ্যালয়ের জন্য অ্যাকাউন্ট করে না তা সর্বোত্তম হবে।
বিদ্যালয়ের পরিবর্তনশীলতা শিক্ষার্থীর পরিবর্তনের চেয়ে বড়। তাহলে আপনার প্রাথমিকভাবে শিক্ষার্থীদের স্তর (কম # নমুনা) এর পরিবর্তে স্কুল পর্যায়ে কাজ করা উচিত। এটি মূলত এমন মডেল যেখানে আপনি স্থির প্রভাবগুলি ব্যবহার করে বিদ্যালয়ের জন্য অ্যাকাউন্ট করেন। বিদ্যালয়ে আপনার কাছে কয়েকটি নমুনা থাকলে সমস্যা হতে পারে।

উভয় স্তরে পরিবর্তনশীলতা অনুমান করে মিশ্র মডেল এই দুটি পদ্ধতির মধ্যে একটি স্মার্ট আপস করে। বিশেষত আপনার যদি বিদ্যালয়ে প্রতি বৃহত্তর # শিক্ষার্থী না থাকে তবে এর অর্থ হ'ল মডেল 2 এর সামগ্রিক গড়ের দিকে মডেল 2 দ্বারা অনুমান অনুসারে আপনি পৃথক বিদ্যালয়ের জন্য প্রভাবগুলি সঙ্কুচিত পাবেন।

এটি কারণ মডেলগুলি বলে যে যদি আপনার সাথে দুটি শিক্ষার্থী যুক্ত একটি স্কুল থাকে যা স্কুলের জনসংখ্যার জন্য "স্বাভাবিক" এর চেয়ে বেশি ভাল তবে সম্ভবত এই প্রভাবটির কিছু অংশ স্কুল পছন্দ করে ভাগ্যবান বলে ব্যাখ্যা করবে that দুই ছাত্র তাকিয়ে। এটি এটিকে অন্ধভাবে তৈরি করে না, এটি স্কুলের পরিবর্তনশীলতার মধ্যে অনুমানের উপর নির্ভর করে এটি করে। এর অর্থ এটিও হ'ল বড় স্কুলগুলির তুলনায় কম নমুনা সহ প্রভাব স্তরগুলি সামগ্রিক গড়ের দিকে বেশি দৃ strongly়ভাবে টান হয়।

গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি হল এলোমেলো গুণকের স্তরের আপনার বিনিময়যোগ্যতা প্রয়োজন। এর অর্থ এই ক্ষেত্রে যে স্কুলগুলি (আপনার জ্ঞান থেকে) বিনিময়যোগ্য এবং আপনি কোনও কিছুই জানেন না যা এগুলি আলাদা করে তোলে (কোনও আইডির বাইরে কিছু)। আপনার যদি অতিরিক্ত তথ্য থাকে তবে আপনি এটি একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করতে পারেন, এটি যথেষ্ট যে স্কুলগুলি অন্যান্য তথ্যের জন্য অ্যাকাউন্টে বিনিময়যোগ্য শর্তযুক্ত।

উদাহরণস্বরূপ, এই ধারণাটি গ্রহণ করা বুদ্ধিমান হবে যে নিউ ইয়র্কে বসবাসকারী 30 বছর বয়সী প্রাপ্ত বয়স্করা লিঙ্গের ক্ষেত্রে বিনিময়যোগ্য শর্তযুক্ত। আপনার যদি আরও তথ্য (বয়স, জাতি, শিক্ষা) থাকে তবে সেই তথ্যটিও অন্তর্ভুক্ত করা বুদ্ধিমানের কাজ।

ওটিএইচ যদি আপনার একটি নিয়ন্ত্রণ গোষ্ঠী এবং তিনটি বন্যপ্রাণীর সাথে বিভিন্ন রোগ গোষ্ঠীর সাথে অধ্যয়ন করে থাকে তবে নির্দিষ্ট রোগটি বিনিময়যোগ্য না হওয়ায় এটিকে এলোমেলোভাবে মডেল করার বিষয়টি বোঝা যায় না। যাইহোক, সংকোচনের প্রভাবটি অনেক লোকের পছন্দ মতো তারা এখনও একটি এলোমেলো প্রভাবের মডেলের পক্ষে তর্ক করবে তবে এটি অন্য গল্প।

আমি লক্ষ্য করেছি যে আমি গণিতে খুব বেশি প্রবেশ করিনি, তবে মূলত পার্থক্যটি হ'ল এলোমেলো এফেক্টস মডেলটি স্কুল স্তরের এবং শিক্ষার্থীদের স্তরের উভয়ই একটি সাধারণ বিতরণ ত্রুটি অনুমান করে যখন স্থির প্রভাবের মডেলটিতে কেবল ত্রুটি থাকে শিক্ষার্থীদের স্তর। বিশেষত এর অর্থ হ'ল প্রতিটি বিদ্যালয়ের নিজস্ব স্তর রয়েছে যা সাধারণ বিতরণ দ্বারা অন্যান্য স্তরের সাথে সংযুক্ত নয়। এর অর্থ হ'ল স্থির মডেলটি বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীকে অতিরিক্ত তথ্য সংযোজন করতে দেয় না যখন এলোমেলো প্রভাবের মডেলটি করে থাকে তবে এটি এমন একটি পরিবর্তনের সাথে যা শিক্ষার্থীর স্তর এবং স্কুল স্তরের পরিবর্তনশীলতার যোগফল। আপনি যদি বিশেষত আগ্রহের বিষয়ে আগ্রহী হন তবে আমরা এটিতে কাজ করতে পারি।

— এরিক
সূত্র

1

(+1) একটি দুর্দান্ত উত্তর, যা আশ্চর্যজনকভাবে ভোটের নিচে। আমি একটি বিভ্রান্তিকর টাইপ লক্ষ্য করলাম: "বাদ দেওয়া" উচিত "অন্তর্ভুক্ত" পড়া উচিত। তা ছাড়া: স্কুলটিকে এলোমেলো বনাম স্থির প্রভাব হিসাবে চিকিত্সার মধ্যে একটি প্রত্যাশিত ব্যবহারিক পার্থক্য কী হবে ? আমি বুঝতে পারি যে স্থির হিসাবে চিকিত্সা করা একটি নতুন স্কুল থেকে শিক্ষার্থীর পারফরম্যান্সের পূর্বাভাস দেয় না তবে উপলভ্য ডেটাতে পার্থক্য সম্পর্কে কী বলা যায়? আসুন বলি যে অন্যান্য স্থির প্রভাবগুলি হ'ল শিক্ষার্থীদের লিঙ্গ, জাতি এবং ওজন (যাই হোক না কেন)। স্কুলটিকে এলোমেলো / স্থির হিসাবে প্রধান প্রভাব বা আগ্রহের মিথস্ক্রিয়াটির প্রভাবকে প্রভাবিত করে? অন্য কোন পার্থক্য?

— অ্যামিবা বলছেন

3

@ অ্যামিবা ধারাবাহিকতা একপাশে রেখে, শিক্ষার্থীর স্তরের সহগের উপর এমএসই কম বেশি কার্যকর হতে পারে বা অন্যান্য বিষয়গুলির মধ্যে, শিক্ষার্থী এক্স এবং এলোমেলো প্রভাব, গুচ্ছ সংখ্যা ইত্যাদির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের স্তরগুলির উপর নির্ভর করে একটি স্থির প্রভাবগুলির মডেলের তুলনায় একটি র্যান্ডম বনাম কম বেশি কার্যকর হতে পারে etc । ক্লার্ক ও Linzer 2012 সিমুলেশন ফলাফল আছে।

— কনজুগেটপায়ার

1

@conjugateprior বাহ, এই মন্তব্যের জন্য অনেক ধন্যবাদ! আমি লিঙ্কযুক্ত কাগজটি পড়েছি এবং এটি আমার দেখা ইস্যুর সর্বাধিক স্পষ্ট ব্যাখ্যা। আমি স্থির / এলোমেলো প্রভাব সম্পর্কে সিভিতে বিভিন্ন থ্রেড পড়ার জন্য যথেষ্ট পরিমাণে সময় ব্যয় করেছি, তবে কখন একজনের একে অপরের ব্যবহার করা উচিত এবং কেন তা বুঝতে পারিনি। সিএন্ডএল পড়া আমার কাছে অনেক কিছুই স্পষ্ট হয়েছে। আপনি সম্ভবত সিভিতে কোথাও একটি উত্তর লিখতে চান এটি এবং / অথবা সম্পর্কিত কাগজপত্রের সংক্ষিপ্তসার উপস্থাপন করে? আমি সর্বাধিক ভোটকৃত [মিশ্র-মডেল] থ্রেডে একটি অনুগ্রহ চালাচ্ছি এবং সেখানে আপনাকে আরও একটি উপহার দেওয়ার জন্য আমি খুশি হব।

— অ্যামিবা বলেছেন মনিকা

@ এরিক, আমি "আংশিক স্কুলিং" "আংশিক পুলিং" সংশোধন করার জন্য সম্পাদনা করেছি। আমার মনে হয় এটি টাইপো ছিল তবে ক্ষমা চাইলে যদি এটি উদ্দেশ্যপ্রণালী হত!

— অ্যামিবা বলছেন মনিকা

2

ইকোন ল্যান্ডে এই জাতীয় প্রভাবগুলি স্বতন্ত্র-নির্দিষ্ট ইন্টারসেপ্ট (বা ধ্রুবকগুলি) যা অরক্ষিত থাকে তবে প্যানেল ডেটা ব্যবহার করে অনুমান করা যায় (সময়ের সাথে একই ইউনিটে পুনরাবৃত্তি পর্যবেক্ষণ)। স্থির প্রভাবগুলির অনুমানের পদ্ধতিটি ইউনিট-নির্দিষ্ট ইন্টারসেপ্ট এবং স্বতন্ত্র ব্যাখ্যামূলক ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক স্থাপনের অনুমতি দেয়। এলোমেলো প্রভাব না। আরও নমনীয় স্থির প্রভাবগুলি ব্যবহারের ব্যয় হ'ল আপনি সময় পরিবর্তনকারী (যেমন লিঙ্গ, ধর্ম বা বর্ণের মতো) ভেরিয়েবলগুলির উপর সহগের অনুমান করতে পারবেন না।

এনবি অন্যান্য ক্ষেত্রগুলির নিজস্ব পরিভাষা রয়েছে, যা বিভ্রান্তিকর হতে পারে।

— দিমিত্রি ভি। মাস্টারভ
সূত্র

(-1) স্থির এবং এলোমেলো প্রভাবগুলির মধ্যে গাণিতিক পার্থক্য সম্পর্কে কিছুই বলে না

— ম্যাক্রো

1

@ ম্যাক্রো একমত এটি সামনে আসার আগে, এটি জানতে কার্যকর হবে যে ইকন পরিভাষাটি ওপি কী সন্ধান করছে। আমার এটা পরিষ্কার হওয়া উচিত ছিল।

— দিমিত্রি ভি। মাস্টারভ

ঠিক আছে. সেক্ষেত্রে এটি মন্তব্য হিসাবে আরও উপযুক্ত হতে পারে, আপনি কি বলবেন না?

— ম্যাক্রো

"আরও নমনীয় ফিক্সড এফেক্টস ব্যবহারের ব্যয়টি হ'ল আপনি সময় পরিবর্তনকারী এমন ভেরিয়েবলগুলিতে গুণাগুণটি অনুমান করতে পারবেন না" ঠিক সত্য নয়। আমি কেবল একটি সিমুলেশন করেছি যেখানে আপনি ব্যক্তিদের উপর বার বার পরিমাপ করেছেন এবং একক বাইনারি ভবিষ্যদ্বাণী যা সময়ের সাথে আলাদা নয়। আপনি যদি আইডির জন্য একটি স্থির প্রভাব এবং বাইনারি ভবিষ্যদ্বাণীটির জন্য একটি অন্তর্ভুক্ত করেন তবে আপনি অবশ্যই বাইনারি ভবিষ্যদ্বাণীতে গুণমানটি অনুমান করতে পারেন (যদিও, আমি স্বীকার করব, আপনার যদি বার বার পরিমাপ না করে থাকে তবে অনুমানটির একটি থাকে বড় স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি)।

— ম্যাক্রো

3

অ্যান্ড্রু গেলম্যান (যিনি অর্থনীতিবিদ নন) তাঁর আনোভা গবেষণাপত্রে পাঁচটি স্বতন্ত্র সংজ্ঞাটি তালিকাভুক্ত করেছেন: স্ট্যাটাকলম্বিয়া.ইডু / এজেলম্যান / রিসার্চ / প্রকাশিত / বানোয়া 7.pdf ।

— দিমিত্রি ভি। মাস্টারভ

2

একটি স্ট্যান্ডার্ড সফ্টওয়্যার প্যাকেজে (যেমন আর এর lmer) মূল পার্থক্যটি হ'ল:

স্থির প্রভাবগুলি সর্বাধিক সম্ভাবনা দ্বারা অনুমান করা হয় (লিনিয়ার মডেলের জন্য সর্বনিম্ন স্কোয়ার)
র্যান্ডম এফেক্টগুলি অনুমিত অভিজ্ঞতা দ্বারা অনুমান করা হয় (লিনিয়ার মডেলের জন্য কিছু সংকোচনের সাথে কমপক্ষে স্কোয়ার, যেখানে সংকোচন পরামিতি সর্বাধিক সম্ভাবনার দ্বারা নির্বাচিত হয়)

আপনি যদি বায়েশিয়ান হয়ে থাকেন (যেমন উইনবুগস), তবে এর মধ্যে কোনও আসল পার্থক্য নেই।

— সাইমন বাইর্ন
সূত্র

3

আমি কোন পার্থক্য আছে সম্পর্কে দৃ strongly়ভাবে একমত। আপনি হাইপারপ্যারামিটারগুলি সহ পৃথক প্রিয়ার বা বায়সিয়ান মিশ্রিত মডেলযুক্ত সমস্ত সহগ সহ একটি বায়সিয়ান স্থির প্রভাবগুলির মডেলটি ফিট করতে পারেন।

— এরিক

আপনি Bayesian মত পার্থক্য সৌন্দর্য হচ্ছে থাকেন এই ।

— কনজুগেটপায়ার

@ সিমন এটি একটি নির্ভুল এবং খালাস উত্তর। আমার এটা অনেক আগে উল্লেখ করা উচিত।

— সুভাষ সি। দাবার

-3

@ জোক একটি স্থির-প্রভাবের মডেল থেকে বোঝা যায় যে একটি গবেষণা (বা পরীক্ষা) দ্বারা উত্পাদিত প্রভাব-আকার স্থির করা হয় অর্থাৎ হস্তক্ষেপের জন্য পুনরাবৃত্তি পরিমাপের ফলে একই প্রভাব-আকার হয় turn সম্ভবত, পরীক্ষার জন্য বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ অবস্থার পরিবর্তন হয় না। আপনার যদি অনেকগুলি পরীক্ষা এবং বিভিন্ন কনডাকশনের অধীনে অধ্যয়ন হয় তবে আপনার বিভিন্ন প্রভাব-আকার হবে। এফেক্ট-সাইজের একটি সেটের গড় এবং বৈচিত্রের প্যারামেট্রিক অনুমানগুলি উভয়ই স্থির-প্রতিক্রিয়া বা এগুলি এলোমেলো-প্রভাব (একটি সুপার-জনসংখ্যা থেকে উপলব্ধি করা) অনুমান করে উপলব্ধি করা যায়। আমি মনে করি এটি গাণিতিক পরিসংখ্যানের সাহায্যে সমাধান করা যায় matter

— সুভাষ সি। দাবার
সূত্র