বিটা বিতরণ ঘনত্ব ফাংশনে কেন -1 রয়েছে?

বিটা বিতরণ দুটি প্যারামিটারাইজেশন (বা এখানে ) এর অধীনে প্রদর্শিত হবে

\begin{matrix} (1) & f (x) \propto x^{α} (1 - x)^{β} \end{matrix}

$f(x) \propto x^{\alpha} (1-x)^{\beta} \tag{1}$

বা যেটি আরও বেশি ব্যবহৃত হয় বলে মনে হয়

\begin{matrix} (2) & f (x) \propto x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1} \end{matrix}

$f(x) \propto x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1} \tag{2}$

তবে দ্বিতীয় সূত্রে ঠিক কেন ‘ ’ রয়েছে? $-1$

স্বতঃস্ফূর্তভাবে প্রথম সূত্রটি দ্বিপদী বিতরণের সাথে আরও সরাসরি মিলিত বলে মনে হয়

\begin{matrix} (3) & g (k) \propto p^{k} (1 - p)^{n - k} \end{matrix}

$g(k) \propto p^k (1-p)^{n-k} \tag{3}$

তবে এর দৃষ্টিকোণ থেকে "দেখা" $p$ । এটি বিশেষত বিটা-বাইনোমিয়াল মডেলটিতে স্পষ্ট যেখানে সাফল্যের একটি পূর্ব সংখ্যা হিসাবে বোঝা যায় এবং হ'ল ব্যর্থতার একটি পূর্ব সংখ্যা। $\alpha$ $\beta$

তবে কেন দ্বিতীয় রূপটি জনপ্রিয়তা অর্জন করেছিল এবং এর পিছনে যুক্তি কী? প্যারামিট্রাইজেশন (যেমন দ্বিপদী বিতরণের সংযোগের জন্য) ব্যবহার করার ফলে কী কী পরিণতি হয়?

এটি দুর্দান্ত হবে যদি কেউ অতিরিক্তভাবে এই জাতীয় পছন্দগুলির মূল উত্স এবং এর জন্য প্রাথমিক যুক্তিগুলি নির্দেশ করতে পারে তবে এটি আমার পক্ষে প্রয়োজনীয়তা নয়।

— টিম
সূত্র

গভীর কারণ এ hinted হয় এই উত্তরটি : সমান পরিমাপ আপেক্ষিক । যে আপনার প্রশ্নের হ্রাস " কেন সেই নির্দিষ্ট পরিমাপটি "? এই পরিমাপটি এই ডিস্ট্রিবিউশনগুলি বোঝার" ডান "উপায়ের পরামর্শ দেয় কেন? ": লজিস্টিক রূপান্তর আবেদন করতে হয় " শর্তাদি তারপর অদৃশ্য হয়ে যাবে।

f

$f$

x^{α} (1 - x)^{β}

$x^\alpha(1-x)^\beta$

d μ = d x / ((x (1 - x))

$d\mu=dx/((x(1-x))$

d μ = d (\log (\frac{x}{1 - x}))

$d\mu=d\left(\log\left(\frac{x}{1-x}\right)\right)$

- 1

$-1$

— whuber

আমি মনে করি এটির আসল কারণটি হ'ল historicalতিহাসিক - কারণ এটি বিটা ফাংশনে এমনভাবে উপস্থিত হয় যার জন্য বিতরণের নাম দেওয়া হয়েছে। কেন হিসাবে যে হয়েছে ক্ষমতায়, আমি শেষ পর্যন্ত কারণ whuber উল্লেখ (যদিও ঐতিহাসিকভাবে এটা পরিমাপ বা এমনকি সম্ভাবনা সঙ্গে কিছুই করার আছে) সাথে সংযুক্ত করা হবে আশা।

- 1

$-1$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ গ্লেেন_বি এটি historicalতিহাসিকের চেয়ে বেশি: এর গভীর কারণ রয়েছে। এগুলি বিটা এবং গামা কার্যের মধ্যে অন্তরঙ্গ সংযোগের কারণে, এর হয় কেন এই প্রশ্নটি হ্রাস করে এবং । যে কারণ একটি গাউস সমষ্টি । সমতুল্যভাবে, এটি দেখতে হলে "সঠিক" হয় একটি গুণনশীল homomorphism অবিচ্ছেদ্য যেমন বার একটি যুত চরিত্র Haar পরিমাপ বিরুদ্ধে গুণনশীল দলের উপর ।

Γ (s) = \int_{0}^{\infty} t^{s - 1} e^{- t} d t

$\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}dt$

s - 1

$s-1$

s

$s$

Γ

$\Gamma$

Γ

$\Gamma$

t \to t^{s}

$t\to t^s$

t \to e^{- t}

$t\to e^{-t}$

d t / t

$dt/t$

R^{\times}

$\mathbb{R}^{\times}$

— whuber

@ যে কারণেই গামা ফাংশনটি সেভাবেই বেছে নেওয়া উচিত এটি একটি ভাল কারণ (এবং আমি ইতিমধ্যে উপরে এরূপ কারণ উপস্থিত থাকার পরামর্শ দিয়েছিলাম এবং আমি এর সাথে কিছু যুক্তিযুক্ত গ্রহণ করি - তবে প্রয়োজনীয়ভাবে বিভিন্ন আনুষ্ঠানিকতার সাথে - ইউরারের পছন্দ হিসাবে এসেছিল); ঘনত্বের সাথে একইভাবে বাধ্যতামূলক কারণগুলি দেখা দেয়; তবে এটি প্রমাণিত করে না যে এটি আসলে পছন্দের কারণ ছিল (ফর্মটি যেমনটি বেছে নেওয়া হয়েছিল কেন) কেবল এটি করার উপযুক্ত কারণ। গামা ফাংশনের ফর্ম ... সিটিডি

— Glen_b -Rininstate মনিকা

সিডিডি ... একা সহজেই ঘনত্বের জন্য এবং অন্যদের মামলা অনুসরণ করার পক্ষে সেই ফর্মটি বেছে নেওয়ার যথেষ্ট কারণ হতে পারে। [প্রায়শই পছন্দগুলি সহজ কারণগুলির জন্য করা হয় যেগুলি পরে আমরা সনাক্ত করতে পারি এবং তারপরে প্রায়শই অন্য কিছু করতে বাধ্য করা কারণগুলি লাগে। আমরা জানি যে ছিল কেন এটা প্রাথমিকভাবে নির্বাচিত হয়েছে] - আপনি পরিষ্কারভাবে ব্যাখ্যা একটি কারণ কেন আমরা যে উচিত ঘনত্ব চয়ন বরং কেন এটা পরিবর্তে, যে উপায় হতে হয় যে ভাবে। এর মধ্যে লোকেরা বেছে নেওয়ার ক্রম (এটি সেভাবে ব্যবহার করা, এবং মামলা অনুসরণ করা) এবং তারা বেছে নেওয়ার সময় তাদের কারণগুলির সাথে জড়িত।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

উত্তর:

এটি স্বাধীনতার ডিগ্রি এবং পরিসংখ্যানগত পরামিতিগুলির একটি গল্প এবং কেন এটি দু'জনের প্রত্যক্ষ সহজ সংযোগ রয়েছে তা চমৎকার।

Orতিহাসিকভাবে, " $-1$ " পদটি বিটা ফাংশনের অলারের গবেষণায় উপস্থিত হয়েছিল। তিনি এই প্যারামিটারাইজেশনটি 17৩৩ সালের মধ্যে ব্যবহার করছিলেন এবং অ্যাড্রিয়েন-মেরি লেজেন্ড্রেও ছিলেন: তাদের ব্যবহারের ফলে পরবর্তী গাণিতিক সম্মেলন প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। এই কাজটি সমস্ত পরিচিত পরিসংখ্যান অ্যাপ্লিকেশনকে অ্যান্টেট করে।

আধুনিক গাণিতিক তত্ত্ব বিশ্লেষণ, সংখ্যা তত্ত্ব এবং জ্যামিতির প্রয়োগগুলির সম্পদের মাধ্যমে যথেষ্ট সংকেত সরবরাহ করে যে " " পদটির আসলে কিছু অর্থ রয়েছে। আমি সেই মন্তব্যে কয়েকটি মন্তব্যে স্কেচ করেছি। $-1$

আরও আগ্রহের বিষয় হ'ল "সঠিক" পরিসংখ্যানগত প্যারামিটারাইজেশন হওয়া উচিত। এটি পুরোপুরি পরিষ্কার নয় এবং এটি গাণিতিক সম্মেলনের মতো হতে হবে না। সম্ভাব্যতা বিতরণের সাধারণভাবে ব্যবহৃত, সুপরিচিত, আন্তঃসম্পর্কিত পরিবারগুলির একটি বিশাল ওয়েব রয়েছে। সুতরাং, কনভেনশনগুলিতে একটি পরিবারের নামকরণ করা হত (যা প্যারামিটারাইজ করা হয়) সাধারণত সম্পর্কিত পরিবারের নাম সম্পর্কিত কনভেনশনগুলি বোঝায়। একটি প্যারামিটারাইজেশন পরিবর্তন করুন এবং আপনি সেগুলি পরিবর্তন করতে চাইবেন। আমরা তাই এই সম্পর্কগুলি ক্লুগুলির জন্য দেখতে পারি।

খুব কম লোকই দ্বিমত পোষণ করবে যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিতরণ পরিবারগুলি সাধারণ পরিবার থেকে প্রাপ্ত। রিকল একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের যে হতে বলেন হয় "সাধারণত বিতরণ" যখন একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব আছে সমানুপাতিক । যখন এবং , একটি আছে বলা হয় মান স্বাভাবিক বন্টন। $X$ $(X-\mu)/\sigma$ $f(x)$ $\exp(-x^2/2)$ $\sigma=1$ $\mu=0$ $X$

অনেকগুলি ডেটাসেট ডেটা এবং নিম্ন শক্তিগুলির (সাধারণত স্কোয়ার) যুক্তিযুক্ত সংশ্লেষের সাথে তুলনামূলকভাবে সহজ পরিসংখ্যান ব্যবহার করে অধ্যয়ন করা হয়। যখন সেই ডেটাগুলিকে একটি সাধারণ বিতরণ থেকে এলোমেলো নমুনা হিসাবে মডেল করা হয় - যাতে প্রতিটি একটি সাধারণ পরিবর্তনশীল উপলব্ধি হিসাবে দেখা হয় , সমস্ত একটি সাধারণ বিতরণ ভাগ করে নিই এবং স্বাধীন হয় - সেই পরিসংখ্যানগুলির বিতরণ যে সাধারণ বিতরণ দ্বারা নির্ধারিত হয়। বাস্তবে যেগুলি প্রায়শই উত্থিত হয় সেগুলি $x_1, x_2, \ldots, x_n$ $x_i$ $X_i$ $X_i$

,শিক্ষার্থীর বন্টনসঙ্গে "। স্বাধীন ডিগ্রীগুলির" এটি পরিসংখ্যান এর বিতরণ $t_\nu$ $t$ $\nu = n-1$ যেখানেতথ্য এবংএর গড় মডেল করে
$t = \frac{\bar{X}}{se (X)}$ $t = \frac{\bar X}{\operatorname{se}(X)}$ $\bar X = (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n$ হ'ল ত্রুটি। দ্বারা বিভাজনটিদেখায় যেঅবশ্যইবা তার বেশিহতে হবে, যেহেতুএকটি পূর্ণসংখ্যাবা তার বেশি। সূত্রটি যদিও আপাতদৃষ্টিতে খানিকটা জটিল, তবে ডিগ্রি টু ডেটার তথ্যগুলির যৌক্তিক ফাংশনের বর্গমূল: এটি তুলনামূলকভাবে সহজ। $\operatorname{se}(X) = (1/\sqrt{n})\sqrt{(X_1^2+X_2^2 + \cdots + X_n^2)/(n-1) - \bar X^2}$ $n-1$ $n$ $2$ $\nu$ $1$
, (চি-স্কোয়ারড) বন্টনসঙ্গে "স্বাধীন ডিগ্রীগুলির" (df প্রয়োগ)। এটি স্বতন্ত্র স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ ভেরিয়েবলগুলিরবর্গের যোগফলের বিতরণ। এই ভেরিয়েবল স্কোয়ার গড় বিতরণের তাই হতে হবে বন্টনের দ্বারা ছোটো : আমি একটি "স্বাভাবিক" এই পড়ুন হবে বন্টন। $\chi^2_\nu$ $\chi^2$ $\nu$ $\nu$ $\chi^2$ $1/\nu$ $\chi^2$
, পরামিতি সঙ্গে অনুপাত বন্টন দুটি স্বাধীন সাধারণ অনুপাত সঙ্গে ডিস্ট্রিবিউশন এবং স্বাধীন ডিগ্রীগুলির। $F_{\nu_1, \nu_2}$ $F$ $(\nu_1, \nu_2)$ $\chi^2$ $\nu_1$ $\nu_2$

গাণিতিক গণনাগুলি দেখায় যে এই তিনটি বিতরণের ঘনত্ব রয়েছে। গুরুত্বপূর্ণভাবে, বিতরণের ঘনত্ব গামার ( ) ফাংশনটির অবিচ্ছেদ্য সংজ্ঞাতে ইলারের সংখ্যার সাথে সমানুপাতিক । আসুন তাদের তুলনা করুন: $\chi^2_\nu$ $\Gamma$

f_{χ_{ν}^{2}} (2 x) \propto x^{ν / 2 - 1} e^{- x}; f_{Γ (ν)} (x) \propto x^{ν - 1} e^{- x} .

$f_{\chi^2_\nu}(2x) \propto x^{\nu/2 - 1}e^{-x};\quad f_{\Gamma(\nu)}(x) \propto x^{\nu-1}e^{-x}.$

এ থেকে জানা যায় দুবার পরিবর্তনশীল পরামিতি সঙ্গে একটি গামা ডিস্ট্রিবিউশন আছে । অর্ধেকের ফ্যাক্টরটি যথেষ্ট বিরক্তিকর, তবে বিয়োগ করা সম্পর্কটিকে আরও খারাপ করে তুলবে। ইতিমধ্যে প্রশ্ন করার জন্য একটি বাধ্যকারী উত্তর সরবরাহ: যদি আমরা একটি প্যারামিটার চান বন্টন স্কোয়ারড সাধারন ভেরিয়েবল এটি (একটি গুণক পর্যন্ত উত্পাদন সংখ্যা গণনা করার জন্য ) তাহলে তার ঘনত্ব ফাংশন আবশ্যক মধ্যে সূচক, যে গণনাটি অর্ধেকের চেয়ে কম হবে। $\chi^2_\nu$ $\nu/2$ $1$ $\chi^2$ $1/2$

কেন ফ্যাক্টর পার্থক্য কম বিরক্তিজনক ? কারণটি হ'ল যখন আমরা জিনিসগুলি যুক্ত করি তখন ফ্যাক্টরটি সুসংগত থাকবে। যদি স্বতন্ত্র স্ট্যান্ডার্ড নরমালগুলির বর্গের যোগফল ( প্যারামিটার (কয়েক গুণকে কিছু) দিয়ে গামা বিতরণের সাথে সমানুপাতিক হয় , তবে স্ট্যান্ডার্ড স্ট্যান্ডার্ড নরমালসের বর্গের যোগফল প্যারামিটার সাথে গামা বিতরণের সাথে সমানুপাতিক (একই ফ্যাক্টরের বার)) , যেহেতু সমস্ত ভেরিয়েবলের বর্গের যোগফল প্যারামিটার (এখনও একই ফ্যাক্টরের গুণমান) সহ গামা বিতরণের সাথে সমানুপাতিক । $1/2$ $1$ $n$ $n$ $m$ $m$ $n+m$ $m+n$ প্যারামিটারগুলিকে এত ঘনিষ্ঠভাবে সংযোজন করে গণনাগুলি যুক্ত করার বিষয়টি খুব সহায়ক।

তবে, আমরা যদি গাণিতিক সূত্রগুলি থেকে সেই উদ্বেগজনক চেহারা " " সরিয়ে ফেলি তবে এই সুন্দর সম্পর্কগুলি আরও জটিল হয়ে উঠবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা পরিবর্তন প্রকৃত ক্ষমতা উল্লেখ করতে গামা ডিস্ট্রিবিউশন এর একখান সূত্রে, যাতে একটি বন্টন একটি "গামা এর সাথে সম্পর্কিত করা হবে শক্তি যেহেতু" বন্টন ( তার পিডিএফটি ), তারপরে তিন বিতরণের যোগফলকে "গামা $-1$ $x$ $\chi^2_1$ $(0)$ $x$ $1-1=0$ $\chi^2_1$ $(2)$ "বিতরণ। সংক্ষেপে, গামা বিতরণগুলিতে স্বাধীনতার ডিগ্রি এবং প্যারামিটারের মধ্যে ঘনিষ্ঠ সংযুক্তি সম্পর্ক হ'ল সূত্র থেকে সরিয়ে এবং প্যারামিটারে শোষিত করে। $-1$

একইভাবে, অনুপাত বিতরণের সম্ভাব্যতা কার্যটি বিটা বিতরণের সাথে নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত। বস্তুত, যখন একটি হয়েছে অনুপাত বন্টন, বিতরণের একটি বিটা হয়েছে বন্টন। এর ঘনত্বের কার্য সমানুপাতিক $F$ $Y$ $F$ $Z=\nu_1 Y/(\nu_1 Y + \nu_2)$ $(\nu_1/2, \nu_2/2)$

f_{Z} (z) \propto z^{ν_{1} / 2 - 1} (1 - z)^{ν_{2} / 2 - 1} .

$f_Z(z) \propto z^{\nu_1/2 - 1}(1-z)^{\nu_2/2-1}.$

উপরন্তু - একটি স্টুডেন্ট বর্গ - এই ধারনা দুষ্টচক্র গ্রহণ দিয়ে বন্টন df প্রয়োগ করেছে একটি পরামিতি সঙ্গে অনুপাত বন্টন । আরও একবার স্পষ্ট যে প্রচলিত প্যারামিটারাইজেশন রাখা স্বাধীনতার ডিগ্রিতে অবদান রাখে এমন অন্তর্নিহিত গণনাগুলির সাথে একটি সুস্পষ্ট সম্পর্ক বজায় রাখে। $t$ $\nu$ $F$ $(1,\nu)$

একটি পরিসংখ্যানগত দৃষ্টিকোণ থেকে, তারপর, এবং বিটা বিতরণের প্রচলিত গাণিতিক প্যারামিটারাইজেশনগুলির বিভিন্নতা ব্যবহার করা সবচেয়ে প্রাকৃতিক এবং সরল হবে : আমাদের একটি বিতরণকে " বিতরণ" বলা উচিত এবং বিটা বিতরণকে "বিটা বিতরণ বলা উচিত।" প্রকৃতপক্ষে, আমরা ইতিমধ্যে এটি করে ফেলেছি: এটি কারণেই আমরা "চি-স্কোয়ারড" এবং " " নামগুলি ব্যবহার করতে থাকি this $\Gamma$ $\Gamma(\alpha)$ $\Gamma(2\alpha)$ $(\alpha, \beta)$ $(2\alpha, 2\beta)$ $F$ "গামা" এবং "বিটা" এর পরিবর্তে অনুপাত "বিতরণ। নির্বিশেষে, কোনও ক্ষেত্রেই আমরা তাদের ঘনত্বের জন্য গাণিতিক সূত্রে উপস্থিত " "পদগুলি সরাতে চাই না । $-1$ যদি আমরা এটি করি তবে আমরা সরাসরি সংযোগ হারাব ঘনত্বগুলির পরামিতিগুলির সাথে এবং ডেটা গণনার সাথে যার সাথে তারা জড়িত: আমরা সর্বদা এক হয়ে থাকব।

— whuber
সূত্র

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ (আমি ইতিমধ্যে 1d)। আমার কাছে কেবল একটি ছোট্ট ফলো-আপ প্রশ্ন রয়েছে: সম্ভবত আমি কিছু মিস করছি, তবে আমরা -1 প্যারামিট্রাইজেশন ব্যবহার করে দ্বিপদীটির সাথে সরাসরি সম্পর্কের ত্যাগ করছি না?

— টিম

টিম, আপনি কোন "দ্বিপদী সঙ্গে সরাসরি সম্পর্ক" উল্লেখ করছেন তা নিশ্চিত নই। উদাহরণস্বরূপ, বিটা

বিতরণ যখন দ্বিপদী নমুনার পূর্বে কনজুগেট হিসাবে ব্যবহৃত হয়, স্পষ্টতই প্যারামিটারগুলি সঠিকভাবে ব্যবহার করা যায়: আপনি সাফল্যের সংখ্যায়

(

) যুক্ত করেন এবং

(

) ব্যর্থতার সংখ্যায়।

(a, b)

$(a,b)$

a

$a$

a - 1

$a-1$

b

$b$

b - 1

$b-1$

— হোয়বার

স্বরলিপি আপনাকে বিভ্রান্ত করছে। আপনার সূত্রে একটি "লুকানো " রয়েছে , কারণ , এবং অবশ্যই চেয়ে বড় হওয়া উচিত (আপনি আপনার প্রশ্নে প্রদত্ত দ্বিতীয় লিঙ্কটি স্পষ্টভাবে বলেছে)। 's এবং দুই সূত্রে গুলি না একই পরামিতি হয়; তাদের বিভিন্ন ব্যাপ্তি রয়েছে: , এবং , $-1$ $(1)$ $(1)$ $\alpha$ $\beta$ $-1$ $\alpha$ $\beta$ $(1)$ $\alpha,\beta>-1$ $(2)$ । জন্য এই রেঞ্জ এবং যে ঘনত্ব অবিচ্ছেদ্য বিকিরণ ঘটে না গ্যারান্টি প্রয়োজন। এই দেখার জন্য, বিবেচনা যদি (বা কম) এবং , তারপর চেষ্টাসংহতমধ্যে ঘনত্ব (এর কার্নেলের) এবং । সমতুল্যভাবে, একই চেষ্টা জন্য এবং (বা কম) । $\alpha,\beta>0$ $\alpha$ $\beta$ $(1)$ $\alpha=-1$ $\beta=0$ $0$ $1$ $(2)$ $\alpha=0$ $\beta=1$

— জেন
সূত্র

জন্য সংজ্ঞা একটি সীমার ইস্যু

এবং

দূরে যখনই চাইবেন তখনই অবিচ্ছেদ্য একটি নির্দিষ্ট কনট্যুর অবিচ্ছেদ্য হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয় যেমন Pochhammer 1890 করেছিল, মনে হয়। যে ক্ষেত্রে এটি একটি মত প্রকাশের সব মান জন্য একটি বিশ্লেষণমূলক ফাংশন নির্ধারণ করে যে করতে সমান ভাবে করা যাবে

এবং

সব জটিল বেশী --including। এটি প্রশ্নের উদ্বেগের দিকে আলোকপাত করে: আরও অনেক সম্ভাব্য প্যারামিটারাইজেশন রয়েছে যা দেখে মনে হচ্ছে তারা সমানভাবে ভালভাবে পরিবেশন করতে পারে কেন এই নির্দিষ্ট প্যারামিটারাইজেশনটি সঠিকভাবে গ্রহণ করা হয়েছে?

α

$\alpha$

β

$\beta$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— হোয়বার

আমার কাছে ওপির সন্দেহ অনেক বেশি বেসিক বলে মনে হচ্ছে। তিনি (2) ইন "-1" সম্পর্কে বিভ্রান্ত, তবে (1) এ না (অবশ্যই সত্য নয়)। দেখে মনে হচ্ছে আপনার মন্তব্যটি একটি পৃথক প্রশ্নের উত্তর দিচ্ছে (আরও আকর্ষণীয়, উপায় দ্বারা)।

— জেন

Thanks for your effort and answer, but it still does not answer my main concern: why -1 was chosen? Following your logic, basically any value could be chosen changing the arbitrary lower bound to something else. I can't see why -1 or 0 could be better or worse lower bound for parameter values besides the fact that 0 is "aesthetically" nicer bound. On another hand, Beta(0, 0) would be nice "default" for uniform distribution when using the first form. Yes, those are very subjective comments, but that is my main point: are there any non-arbitrary reasons for such choice?

— Tim

Zen, I agree there was a question of how to interpret the original post. Thank you, Tim, for your clarifications.

— whuber

Hi, Tim! I don't see any definitive reason, although it makes more direct the connection with the fact that for

α, β > 0

$\alpha,\beta>0$ , if

U \sim G a m m a (α, 1)

$U\sim\mathrm{Gamma}(\alpha,1)$ and

V \sim G a m m a (β, 1)

$V\sim\mathrm{Gamma}(\beta,1)$ are independent, then

X = U / (U + V)

$X=U/(U+V)$ is

B e t a (α, β)

$\mathrm{Beta}(\alpha,\beta)$ , and the density of

X

$X$ is proportional to

x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}

$x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}$ . But then you can question the parameterization of the gamma distribution...

— Zen

For me, the existence of -1 in the exponent is related with the develpment of the Gamma function. The motivation of the Gamma function is to find a smooth curve to connect the points of a factorial $x!$ . Since it is not possible to compute $x!$ directly if $x$ is not integer, the idea was to find a function for any $x \geq 0$ that satisfies the recurrence relation defined by the factorial, namely

$f(1)=1\\ f(x+1)=x \cdot f(x).$

Solution was by means of the convergence of an integral. For the function defined as

$f(x+1) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x}e^{-x} dt,$

integration by parts provides the following:

$\begin{align} f(x+1) & = \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x}e^{-x} dt \\ & = \Big[-t^{x}e^{-x} \Big]^{\infty}_{0} + \displaystyle\int_{0}^{\infty} x\cdot t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= \lim_{x \to \infty} (-t^{x}e^{-x}) - 0 \cdot e^{-0} + x\cdot \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= 0 - 0 + x\cdot \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= x \cdot f(x) . \end{align}$

So, the function above satisfies this property, and the -1 in the exponent derives from the procedure of integration by parts. See the Wikipedia article https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function .

Edit: I apologise if my post is not fully clear; I am just trying to point that, in my idea, the existence of -1 in the beta distribution comes from the generalisation of the factorial by means of the Gamma function. There are two conditions: $f(1)=1$ and $f(x+1)=x \cdot f(x)$ . We have $\Gamma(x) = (x-1)!$ , therefore it satisfies $\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x) = x \cdot (x-1)! = x!$ . In addition, we have $\Gamma(1) = (1-1)! = 0! = 1$ . As for the beta distribution with parameters $\alpha, \beta$ , generalisation of the Binomial coefficient is $\dfrac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \cdot \Gamma(\beta)} = \dfrac{(\alpha + \beta - 1)!}{(\alpha-1)! \cdot (\beta-1)!}$ . There we have the -1 in the denominator, for both parameters.

— aatr
সূত্র

This makes no sense because the recurrence function satisfied by the factorial is not what you state:

(x + 1)! \neq x \cdot x! .

$(x+1)! \ne x \cdot x!.$

— whuber

The function

f (x)

$f(x)$ satisfying the recurrence relation is the Gamma:

Γ (x + 1) = x \cdot Γ (x)

$\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x)$ . This is how it is defined.

— aatr

Yes: but your stated motivation is based on the factorial function, not the Gamma.

— whuber

It is important to recall the relation between Gamma and factorial:

Γ (x) = (x - 1)!

$\Gamma(x) = (x-1)!$ .

— aatr

Unfortunately, that's circular logic: you start off with the factorial, characterize Gamma as interpolating it, and then conclude that's why there's a -1. In fact, your post exhibits the -1 as if it fell out mistakenly by confusing Gamma with the factorial. Few will find that either illuminating or convincing.

— whuber