সাধারণত বিতরণ ত্রুটি এবং কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য

ওয়াল্ড্রিজের পরিচিতি একোমেট্রিক্সে একটি উদ্ধৃতি রয়েছে:

ত্রুটিগুলির জন্য সাধারণ বিতরণকে ন্যায়সঙ্গত করার যুক্তিটি সাধারণত এই জাতীয় কিছু চালায়: কারণ প্রভাবিত করে এমন অনেকগুলি অনাবৃত বিষয়গুলির সমষ্টি , আমরা কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বটিকে এই সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে আনুমানিক স্বাভাবিক বন্টন রয়েছে। $u$ $y$ $u$

এই উদ্ধৃতিটি লিনিয়ার মডেল অনুমানগুলির একটিতে সম্পর্কিত, যথা:

$u \sim N(μ, σ^2)$

যেখানে $u$ জনসংখ্যার মডেলের ত্রুটি শব্দ।

এখন, যতদূর আমি জানি, কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যটি বন্টন করে বলে

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(যেখানে $\overline{Y_i}$ গড় $μ$ এবং বৈকল্পিক with সহ যে কোনও জনসংখ্যার থেকে আঁকা এলোমেলো নমুনার গড় $σ^2$ )

হিসাবে একটি আদর্শ সাধারণ পরিবর্তনশীলের কাছে পৌঁছায় $n \rightarrow \infty$ ।

প্রশ্ন:

অ্যাসিম্পটিক স্বাভাবিকতা কীভাবে $Z_i$ বোঝায় আমাকে বুঝতে সহায়তা করুন $u \sim N(μ, σ^2)$

— হংসী
সূত্র

আইআইডি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের ক্ষেত্রে সিএলটি ফলাফল প্রকাশের মাধ্যমে এটি আরও ভালভাবে প্রশংসা করা যেতে পারে। আমাদের আছে

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ} \sim N (0, 1) asymptotically

$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$

Ient by দ্বারা ভাগফলকে গুণ করুন এবং পেতে ব্যবহার করুন $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ $Var(cX) = c^2 Var(X)$

\bar{X} - μ \sim N (0, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$

এখন যুক্ত করুন এবং পেতে এই ব্যবহার করুন $\mu$ $\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$

শেষ পর্যন্ত, দ্বারা গুণিত করুন এবং এটি দেখতে উপরের দুটি ফলাফল ব্যবহার করুন $n$

\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (n μ, n σ^{2})

$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$

এবং এটি ওল্ড্রিজের বক্তব্যটির সাথে কী সম্পর্কযুক্ত? ঠিক আছে, ত্রুটিটি যদি অনেকগুলি আইআইডি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল হয় তবে এটি প্রায় দেখা যায় ঠিক যেমন দেখা যায় প্রায় সাধারণভাবে বিতরণ করা হবে। তবে এখানে একটি ইস্যু রয়েছে, অরক্ষিত উপাদানগুলি অগত্যা অভিন্নভাবে বিতরণ করা হবে না এবং তারা স্বাধীনও হতে পারে না!

তবুও, সিএলটি কিছু অতিরিক্ত নিয়মিততার শর্তে স্বতন্ত্র-অ-পরিচয়যুক্ত বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল এমনকি হালকা নির্ভরতার ক্ষেত্রেও সাফল্যের সাথে প্রসারিত হয়েছে। এগুলি মূলত এমন শর্তাদি যে গ্যারান্টি দেয় যে যোগফলের কোনও শর্তই অ্যাসিম্পোটোটিক বিতরণে অযৌক্তিক প্রভাব ফেলবে না, সিএলটি- র উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠাটিও দেখুন । অবশ্যই এই ফলাফলগুলি আপনাকে জানার দরকার নেই; ওয়াল্ড্রিজের লক্ষ্য কেবল অন্তর্দৃষ্টি সরবরাহ করা।

আশাকরি এটা সাহায্য করবে.

— JohnK
সূত্র

আমি যুক্ত করব (যেহেতু লেখক একনোমেট্রিকস অধ্যয়ন করেন) যে তাঁর গবেষণার ক্ষেত্রে প্রচুর র্যান্ডম ভেরিয়েবল (কমপক্ষে মডেলিংয়ের জন্য ব্যবহৃত হয়) 1 ম মুহূর্তের সংজ্ঞা দেয় না, যেমন কচী বিতরণ। আপনি এই ক্ষেত্রে নির্ভর করতে পারেন তাই সিএলটি নয়।

— জার্মান ডেমিডভ