স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি ব্যবহার কি সাধারণ বিতরণের অনুমানের ভিত্তিতে নির্মিত?

Question

আমি ভাবছি যে সাধারণ বন্টন অনুমানের ভিত্তিতে মানক বিচ্যুতি সর্বদা নির্মিত হয়েছিল কিনা। অন্য কথায়, যদি নমুনাটি সাধারণত বিতরণ না করা হয়, তবে স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি ব্যবহার করা কি ভুল হিসাবে বিবেচনা করা উচিত?

Comments

অভিন্ন বিতরণে একটি প্রমিত বিচ্যুতি থাকে, এটি কীভাবে "ভুল" হতে পারে?

Answer 1

না। স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির ব্যবহার স্বাভাবিকতা গ্রহণ করে না।

একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের বৈকল্পিক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় $\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]$। যতক্ষণ বৈকল্পিকতা বিদ্যমান, ততক্ষণ প্রমিত বিচ্যুতিও বিদ্যমান। স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিটি হ'ল বৈকল্পিকের বর্গমূল।

আপনি বৈকল্পিক ব্যবহার করতে পারেন $\operatorname{Var}(X)$বা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি যে কোনও সময় দু'জনের বিদ্যমান। তারতম্য অগণিত পরিস্থিতিতে আসে।

এখানে বিশেষ উপপাদ্য, লেমাস ইত্যাদি রয়েছে ... যদিও বিশেষ ক্ষেত্রে এটি $X$ সাধারণ বিতরণ অনুসরণ করে।

সাধারণ বিচ্যুতির একটি সাধারণ ব্যবহার যা স্বাভাবিকতার উপর নির্ভর করে:

যদি $X$ সাধারণ বিতরণ অনুসরণ করে, তারপরে প্রায় 95% এর সম্ভাবনা রয়েছে $X$ গড়ের দুটি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির মধ্যে পড়ে।

যদি উক্তিটি সত্য হয় $X$ সাধারণ বিতরণ অনুসরণ করে (এবং আরও বেশ কয়েকটি) তবে এটি সাধারণভাবে সত্য নয়।

বৈকল্পিকের একটি সাধারণ ব্যবহার যা স্বাভাবিকতার উপর নির্ভর করে না :

দিন $X$ গড় হিসাবে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে হবে $\operatorname{E}[X] = \mu$ এবং বৈকল্পিক $\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$। নির্ধারণ করা$X_i$ জন্য $i=1, \ldots, n$ স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবল হিসাবে প্রতিটি স্বতন্ত্র বিতরণ হিসাবে অনুসরণ করে $X$।

নমুনা উপর ভিত্তি করে সংজ্ঞা দিন $n$ পর্যবেক্ষণ হিসাবে:

$$\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$

কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য দ্বারা, $\bar{X}_n$ গড় হিসাবে একটি সাধারণ বিতরণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের দিকে রূপান্তর করে $\mu$ এবং বৈকল্পিক $\frac{\sigma^2}{n}$। (আরো স্পষ্ট করে$\sqrt{n}\left( \bar{X}_n - \mu \right)$ বিতরণ রূপান্তর $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ যেমন $n \rightarrow \infty$।)

ব্যবহারিক জড়িত বিষয়টি নমুনাটি বোঝায় $\bar{X}_n$ বড় জন্য $n$ সাধারণভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবল হিসাবে বৈকল্পিক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে $\frac{\sigma^2}{n}$ এর বৈকল্পিকতা একটি ফাংশন $X$। (রিকল$\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$।) এবং এই ফলাফলের প্রয়োজন হয় না $X$স্বাভাবিক হতে (এটি একটি কম প্রয়োজন হয়$n$ ভাল কাজ যদি $X$ কিছুটা হলেও সাধারণ বন্টনের আরও কাছে।)

কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদ্য একটি সর্বব্যাপী সরঞ্জাম যা এর বৈকল্পিকতা ব্যবহার করে $X$ এবং প্রয়োজন নেই $X$ সাধারণ বিতরণ অনুসরণ করুন।

Comments

চেবিশেভের বৈষম্য বৈকল্পিকতার সাথে সুনির্দিষ্ট নয়: ক্ষমতার চেয়ে প্রতিটি পরম মুহুর্তের জন্য সমানভাবে কার্যকর সংস্করণ বিদ্যমান $1$। অতএব আমি কেন এসডি গুরুত্বপূর্ণ এবং (প্রায়) সার্বজনীন, কেননা কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদ্যের ক্ষেত্রে বৈকল্পিকতার দ্বারা অনন্য ভূমিকা পালন করার কারণে অন্য কোথাও দেখার পরামর্শ দেব ।

— whuber

@ হ্যাঁ, আমি একটি সিএলটি উদাহরণ লিখতে শুরু করেছি (এবং এখন আমি এটি যুক্ত করেছি)। সিএলটি হ'ল ভিন্নতা সম্পর্কে যত্নশীল হওয়ার জন্য একটি চূড়ান্ত ব্যবহারিক কারণ।

— ম্যাথু গুন

+1 টি। তবে মনে রাখবেন যে যখন ভিন্নতা (অর্থের সাথে একসাথে) স্বাভাবিক ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ বিবরণ দেয়, অস্বাভাবিক বিতরণের জন্য এটি আর হতে পারে না, এবং ডেটার অন্যান্য ডি 3 স্ক্রিপ্টারগুলি আরও ভাল হতে পারে

— kjetil b halvorsen

Answer 2

মান নিয়মিত আইডিআইডি সেটিংয়ে উপযুক্ত নিয়মিততা শর্তে, $S^2$ (পাশাপাশি $\hat{\sigma}^2_{ML}$) এর দৃ strongly় ধারাবাহিক অনুমানকারী $\mathrm{Var}[X_i]$। এটি সরাসরি বৃহত সংখ্যার শক্তিশালী আইন থেকে অনুসরণ করা হয়। একটি সাধারণ মডেল অনুমানের প্রয়োজন হয় না।