তাহলে

Question

আমি ARCH দ্বারা মডেলের বৈশিষ্ট্য যা বলছেন যে যদি এক জন্য একটি প্রমাণ জুড়ে এসেছিল , তারপর { এক্স টি } নিশ্চল iff হয় Σ পি আমি = 1 খ আমি < 1 এবং arch মডেল:$\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$$\{X_t\}$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

প্রমাণটির মূল ধারণাটি হ'ল একটি এআর (পি) প্রক্রিয়া হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং যদি ∑ পি i = 1 বি i < 1 সত্য হয়, তবে বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুভুজের সমস্ত শিকড় একক বৃত্তের বাইরে থাকে এবং অতএব { X 2 t ary স্থির। এটি তখন বলে যে অতএব { X t station স্থির। এটি কিভাবে অনুসরণ করে?$X_t^2$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$$\{X_t^2\}$$\{X_t\}$

Comments

সাধারণভাবে, না। আপনি এমন একটি প্রক্রিয়া কল্পনা করতে পারেন যেখানে স্থির থাকে তবে এক্স টি = $X_t$কিছু বিরতিতে এক্স 2 টি তবেএক্সটি=-$X_t = \sqrt{X_t^2}$অন্য কিছু সময়ের ব্যবধানে এক্স 2 টি । হতে পারে দূরবর্তী, কিন্তু একটি গাণিতিক সম্ভাবনা। $X_t=-\sqrt{X_t^2}$

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

Answer 1

প্রদত্ত বিভাগটি থেকে আমি বুঝতে পারি যে আপনি কীভাবে দেখতে পাচ্ছেন স্থিরতাটি এক্স টি এর স্থিরতা বোঝায় কিন্তু আসলে এটি কেবল এক্স টি এর ধ্রুবক প্রকরণকে বোঝায় ।$X^2_t$$X_t$ $X_t$

সেই প্রমাণের লেখকরা স্থিতিস্থাপকতাটি X টি টির শর্তহীন মুহুর্তগুলি দেখে প্রথমে শুরু করেছেন এমন একটি যুক্তি পূর্ণ করতে ব্যবহার করেছিলেন$X^2_t$$X_t$

অর্ডার স্টেশনারিটির শর্তগুলি স্মরণ করুন :$2^{nd}$

1. ∀ t ∈ $E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
2. ∀ t ∈ $Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
3. ∀ এইচ ∈ $Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

শর্ত 1 E দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল ( X টি ) = ই ( ই ( এক্স টি | এফ টি - 1 ) ) = 0$E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

শর্ত 3 ই দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল ( এক্স টি এক্স টি - 1 ) = ই ( σ t ϵ t σ t - 1 ϵ t - 1 ) = ই ( ই ( σ t ϵ t σ t - 1 ϵ t - 1 ) | এফ t - 1 ) = E ( σ t σ t - 1$E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

তবে দ্বিতীয় শর্তটি প্রমাণ করার জন্য তাদের X টি এর নিয়মিত শর্তহীন বৈকল্পিক প্রমাণ করতে হবে$X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

এই কি stationarity একজন ধৃষ্টতা বাড়ে হয় যা আপনি ব্যবহার তার উল্লেখ করেছি একটি আর ( পি ) ফর্ম। সংক্ষেপে: V a r ( X t ) = E ( V a r ( X t ) | F t - 1 ) + V a r ( E ( X t | F t - 1 ) ) = E ( V $X^2_{t}$$AR(p)$ X ^ 2_t যদি স্থির থাকে তবে বহুপথের শিকড়গুলি ইউনিট বৃত্তের বাইরে থাকবে এবংΣbi<1এর ফলে এটি লেখা সম্ভব হয়: var(Xt-1)=। । । =ভিএআর(এক্সটি-

$$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$$ $\Sigma b_i<1$ $$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$$

Comments

রেফারেন্স ডকুমেন্টটি লিঙ্কটি রয়েছে

— machazthegamer