একাধিক রিগ্রেশন সহগের জন্য স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি?

Question

আমি বুঝতে পারি যে এটি একটি খুব প্রাথমিক প্রশ্ন, তবে আমি কোথাও উত্তর খুঁজে পাচ্ছি না।

আমি সাধারণ সমীকরণ বা কিউআর পচন ব্যবহার করে রিগ্রেশন সহগগুলি গণনা করছি। প্রতিটি সহগের জন্য আমি কীভাবে স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি গণনা করতে পারি? আমি সাধারণত স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি হিসাবে গণনা করা হিসাবে মনে করি:

$SE_\bar{x}\ = \frac{\sigma_{\bar x}}{\sqrt{n}}$

কি প্রতিটি সহগ জন্য? ওএলএসের প্রসঙ্গে এটি গণনার সর্বাধিক দক্ষ উপায় কোনটি?$\sigma_{\bar x}$

Answer 1

যখন লিস্ট স্কোয়ার প্রাক্কলন (ক স্বাভাবিক র্যান্ডম উপাদান অভিমানী) করছেন রিগ্রেশন পরামিতি অনুমান স্বাভাবিকভাবে গড় সমান সঙ্গে সত্য রিগ্রেশন প্যারামিটার প্রয়োজন এবং সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স বিতরণ করা হয় $\Sigma = s^2\cdot(X^TX)^{-1}$ যেখানে $s^2$ হল অবশিষ্ট রুপ এবং $X^TX$ হ'ল নকশা ম্যাট্রিক্স। $X^T$ এর TRANSPOSE হয় $X$ এবং $X$ মডেল সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় $Y=X\beta+\epsilon$ সঙ্গে $\beta$ রিগ্রেশন পরামিতি এবং $\epsilon$ ত্রুটি শব্দ। বিটা প্যারামিটারের আনুমানিক স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি (এক্স ^ টিএক্স) term {- 1 in এর সাথে সম্পর্কিত শব্দটি গ্রহণ করে অর্জিত হয়$(X^TX)^{-1}$এটিকে অবশিষ্টাংশের নমুনা অনুমানের দ্বারা গুণমান এবং তারপরে বর্গমূল নেওয়া। এটি খুব সাধারণ গণনা নয় তবে কোনও সফ্টওয়্যার প্যাকেজ এটি আপনার জন্য গণনা করবে এবং আউটপুটে এটি সরবরাহ করবে।

উদাহরণ

ড্রাগার এবং স্মিথের 134 পৃষ্ঠায় (আমার মন্তব্যে রেফারেন্স করা হয়েছে), তারা Y মডেল Y = \ বিটা_0 + \ বিটা_1 এক্স + are ওয়ার্পসিলন$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon$ যেখানে \ ওয়ারেপসিলন \ সিম এন (0, th ম্যাথবিবি {আই ) এর জন্য কমপক্ষে স্কোয়ার দ্বারা ফিট করার জন্য নিম্নলিখিত ডেটা সরবরাহ করে । ig সিগমা ^ 2)$\varepsilon \sim N(0, \mathbb{I}\sigma^2)$ ।

                      X                      Y                    XY
                      0                     -2                     0
                      2                      0                     0
                      2                      2                     4
                      5                      1                     5
                      5                      3                    15
                      9                      1                     9
                      9                      0                     0
                      9                      0                     0
                      9                      1                     9
                     10                     -1                   -10
                    ---                     --                   ---
Sum                  60                      5                    32
Sum of  Squares     482                     21                   528

উদাহরণটি দেখে মনে হচ্ছে যেখানে opeালটি 0 এর কাছাকাছি হওয়া উচিত।

$$X^t = \pmatrix{ 1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 \\ 0 &2 &2 &5 &5 &9 &9 &9 &9 &10 }.$$

সুতরাং

$$X^t X = \pmatrix{n &\sum X_i \\ \sum X_i &\sum X_i^2} = \pmatrix{10 &60 \\60 &482}$$

এবং

$$\eqalign{ (X^t X)^{-1} &= \pmatrix{ \frac{\sum X_i^2}{n \sum (X_i - \bar{X})^2} &\frac{-\bar{X}}{\sum (X_i-\bar{X})^2} \\ \frac{-\bar{X}}{\sum (X_i-\bar{X})^2} &\frac{1}{\sum (X_i-\bar{X})^2} } \\ &= \pmatrix{\frac{482}{10(122)} &-\frac{6}{122} \\ -\frac{6}{122} &\frac{1}{122}} \\ &= \pmatrix{0.395 &-0.049 \\ -0.049 &0.008} }$$

যেখানে ।$\bar{X} = \sum X_i/n = 60/10 = 6$

অনুমান জন্য = (B0) = (Yb-B1 Xb) Sxy / Sxx B1$β = (X^TX)^{-1} X^TY$

বি 1 = 1/61 = 0.0163 এবং বি0 = 0.5- 0.0163 (6) = 0.402

থেকে Sb1 = Se থেকে (0.008) ও Sb0 = Se থেকে (0.395) যেখানে Se থেকে ত্রুটি মেয়াদে আনুমানিক স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন হয় উপরে। সে = .2.3085।$(X^TX)^{-1}$

দুঃখিত যে সমীকরণগুলিকে আমি কাটা এবং পেস্ট করার সময় সাবস্ক্রিপশন এবং সুপারস্ক্রিপ্টিং বহন করে না। স্থানটি উপেক্ষা করার কারণে সারণীটি ভালভাবে পুনরুত্পাদন করতে পারেনি। 3 সংখ্যার প্রথম স্ট্রিং XY এবং XY এর প্রথম মানের সাথে মিলিত হয় এবং তিনটির ফলোইনফ স্ট্রিংয়ের জন্য একই। যোগফলের পরে যথাক্রমে XY এবং XY এর জন্য যোগফল এবং তারপরে যথাক্রমে XY এবং XY এর জন্য যোগফলগুলির যোগফল। 2x2 ম্যাট্রিকগুলিও গণ্ডগোল পেয়েছে। বন্ধনীগুলির পরে মানগুলি বামে সংখ্যার নীচে বন্ধনীগুলিতে থাকা উচিত।

Comments

আমার বইয়ের প্লাগ হিসাবে বোঝানো হয়নি তবে আমি সরল রৈখিক রিগ্রেশন (ওয়াই = অ্যাক্স + বি) এর সর্বনিম্ন স্কোয়ার সমাধানের গণনার মধ্য দিয়ে যাই এবং a এবং b, pp.101-103, বায়োস্টাটিক্সের এসেন্সিয়ালস এর মানক ত্রুটিগুলি গণনা করি চিকিত্সক, নার্স এবং ক্লিনিকস, উইলি ২০১১ এর জন্য আরও বিস্তারিত বিবরণ পাওয়া যাবে ড্রপার এবং স্মিথ অ্যাপ্লাইড রিগ্রেশন অ্যানালাইসিস তৃতীয় সংস্করণ, উইলে নিউইয়র্ক 1998 এর পৃষ্ঠা 126-127 এ। আমার উত্তরে এরপরে আমি ড্রপার এবং স্মিথের একটি উদাহরণ নেব।

— মাইকেল আর চেরনিক

আমি যখন মাইকেল, এই সাইটের সাথে কথাবার্তা শুরু করেছি তখন আমারও একইরকম অনুভূতি হয়েছিল। অভিজ্ঞতার সাথে তারা বদলে গেছে। কিছু জানা এবং আপনি একবার কাজটি করার পরে এটি ইংরেজিতে যে কোনও বিষয়ে টাইপ করার মতো এটি টাইপ করা প্রায় (প্রায়) তত দ্রুত আমি উদাহরণস্বরূপ পোস্টগুলি (যেমন @ চিএল, কার্ডিনাল এবং অন্যান্য উচ্চ-খ্যাতি-প্রতি পোস্ট ব্যবহারকারীদের দ্বারা অনেকগুলি উত্তর) অধ্যয়ন করে শিখেছি যে রেফারেন্স, পরিষ্কার চিত্র এবং সুচিন্তিত সমীকরণগুলি সাধারণত উচ্চ প্রশংসা এবং ভালভাবে প্রদান করা হয় লাভ করেন। এই সাইটটিকে অন্যদের থেকে আলাদা করে উচ্চমানের একটি জিনিস। $\TeX$

— whuber

এটি সমস্ত দুর্দান্ত বিল এবং এটি দুর্দান্ত যে এত লোকেরা উচ্চ মানের পোস্ট দেওয়ার জন্য নিবেদিত। আমি কাগজ প্রকাশের মতো অন্যান্য উদ্দেশ্যে লেটেক্স ব্যবহার করতে পারি। লোকেরা এই সাইটে আমার কাছ থেকে যে সমস্ত প্রচেষ্টা প্রত্যাশা করে সেগুলিতে যাওয়ার সময় আমার নেই। আমি কেবল এই সাইটে পরিষেবা সরবরাহ করার জন্য সময় বিনিয়োগ করতে যাচ্ছি না।

— মাইকেল আর চেরনিক

আমার বিচ্ছিন্নতা এখানে রয়েছে বলে মনে হয়: "এই সাইটটি সম্পর্কে কেবলমাত্র এমন একটি বিষয় যা এই পোস্টিংগুলিতে অতিরিক্ত সময় এবং প্রচেষ্টা করা প্রয়োজন" - @ শুভ এবং আমি দুজনেই বলছি যে এটি আসলে অতিরিক্ত সময় নেয় না যদি আপনি এটি করতে জানেন। আমরা শিখি না যাতে আমরা এই সাইটে পোস্ট করতে পারি - আমরা (কমপক্ষে আমি) শিখি কারণ এটি একটি পরিসংখ্যানবিদ হিসাবে গুরুত্বপূর্ণ দক্ষতা এবং এই সাইটে পোস্টগুলি আরও বেশি পঠনযোগ্য করে তোলে। $\TeX$$\TeX$

— ম্যাক্রো

এখানকার অনেক লোকের মতো, হ্যাঁ, আমি একটি পরিসংখ্যানবিদ হিসাবে কাজ করি তবে এটি মজাদার বলে মনে হয় - এই সাইটটি আমার কাছে বিনোদনমূলক এবং এটি আমার পক্ষে বেশ কিছু পোস্টের জন্য দরকারী বোনাস a যদি আপনি সাথে আপনার সমীকরণগুলি কাজ হিসাবে চিহ্নিত করে থাকেন এবং এটি শেখার পক্ষে উপযুক্ত মনে করেন না তবে এটিই হোন , তবে জেনে রাখুন যে আপনার কিছু সামগ্রী উপেক্ষা করা হবে। $\TeX$

— ম্যাক্রো