পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবল তৈরি করা

আমি ভাবছিলাম যে লিনিয়ার ট্রান্সফর্মেশন পদ্ধতির অনুসরণের পরে এলোমেলোভাবে এলোমেলো দ্বিপদী ভেরিয়েবলগুলি উত্পন্ন করা সম্ভব?

নীচে, আমি আর তে কিছু সাধারণ চেষ্টা করেছি এবং এটি কিছুটা পারস্পরিক সম্পর্ক তৈরি করে। তবে আমি ভাবছিলাম যে এটি করার কোনও নীতিগত উপায় আছে কিনা?

X1 = rbinom(1e4, 6, .5) ; X2 = rbinom(1e4, 6, .5) ;  X3 = rbinom(1e4, 6, .5) ; a = .5

Y1 = X1 + (a*X2) ; Y2 = X2 + (a*X3) ## Y1 and Y2 are supposed to be correlated

cor(Y1, Y2)

— rnorouzian
সূত্র

Y_{1}

$Y_1$ এবং

Y_{2}

$Y_2$ পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত হতে পারে তবে তারা আর দ্বিপদী হতে পারে না। উদাহরণস্বরূপ,

X_{1} = X_{2} = 1

$X_1 = X_2 = 1$ তারপরে

Y_{1} = 1.5

$Y_1 = 1.5$ অতএব,

Y_{i}

$Y_i$ দ্বৈত র্যান্ডম ভেরিয়েবল হতে পারি না। আমি আপনাকে বহুজাতিক বিতরণ সন্ধান করার পরামর্শ দিচ্ছি।

— নরমসি - মনিকা

প্রশ্নের সংক্ষিপ্ত উত্তর হ'ল মূলশব্দটি অনুসন্ধান করা copula, যা স্থির মার্জিন সহ নির্ভরশীল ভেরিয়েবলগুলি তৈরি করতে সহায়তা করে।

— শি'য়ান

দ্বিপদী ভেরিয়েবলগুলি সাধারণত স্বতন্ত্র বার্নোল্লি ভেরিয়েবলগুলি যোগ করে তৈরি হয়। আসুন আমরা দেখুন যে আমরা কোনও জোড়া লাগানো বার্নোল্লি ভেরিয়েবল দিয়ে শুরু করতে পারি এবং একই জিনিসটি করতে পারি। $(X,Y)$

ধরা যাক একটি বার্নোল্লি ভেরিয়েবল ( এবং ) এবং একটি বার্নোল্লি পরিবর্তনশীল। তাদের যৌথ বিতরণটি পিন করতে আমাদের ফলাফলের চারটি সংমিশ্রণ নির্দিষ্ট করতে হবে। লেখার জন্য $X$ $(p)$ $\Pr(X=1)=p$ $\Pr(X=0)=1-p$ $Y$ $(q)$ আমরা সম্ভাব্যতার অক্ষগুলি থেকে সহজেই বাকীগুলি বের করতে পারি:

pr ((এক্স, ওয়াই) = (0, 0)) = একটি,

$\Pr((X,Y)=(0,0))=a,$

pr ((এক্স, ওয়াই) = (1, 0)) = 1 - কুই - একটি, pr ((এক্স, ওয়াই) = (0, 1)) = 1 - পি - একটি, pr ((এক্স, ওয়াই) = (1, 1)) = একটি + + পি + + কুই - 1।

$\Pr((X,Y)=(1,0))=1-q-a, \\\Pr((X,Y)=(0,1))=1-p-a, \\\Pr((X,Y)=(1,1))=a+p+q-1.$

পারস্পরিক সম্পর্কের সহগের জন্য সূত্র এই প্লাগিং এবং সমাধানে দেয় $\rho$

\begin{matrix} (1) & একটি = (1 - পি) (1 - কুই) + + ρ \sqrt{পি কুই (1 - পি) (1 - কুই)} । \end{matrix}

$a = (1-p)(1-q) + \rho\sqrt{{pq}{(1-p)(1-q)}}.\tag{1}$

প্রদত্ত চারটি সম্ভাব্যতা নেতিবাচক নয়, এটি একটি বৈধ যৌথ বন্টন দেবে - এবং এই সমাধানটি সমস্ত বিভাজনীয় বার্নোল্লি বিতরণকে প্যারামিটারাইজ করে । (যখন , এবং মধ্যে সমস্ত গাণিতিক অর্থপূর্ণ পারস্পরিক সম্পর্কগুলির জন্য একটি সমাধান রয়েছে )) আমরা যখন এই ভেরিয়েবলগুলির যোগ করি তখন পারস্পরিক সম্পর্ক একই থাকে - তবে এখন প্রান্তিক বিতরণগুলি দ্বিপদী এবং দ্বিপদী , পছন্দসই হিসাবে। $p=q$ $-1$ $1$ $n$ $(n,p)$ $(n,q)$

উদাহরণ

$n=10$ $p=1/3$ $q=3/4$ $\rho=-4/5$ $(1)$ $a=0.00336735$ $0.247$ $0.663$ $0.087$ $1000$

লাল রেখাগুলি নমুনার মাধ্যমকে নির্দেশ করে এবং বিন্দুযুক্ত রেখাটি হল রিগ্রেশন লাইন। এগুলি সমস্ত তাদের উদ্দেশ্যযুক্ত মানগুলির কাছাকাছি। ওভারল্যাপগুলি সমাধান করার জন্য পয়েন্টগুলিতে এ চিত্রটিতে এলোমেলোভাবে ঝাঁকুনি দেওয়া হয়েছে: সর্বোপরি, দ্বিপদী বিতরণগুলি কেবলমাত্র অবিচ্ছেদ্য মানগুলি তৈরি করে, তাই সেখানে প্রচুর পরিমাণে ওভারপ্লোটিং হবে।

$n$ $\{1,2,3,4\}$ $1$ $(0,0)$ $2$ $(1,0)$ $3$ $(0,1)$ $4$ $(1,1)$ $(X,Y)$

কোড

এখানে একটি Rবাস্তবায়ন।

#
# Compute Pr(0,0) from rho, p=Pr(X=1), and q=Pr(Y=1).
#
a <- function(rho, p, q) {
  rho * sqrt(p*q*(1-p)*(1-q)) + (1-p)*(1-q)
}
#
# Specify the parameters.
#
n <- 10
p <- 1/3
q <- 3/4
rho <- -4/5
#
# Compute the four probabilities for the joint distribution.
#
a.0 <- a(rho, p, q)
prob <- c(`(0,0)`=a.0, `(1,0)`=1-q-a.0, `(0,1)`=1-p-a.0, `(1,1)`=a.0+p+q-1)
if (min(prob) < 0) {
  print(prob)
  stop("Error: a probability is negative.")
}
#
# Illustrate generation of correlated Binomial variables.
#
set.seed(17)
n.sim <- 1000
u <- sample.int(4, n.sim * n, replace=TRUE, prob=prob)
y <- floor((u-1)/2)
x <- 1 - u %% 2
x <- colSums(matrix(x, nrow=n)) # Sum in groups of `n`
y <- colSums(matrix(y, nrow=n)) # Sum in groups of `n`
#
# Plot the empirical bivariate distribution.
#
plot(x+rnorm(length(x), sd=1/8), y+rnorm(length(y), sd=1/8),
     pch=19, cex=1/2, col="#00000010",
     xlab="X", ylab="Y",
     main=paste("Correlation is", signif(cor(x,y), 3)))
abline(v=mean(x), h=mean(y), col="Red")
abline(lm(y ~ x), lwd=2, lty=3)

— whuber
সূত্র

এই পদ্ধতিটি কোনও বাইনারি ভেরিয়েবলের সংখ্যা বাড়ানোর জন্য বাড়ানো যেতে পারে? - প্রদত্ত পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স ফিট করতে (বা এটি ফিট করার জন্য সর্বাধিক কাছাকাছি)?

— ttnphns

2^{k}

$2^k$

k

$k$

2^{k} - k - 1

$2^k-k-1$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

এটি একটি দুর্দান্ত ফলাফল। আপনার প্রথম বাক্যে একটু বাছাই করার জন্য। স্বতন্ত্র বার্নোল্লি ভেরিয়েবলগুলি থেকে দ্বিপদী পেতে তাদের কি একই পি থাকা দরকার? আপনি যা করেছেন তার এটির কোনও প্রভাব নেই কারণ এটি আপনার কাছে যাওয়ার জন্য কেবল প্রেরণা।

— মাইকেল আর চেরনিক

p

$p$

X

$X$

q

$q$

Y

$Y$

@ ভুবার চমৎকার পন্থা! আমি দয়া করে কোন কাগজ উল্লেখ করতে পারি কিনা দয়া করে আমাকে জানাতে পারেন ??

— টি নিক