পোইসন বিতরণ কি স্থিতিশীল এবং এমজিএফ-এর বিপরীত সূত্রগুলি রয়েছে?

প্রথম, আমার পোয়েসন বিতরণ "স্থিতিশীল" কিনা তা নিয়ে একটি প্রশ্ন আছে। খুব নির্লজ্জভাবে (এবং আমি "স্থিতিশীল" বিতরণ সম্পর্কে খুব বেশি নিশ্চিত নই), আমি এমজিএফের পণ্যটি ব্যবহার করে পোইসন বিতরণ আরভি'র একটি লিনিয়ার সংমিশ্রণ বিতরণের কাজ করেছি। দেখে মনে হচ্ছে পৃথক আরভি'র পরামিতিগুলির লিনিয়ার সংমিশ্রণের সমান প্যারামিটার সহ আমি অন্য পয়সন পেয়েছি। সুতরাং আমি এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে পয়েসন "স্থিতিশীল"। আমি কী মিস করছি?

দ্বিতীয়ত, এমজিএফের মতো বৈশিষ্ট্যগত কার্যকারিতার জন্য যেমন বিপরীত সূত্র রয়েছে?

distributions poisson-distribution mgf

— অকপট
সূত্র

এটি (স্বতন্ত্র) অঙ্কের আওতায় বন্ধ রয়েছে তবে স্বেচ্ছাসেবী রৈখিক সংমিশ্রণ নয়। আপনি যদি আপনার কাজটি অন্তর্ভুক্ত করেন তবে আমার সন্দেহ হয় যে আপনি কেন প্রক্রিয়াতে এসেছেন তা শেষ করে দেখবেন; এবং যদি তা না হয় তবে কেউ এটিকে নির্দেশ করতে সক্ষম হবেন। হ্যাঁ, বৈশিষ্ট্যযুক্ত কার্যগুলির সাথে কিছু বিপরীত এনালগ রয়েছে। ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম এবং ব্রমউইচ কনট্যুর ইন্টিগ্রেশন সম্পর্কে আপনি কী জানেন?

— কার্ডিনাল

ঠিক আছে, আমি আবার ড্রয়িং বোর্ডে ফিরে যাব। আমার কাছে আই-থাই পোইসনের এমজিএফ রয়েছে: এক্সপ (ল্যাম্বদা_আই (এক্সপ্রেস (টি) - 1))। সুতরাং এন পোইসন এমজিএফ এর পণ্যটি আমাকে দেয়: এক্সপ (যোগফল (আমি, 0, এন) আলফা_আই * ল্যাম্বদা_আই * (এক্সপ্রেস (টি) - 1)) এবং আমি নতুন ল্যাম্বডা = যোগ (i, 0, n) আলফা_আই * নিয়ে যাচ্ছি lambda_i। এখন আমি ভয় করছি যে আমি স্পষ্টত ভুল করার জন্য বোকা দেখব। - আমি সাধারণভাবে ল্যাপ্লেস রূপান্তর এবং কনট্যুর ইন্টিগ্রেশন সম্পর্কে জানি তবে ব্রোমিশ কনট্যুর ইন্টিগ্রেশন নয় not - আপনি সাধারণত এমজিএফদের চেয়ে সিএফ-এর সাথে কাজ করার পরামর্শ দিবেন? এটি আরও শক্তিশালী বলে মনে হচ্ছে।

— ফ্রাঙ্ক

আপনার মন্তব্যে কী ? এছাড়াও, আপনার গণিত-লটেক্সকে ডলার লক্ষণ দিয়ে এটির কাজটি ঘিরে দিন ("এক্সপ" ব্যবহার করে ডান দিকে তাকানোর জন্য \ এক্সপ ব্যবহার করুন এবং , \ যোগফলের জন্য ইত্যাদি তৈরি করুন)

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

— জোবোম্যান

হ্যাঁ, আমি ল্যাটেক্সে খুব ভাল নই, তবে এখানে রয়েছে। সুতরাং, আরভিগুলির সাথে আমার লিনিয়ার সংমিশ্রণটি হল: pha আলফা_ , এবং তাদের এমজিএফগুলির পণ্যটি হল:: , আমি যদি সঠিক হয়ে থাকি, হিসাবে বিতরণ করা হয় । আমি সব RVs জন্য একই টন ব্যবহার করেছিল, কিন্তু আমি ব্যবহার করতে হবে ।

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} X_{i}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{i = 0}^{n} α_{i} λ_{i} (\exp (t_{i}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$

t_{i}

$t_{i}$

— ফ্রাঙ্ক

ভুল যে MGF হয় হয় এবং

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

— gui11aume

উত্তর:

পোইসন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের লিনিয়ার সংমিশ্রণ

যেমন আপনি গণনা করেছেন, রেট বিতরণের মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশনটি হল $\lambda$

m_{X} (t) = E e^{t X} = e^{λ (e^{t} - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

এখন, আসুন স্বাধীন পোইসন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং রৈখিক সংমিশ্রণের দিকে মনোনিবেশ করা যাক । যাক । তারপরে, $X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z} (t) = E e^{t Z} = E e^{t (a X + b Y)} = E e^{t (a X)} E e^{t (b Y)} = m_{X} (a t) m_{Y} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

সুতরাং, যদি হার এবং হার , আমরা পেতে এবং এটি সাধারণত ফর্মটিতে লেখা যায় না কিছু যদি না । $X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$

m_{Z} (t) = \exp (λ_{x} (e^{a t} - 1)) \exp (λ_{y} (e^{b t} - 1)) = \exp (λ_{x} e^{a t} + λ_{y} e^{b t} - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশনগুলির বিপর্যয়

যদি মুহূর্তটি উত্পন্ন করার ফাংশনটি শূন্যের আশেপাশে উপস্থিত থাকে তবে এটি শূন্যের কাছাকাছি অসীম স্ট্রিপের জটিল মূল্যবান ফাংশন হিসাবে উপস্থিত থাকে exists এটি কনট্যুর ইন্টিগ্রেশন দ্বারা বিপর্যয় অনেক ক্ষেত্রে কার্যকর হতে দেয়। প্রকৃতপক্ষে, লাফলেস রূপান্তর a একটি nonnegative র্যান্ডম ভেরিয়েবল এর স্টোকাস্টিক-প্রক্রিয়া তত্ত্বের একটি সাধারণ সরঞ্জাম, বিশেষত বিরতির সময় বিশ্লেষণের জন্য। লক্ষ্য করুন বাস্তব মূল্যবান জন্য । আপনার একটি অনুশীলন হিসাবে প্রমাণ করা উচিত যে ল্যাপ্লেস রূপান্তর সর্বদা অজাতীয় র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য জন্য উপস্থিত থাকে । $\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

এরপরেই ব্রমউইচ ইন্টিগ্রাল বা পোস্ট ইনভার্সন সূত্রের মাধ্যমে বিপর্যয় সম্পন্ন করা যায় । পরেরটির একটি সম্ভাব্য ব্যাখ্যাটি বেশ কয়েকটি ধ্রুপদী সম্ভাব্য পাঠ্যগুলির অনুশীলন হিসাবে পাওয়া যায়।

যদিও সরাসরি সম্পর্কিত নয়, আপনি নিম্নলিখিত নোটটিতেও আগ্রহী হতে পারেন।

জেএইচ কার্টিস (1942), মুহুর্ত তৈরির তত্ত্বের একটি নোট , আন। ম্যাথ। তাত্ক্ষণিকবাজার। , খণ্ড। 13, না। 4, পিপি 430–433।

সম্পর্কিত তত্ত্বটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনগুলির জন্য আরও সাধারণভাবে বিকশিত হয় কারণ এগুলি সম্পূর্ণ সাধারণ: এগুলি সমস্ত বিতরণের জন্য সমর্থন বা মুহুর্তের সীমাবদ্ধতা ছাড়া বিদ্যমান exist

— মৌলিক
সূত্র

(+1) বিপরীত সূত্রটি কি খাঁটি তাত্ত্বিক বা এটি কখনও কখনও ব্যবহৃত হয়?

— gui11aume

@ gui11aume: এটি স্থানগুলিতে ব্যবহৃত হয়; তবে, আপনি সাধারণত কোনও পাঠ্যে যে উদাহরণগুলি খুঁজে পান সেগুলি হ'ল সাধারণত সেই উদাহরণগুলির জন্য যা আপনার প্রয়োজন হয় না। :)

— কার্ডিনাল

সুতরাং, সম্ভবত এমজিএফগুলির চেয়ে সিএফএসের সাথে কাজ করা সহজ? এমজিএফগুলি সবসময়ই থাকে না, তাই না? কেন তাদের সাথে বিরক্ত করবেন?

— ফ্রাঙ্ক

@ ফ্র্যাঙ্ক: শিক্ষাগতভাবে ক্যালকুলাস জানেন এমন শিক্ষার্থীদের সাথে তাদের পরিচয় করিয়ে দেওয়া আরও সহজ, তবে জটিল ভেরিয়েবলগুলির সামান্য বা কোনও পটভূমি নেই। যখন এগুলি বিদ্যমান থাকে, তখন সিএফগুলির কাছে তাদের সম্পূর্ণরূপে অভিন্ন বৈশিষ্ট্য রয়েছে। তারা সম্ভাব্যতা তত্ত্বের কিছু অংশ এবং তাত্ত্বিক পরিসংখ্যানগুলিতে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যেমন, বড় বিচ্যুতি এবং ক্ষতিকারক তাত্পর্য।

— কার্ডিনাল

@ ফ্র্যাঙ্ক: এগুলি হল লেবি- স্থিতিশীল বিতরণ এবং এমজিএফ সহ কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিতরণ। বস্তুত, CFS হয় এই সমস্যার জন্য টুল; সিএফ এর সম্ভাব্য ফর্মটি এই জাতীয় সমস্ত বিতরণের জন্য পরিচিত, তবে ক্লোজড ফর্ম সম্পর্কিত পিডিএফগুলি কেবলমাত্র কয়েকটি নির্বাচিত উদাহরণের মধ্যেই জানেন।

α

$\alpha$

— কার্ডিনাল

পাইসন বিতরণগুলি যোগফলের সাথে স্থিতিশীল। রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা এগুলি তুচ্ছভাবে স্থিতিশীল নয় কারণ আপনি ননইনটেজার মানগুলি দিয়ে শেষ করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, যদি পয়সন হয় তবে তুচ্ছভাবে পোইসন নয়। $X$ $X/2$

আমি এমজিএফ-এর বিপরীত সূত্রগুলি সম্পর্কে সচেতন নই (তবে @ কার্ডিনাল মনে হয়)।

— gui11aume
সূত্র

(+1) কারণ আমি সাধারণ চিত্রিত প্রমাণগুলি এবং পাল্টে দেওয়া উদাহরণগুলি পছন্দ করি যা অবিলম্বে বিষয়টি হৃদয়ের সামনে তুলে ধরে।

— কার্ডিনাল

পরিভাষা সম্পর্কে আমার একটি প্রশ্ন আছে। পরিসংখ্যানগুলিতে আমি স্থিতিশীল ডিস্ট্রিবিউশনস অধ্যয়ন করলাম সেগুলি ছিল বিতরণের সীমা যা স্থিতিশীল আইন নামে অভিহিত শর্তকে সন্তুষ্ট করে। এগুলি অবিচ্ছিন্ন বিতরণ। এটি হ'ল একটি সাধারণ গড় জেডের সীমাবদ্ধতার জন্য বিতরণ তবে জনসংখ্যার বন্টনের লেজ আচরণের কারণে কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বটি জেড-এর জন্য প্রয়োগ হয় না। আসলে কোনও নির্দিষ্ট প্যারামিটার আলফা = ২ থাকলে কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বটি স্থিতিশীল আইনের অন্তর্ভুক্ত হতে পারে

— মাইকেল আর চেরনিক

আপনি এখানে স্থিতিশীল যা বলছেন তা অঙ্কের অধীনে বেশি যা আমার কাছে অসীম বিভাজক শব্দটির মতো মনে হয়। স্থিতি শব্দটি এর জন্য কোন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়? এটি কি সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান ব্যবহৃত হচ্ছে?

— মাইকেল আর চেরনিক

(+1) উইকিপিডিয়া অনুসারে "স্থিতিশীল" বিতরণগুলি যেমন এর এর সমান বিতরণ , যা ক্ষেত্রে নয়। আমি অনুমান করি যে একমাত্র সঠিক শব্দটি (আমি ভুল হলে আমাকে সংশোধন করি) হবে "দ্য পইসন পরিবার সমষ্টিগতভাবে স্থিতিশীল"। সাধারণভাবে, এর অর্থ এই নয় যে বিতরণটি অনন্তরূপে বিভাজ্য (দ্বিপদী সম্পর্কে ভাবেন), তবে পয়েসন এই সম্পত্তিটি পেয়েছেন।

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$

— gui11aume