ক্ষতিকারক পরিবার কেন সমস্ত বিতরণ অন্তর্ভুক্ত করে না?

Question

আমি বইটি পড়ছি:

বিশপ, প্যাটার্ন রিকগনিশন এবং মেশিন লার্নিং (২০০))

যা তাত্পর্যপূর্ণ পরিবারকে ফর্মের বিতরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে (EQ। 2.194):

$$p(\mathbf x|\boldsymbol \eta) = h(\mathbf x) g(\boldsymbol \eta) \exp \{\boldsymbol \eta^\mathrm T \mathbf u(\mathbf x)\}$$

তবে আমি বা \ mathbf u (\ mathbf x) এর উপর কোনও বিধিনিষেধ স্থাপন করি না । এর অর্থ কি এই নয় যে h (th mathbf x) এবং \ mathbf u (\ mathbf x) এর যথাযথ পছন্দ অনুসারে কোনও বিতরণ এই ফর্মটিতে স্থাপন করা যেতে পারে (বাস্তবে তাদের মধ্যে একটিরও সঠিকভাবে চয়ন করতে হবে!)? তাহলে কীভাবে তাত্পর্যপূর্ণ পরিবার সমস্ত সম্ভাব্য বন্টনকে অন্তর্ভুক্ত করে না ? আমি কী মিস করছি?$h(\mathbf x)$$\mathbf u(\mathbf x)$$h(\mathbf x)$$\mathbf u(\mathbf x)$

পরিশেষে, আরও একটি বিশেষ প্রশ্ন যা আমি আগ্রহী তা হ'ল: ঘাতক পরিবারে বার্নোল্লি বিতরণ কি ? উইকিপিডিয়া দাবি করেছে, তবে যেহেতু আমি এখানে কিছু সম্পর্কে স্পষ্টতই বিভ্রান্ত, তাই কেন তা দেখতে চাই।

Comments

বার্নোল্লি বিতরণটি তাত্পর্যপূর্ণ পরিবারে রয়েছে তার প্রমাণের জন্য, এবং কোথায় পাবেন তা দেখুন$f(x; \mu) = \exp (\log( f(x; \mu)))$

— jld

কেবল স্পষ্ট করে বলার জন্য, আপনি কি এই ফর্মটিতে কোনও বিতরণ লেখা যেতে পারে, বা বিতরণের কোনও পরিবার এই ফর্মটিতে লেখা যেতে পারে কিনা তা জিজ্ঞাসা করছেন? আপনি উত্তরোত্তর প্রশ্নের উত্তর পেয়েছেন বলে মনে হচ্ছে।

— ওয়েন

@ ওঁ হ্যাঁ, আমি এখন দেখতে পাচ্ছি যে এটিই গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। যদিও এই ফর্মটিতে ( যথাযথভাবে কোনও বিতরণ লেখা যেতে পারে , এবং$h(\mathbf x)$ )লিখে দেওয়া যেতে পারে, তার অর্থ এই নয় যে কোনওপরিবারকেএই ফর্মটিতে লেখা যেতে পারে। $g=1,\mathbf u= 0$

— বেকো

@ বেকো, একদম ঠিক আছে। "ক্ষতিকারক পরিবার" পাঠ্যটির বাক্যটি কিছুটা বিভ্রান্তিকর, কারণ এখানে কেবলমাত্র একটি ঘাতক পরিবার নেই; বরং, প্রতিটি পছন্দ একটি পরিবারকে জন্ম দেয়। এর পরিবর্তে অনেক লেখক এটিকে আরও স্পষ্ট করে "এক ক্ষতিকারক পরিবার" বলে থাকেন; উদাহরণস্বরূপ, উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠা দেখুন: en.wikedia.org/wiki/Exponential_family$(h, g, \mathbf u)$

— ব্রেন্ট

@ বেকো আমি মনে করি আপনার যুক্তি দেখায় যে প্রদত্ত যে কোনও বিতরণ হ'ল এক অনুষঙ্গীয় পরিবারের সদস্য হতে পারে, তবে বিতরণের কোনও পরিবারই ক্ষতিকারক পরিবার হতে পারে তা নয়।

— ম্যাথু

Answer 1

ওয়েল, আপনার সংজ্ঞার একটা পরিনাম: যে সমর্থন পরামিতি দ্বারা সূচীবদ্ধ বন্টন পরিবারের η না উপর নির্ভর করে η । (সম্ভাব্যতা বিতরণের সমর্থন হ'ল (বন্ধ হওয়া) সম্ভাব্যতার সাথে কমপক্ষে সেট করা বা অন্য কথায়, যেখানে বিতরণটি বাস করে

$$p(\mathbf x|\boldsymbol \eta) = h(\mathbf x) g(\boldsymbol \eta) \exp \{\boldsymbol \eta^\mathrm T \mathbf u(\mathbf x)\}$$ $\eta$$\eta$।) সুতরাং প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে সমর্থন সহ একটি বিতরণ পরিবারের একটি কাউন্টারিক্স উদাহরণ দেওয়া যথেষ্ট, সবচেয়ে সহজ উদাহরণটি ইউনিফর্ম বিতরণের নিম্নলিখিত পরিবার: । (@ চ্যাঙ্কেনের অন্য উত্তরটি আরও পরিশীলিত কাউন্টারিক নমুনা দেয়)।$\text{U}(0, \eta), \quad \eta > 0$

Answer 2

$$f(x; \mu, \sigma) \propto \exp \left(-| x - \mu | / \sigma \right).$$

$\mu = 0$$|x - \mu|$$\mu$$x$

ঘৃণ্য পরিবারটির মধ্যে আমরা সাধারণত যে নামী সুন্দর বিতরণগুলি দেখা করি তার মধ্যে বেশিরভাগ অংশই অন্তর্ভুক্ত থাকে, তাই প্রথমে মনে হতে পারে এটির আগ্রহের কিছু আছে তবে এটি কোনওভাবেই পরিসীমাবদ্ধ নয়।