দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি নমুনার গড়ের জন্য স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি

44

ধরুন আমি একটি পরীক্ষা চালিয়ে যাচ্ছি যার 2 টি ফলাফল হতে পারে এবং আমি ধরে নিচ্ছি যে 2 টি ফলাফলের অন্তর্নিহিত "সত্য" বিতরণ হল $n$ এবং সাথে প্যারামিটার সহ দ্বিপদী বিতরণ $p$ : ${\rm Binomial}(n, p)$ ।

আমি স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিটি গণনা করতে পারি, ,রূপ থেকে : যেখানে। সুতরাং, $SE_X = \frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$ ${\rm Binomial}(n, p)$

σ_{X}^{2} = n p q

$\sigma^{2}_{X} = npq$

q = 1 - p

$q = 1-p$

। স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির জন্য আমি পেয়েছি:

σ_{X} = \sqrt{n p q}

$\sigma_X=\sqrt{npq}$

, তবে আমি কোথাও দেখেছি যে

S E_{X} = \sqrt{p q}

$SE_X=\sqrt{pq}$

। আমি কি ভুল করছি?

S E_{X} = \sqrt{\frac{p q}{n}}

$SE_X = \sqrt{\frac{pq}{n}}$

binomial standard-error

— অকপট
সূত্র

এই নিবন্ধটি গড় মান ত্রুটি বুঝতে খুব সহায়ক influentialpoints.com/Training/...

— Sanghyun লি

আমার গুগলিং থেকে, এটি প্রতীয়মান হয় যে দ্বিপাক্ষিক বিতরণের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানগুলি পাওয়ার ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত বিষয়টি বরং সংখ্যাসূচক এবং জটিল। বিশেষত, দেখে মনে হচ্ছে এই সূত্র থেকে প্রাপ্ত আত্মবিশ্বাসের অন্তরগুলি, যা "ওয়াল্ড ইন্টারভালস" হবে (দেখুন এন.ইউইউইকিপিডিয়া.আর / উইকি / বিনোমিয়াল_প্রপোসর_কেন্সিডেন্স_ইন্টারভাল ), বরং খারাপ আচরণ করা এবং এড়ানো উচিত। আরও তথ্যের জন্য jstor.org/stable/2676784?seq=1#metadata_info_tab_contents দেখুন ।

— অ্যাকির্ডার্টল্ট

58

দেখে মনে হচ্ছে আপনি দুইবার দুটি ভিন্ন উপায়ে ব্যবহার করছেন - উভয়ই নমুনার আকার এবং বার্নোলি ট্রায়ালগুলির সংখ্যা হিসাবে যা দ্বি বিনয়ের এলোমেলো পরিবর্তনশীল; যে কোনও অস্পষ্টতা দূর করতে আমি ব্যবহার করতে যাচ্ছি পরে উল্লেখ করতে। $n$ $k$

আপনি যদি A থেকে স্বাধীন নমুনা বন্টন, তাদের নমুনা গড় ভ্যারিয়েন্স হয় $n$ ${\rm Binomial}(k,p)$

v a r (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} v a r (X_{i}) = \frac{n v a r (X_{i})}{n^{2}} = \frac{v a r (X_{i})}{n} = \frac{k p q}{n}

${\rm var} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} {\rm var}( X_{i} ) = \frac{ n {\rm var}(X_{i}) }{ n^2 } = \frac{ {\rm var}(X_{i})}{n} = \frac{ k pq }{n}$

যেখানে এবং একই গড়। এর পর থেকে এটি অনুসরণ করা $q=1-p$ $\overline{X}$

${\rm var}(cX) = c^2 {\rm var}(X)$ $X$ $c$

(২) স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের ভেরিয়েন্সের বৈকল্পিকের সমান ।

$\overline{X}$ $\sqrt{\frac{ k pq }{n}}$

$k = n$ $\sqrt{pq}$
$k = 1$ $\sqrt{\frac{pq }{n}}$

— ম্যাক্রো
সূত্র

3

X

$X$

v a r (X) = p q

${\rm var}(X) = pq$

X

$X$

n

$n$

p

$p$

v a r (X) = n p q

${\rm var}(X) = npq$

2

ধন্যবাদ! তুমি আমার বিভ্রান্তি দূর করেছ। দুঃখিত যে এটি এত প্রাথমিক ছিল, আমি এখনও শিখছি :-)

— ফ্রাঙ্ক

6

^{2}

$^2$

^{2}

$^2$

^{2}

$^2$

1

@ মিশেল চের্নিক, আপনার বর্ণিত বিবরণগুলি আমি পরিষ্কার করে দিয়েছি। সমস্যার বর্ণনার ভিত্তিতে, আমি অনুভব করেছি যে ফ্র্যাঙ্ক এই বিষয়গুলি জানত তবে আপনি ঠিক বলেছেন যে ভবিষ্যতের পাঠকদের পক্ষে বিশদটি অন্তর্ভুক্ত করা আরও শিক্ষামূলক হবে।

— ম্যাক্রো

2

সোল লাগো - এক্ষেত্রে কে = 1। আপনি যদি 50 বার একটি মুদ্রা উল্টান এবং সাফল্যের সংখ্যা গণনা করেন এবং তারপরে পরীক্ষার 50 বার পুনরাবৃত্তি করেন, তবে কে = এন = 50। মুদ্রার একটি ফ্লিপ 1 বা 0-এ ফলাফল

— ern

9

দুটি দ্বিপদী বিতরণ বিভ্রান্ত করা সহজ:

সাফল্যের সংখ্যা বিতরণ
সাফল্যের অনুপাত বিতরণ

এনপিকিউ হ'ল সাফল্যের সংখ্যা, তবে এনপিকিউ / এন = পিকিউ সাফল্যের অনুপাত। এটি বিভিন্ন স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির সূত্রে ফলাফল।

— Vlad
সূত্র

6

আমরা নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে এটি দেখতে পারি:

$n$ $Y$ $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X_i$

$X_i$ $Y$

$Y$ $Y$

$pq$ $p$ $q = 1 – p$

এখন, যদি আমরা , ভ্যারিয়েন্সের দিকে লক্ষ্য করি । তবে, সমস্ত স্বতন্ত্র বার্নোল্লি পরীক্ষার জন্য, । যেহেতু পরীক্ষায় টসস বা বার্নোল্লি ট্রায়াল রয়েছে, । এর দ্বারা বোঝা যায় যে ভেরিয়েন্স । $Y$ $V(Y) = V(\sum X_i) = \sum V(X_i)$ $V(X_i) = pq$ $n$ $V(Y) = \sum V(X_i) = npq$ $Y$ $npq$

এখন, নমুনা অনুপাতটি , যা 'সাফল্যের বা শীর্ষের অনুপাত' দেয়। এখানে, একটি ধ্রুবক হিসাবে আমরা জনসংখ্যার সমস্ত পরীক্ষা-নিরীক্ষার জন্য একই জাতীয় কোনও কয়েন টসস নেওয়ার পরিকল্পনা করি। $\hat p = \frac Y n$ $n$

সুতরাং, । $V(\frac Y n) = (\frac {1}{n^2})V(Y) = (\frac {1}{n^2})(npq) = pq/n$

সুতরাং, (একটি নমুনা পরিসংখ্যান) এর জন্য স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি হ'ল $\hat p$ $\sqrt{pq/n}$

— Tarashankar
সূত্র

আপনার গণিতে চারপাশে ডলার রেখে আপনি লেটেক্স টাইপসেটিং ব্যবহার করতে পারেন, যেমন $x$ দেয় ।

x

$x$

— সিলভারফিশ

মনে রাখবেন যে পদক্ষেপটি সত্যিই কিছু ন্যায়সঙ্গতের দাবিদার!

V (\sum X_{i}) = \sum V (X_{i})

$V(\sum X_i)=\sum V(X_i)$

— সিলভারফিশ

সর্বশেষ ছাড়ের ক্ষেত্রে টাইপ রয়েছে, ভি (ওয়াই / এন) = (1 / এন ^ 2) * ভি (ওয়াই) = (1 / এন ^ 2) * এনপিকিউ = পিক / এন সঠিক ছাড়ের হওয়া উচিত।

— তারাশঙ্কর

দুঃখিত, আমি টাইপসেটিং করার সময় এটি চালু করলাম। আশা করি এখন সাজানো হয়েছে।

— সিলভারফিশ

1

X_{i}

$X_i$

2

আমি মনে করি প্রমিত ত্রুটি এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির মধ্যে প্রাথমিক পোস্টে কিছু বিভ্রান্তিও রয়েছে। স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি কোনও বন্টনের বৈকল্পিকতার স্কয়ার্ট; স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি হ'ল সেই বিতরণ থেকে প্রাপ্ত কোনও নমুনার আনুমানিক গড়ের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি, অর্থাত্ যদি আপনি সেই নমুনা অসীমভাবে বহুবার করেন তবে আপনি যে উপায়গুলি পর্যবেক্ষণ করবেন তা ছড়িয়ে দেওয়া। পূর্ববর্তীটি বিতরণের একটি স্বতন্ত্র সম্পত্তি; পরেরটি হ'ল বিতরণের কোনও সম্পত্তি (গড়) সম্পর্কে আপনার অনুমানের মানের একটি পরিমাপ। যখন আপনি সাফল্যের অজানা সম্ভাবনাটি অনুমান করার জন্য এন বার্নুইলি ট্রায়ালগুলির একটি পরীক্ষা করেন, তখন কে সাফল্য দেখার পরে আপনার আনুমানিক পি = কে / এন এর অনিশ্চয়তা অনুমান অনুপাতের একটি স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি, বর্গ (পিকিউ / এন) যেখানে q = 1 -p। সত্য বিতরণ একটি প্যারামিটার পি দ্বারা চিহ্নিত, সাফল্যের আসল সম্ভাবনা।

— স্ট্যান
সূত্র