মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন এবং সম্ভাব্যতা উত্পাদন ফাংশন মধ্যে পার্থক্য কি?

Question

"সম্ভাব্যতা উত্পন্নকরণ ফাংশন" এবং "মুহূর্ত উত্পন্নকরণ কার্য" এই দুটি পদগুলির মধ্যে আমি বিভ্রান্ত। এই পদগুলি কীভাবে পৃথক হয়?

Answer 1

সম্ভাব্যতা তৈরির ফাংশনটি সাধারণত (ননজেটিভ) পূর্ণ মূল্যবান এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য ব্যবহৃত হয় তবে এটি মুহূর্তটি উত্সাহিতকরণের ফাংশনটির কেবলমাত্র একটি পুনর্ব্যবস্থাপনা। সুতরাং দুটি একই তথ্য রয়েছে।

যাক একটি অ-নেতিবাচক দৈব চলক হও। তারপরে ( https://en.wikedia.org/wiki/Probability-generating_function দেখুন ) সম্ভাব্যতা তৈরির ফাংশনটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং মুহুর্তে উত্পন্ন ফাংশনটি হল এখন সংজ্ঞায়িত করুন যাতে । তারপরে সুতরাং, উপসংহারে, সম্পর্কটি সরল: জি ( জেড ) = ই জেড এক্স এম এক্স ( টি ) = ই ই টি এক্স লগ z = t ই টি = জেড জি ( জেড ) = ই জেড এক্স = ই ( ই টি ) এক্স = ই ই টি এক্স = এম এক্স ( টি ) = এম এক্স ( লগ z ) $X$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$$ $$M_X(t) = \E e^{t X}$$ $\log z=t$$e^t=z$ $$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$$ $$G(z) = M_X(\log z)$$

EDIT   

@ কার্ল আমার এই সূত্রটি সম্পর্কে একটি মন্তব্যে লিখেছেন "... যা সত্য, এটি মিথ্যা হওয়া ব্যতীত" সুতরাং আমার কিছু মন্তব্য করা দরকার। অবশ্যই, সমতা ধরে নেয় যে উভয়ই সংজ্ঞায়িত হয়েছে এবং ভেরিয়েবল জন্য একটি ডোমেন দেওয়া দরকার। আমি ভেবেছিলাম পোস্টটি আনুষ্ঠানিকতা ব্যতীত যথেষ্ট পরিষ্কার, তবে হ্যাঁ, কখনও কখনও আমি খুব অনানুষ্ঠানিকও হয়ে থাকি। তবে আরেকটি বিষয় রয়েছে: হ্যাঁ, সম্ভাব্যতা তৈরির ফাংশনটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে (ননজিটিভ যুক্তি) সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনগুলির জন্য ব্যবহৃত হয়, যার নাম থেকেই আসে। তবে সংজ্ঞায়িত এমন কিছু নেই যা এটি ধরে নেয়, এটি কোনও নন-নেগেটিভ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে! উদাহরণস্বরূপ, হার 1 এর সাথে সূচকীয় বিতরণটি গ্রহণ করুন, আমরা গণনা করতে পারি জেড জি ( জেড ) = ই জেড এক্স = ∫ ∞ 0 জেড এক্স ই - $G(z) = M_X(\log z)$$z$

$$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$$ যা আমরা সমস্ত মুহুর্তে তৈরির ফাংশনটি ব্যবহার করি এবং সমস্ত ফাংশনের মধ্যকার সম্পর্কগুলি সম্পন্ন হয়েছে কিনা তা যাচাই করতে পারেন purposes সাধারণত আমরা এটি করি না, সম্ভবত একই ধরণের সংজ্ঞাটি (সম্ভবত) নেতিবাচক পাশাপাশি নননেজিটিভ ভেরিয়েবলগুলির সাথে ব্যবহার করা আরও কার্যকর। তবে তা গণিত দ্বারা বাধ্য হয় না।

Comments

(+1) যদিও আমার একটি প্রতিযোগিতামূলক উত্তর রয়েছে।

— কার্ল 0

(+1) আবার। আশ্চর্যের বিষয়, আমি অনুমান করি যদি আমি সম্পাদনা করি তবে আমি আবারও ভোট দিতে পারি।

— কার্ল

Answer 2

আসুন প্রথমে উভয়কে সংজ্ঞায়িত করি এবং তারপরে পার্থক্যটি নির্দিষ্ট করি।

1) সম্ভাবনা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানগুলিতে, একটি বাস্তব-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহূর্ত-উত্পন্ন ফাংশন (এমজিএফ) এর সম্ভাব্যতা বিতরণের বিকল্প স্পেসিফিকেশন।

2) সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা উত্পন্নকরণ ফাংশন (পিজিএফ) এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য ভর ফাংশনের পাওয়ার সিরিজ উপস্থাপনা (উত্পন্ন ফাংশন)।

এমজিএফকে পিজিএফের সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। পার্থক্য অন্যান্য বিষয়গুলির মধ্যে হ'ল সম্ভাবনা জেনারেশন ফাংশনটি বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হয় যেখানে মুহুর্তে উত্পন্ন কার্যটি বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং কিছু ধারাবাহিক এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। উদাহরণস্বরূপ, উভয়ই পয়েসন বিতরণে প্রয়োগ করা যেতে পারে কারণ এটি পৃথক। প্রকৃতপক্ষে, তারা একই ফর্মের ফলাফল দেয়; । কেবলমাত্র মিলিগ্রাফ একটি সাধারণ বিতরণে প্রযোজ্য হবে এবং মিলিএফএফ বা পিজিএফ উভয়ই কচির বিতরণে প্রযোজ্য নয়, তবে কিছুটা ভিন্ন কারণে।$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

@Kjetilbhalvorsen উল্লেখ করেছেন যে, pgf কেবলমাত্র স্বচ্ছ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পরিবর্তে অ-নেতিবাচক ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। সুতরাং, সম্ভাব্যতা তৈরির ফাংশনে বর্তমান উইকিপিডিয়া এন্ট্রি বাদ দেওয়ার একটি ভুল রয়েছে, এবং এটি উন্নত করা উচিত।

Comments

পোইসন বিতরণের পিজিএফ এবং এমজিএফ, যদিও নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত (যেমন কেজেটিল হালভারসনের পোস্ট করা উত্তরে ব্যাখ্যা করা হয়েছে), অবশ্যই "সমান" নয়।

— whuber

@ হুবুহু রাজি হলেন, জবাব নিয়ে আমার একই সমস্যা হয়েছিল , যা সত্য যখন এটি মিথ্যা না হয়ে থাকে। $G(z) = M_X(\log z)$

— কার্ল

@ হুবুহু এই অন্তর্নিহিত প্রশ্নের উত্তরের জন্য আমার উত্তরটি (আমার কয়েক মিনিটের মধ্যে পোস্ট করা হবে) দেখুন edit

— কেজেটিল বি হলওয়ার্সন