প্রত্যাশা পাটিগণিতের অর্থের সমান কেন?

Question

আজ আমি গাণিতিক প্রত্যাশা নামে একটি নতুন বিষয় জুড়ে এসেছি। আমি যে বইটি অনুসরণ করছি তা বলছে, প্রত্যাশাটি কোনও সম্ভাবনা বন্টন থেকে আসা এলোমেলো পরিবর্তনশীলের পাটিগণিত গড়। তবে এটি প্রত্যাশাটিকে কিছু উপাত্তের পণ্যের যোগফল এবং এর সম্ভাব্যতা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে। এই দুটি (গড় এবং প্রত্যাশা) কীভাবে এক হতে পারে? ডেটা পুরো বিতরণের গড় হতে পারে সম্ভাবনার সমষ্টিটির যোগফল কীভাবে হতে পারে?

Answer 1

অনানুষ্ঠানিকভাবে, একটি সম্ভাব্যতা বন্টন একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের ফলাফলগুলির আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি সংজ্ঞায়িত করে - প্রত্যাশিত মানটি সেই ফলাফলগুলির একটি ওজনযুক্ত গড় হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে (আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি দ্বারা ভারিত)। একইভাবে, প্রত্যাশিত মানটি সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনার যথাযথ অনুপাতে সংখ্যার সংখ্যার গণিত গড় হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে (ধারাবাহিক এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে এটি ঠিক সত্য নয় কারণ নির্দিষ্ট মানগুলির সম্ভাবনা )।$0$

প্রত্যাশিত মান এবং গাণিতিক গড়ের মধ্যকার সংযোগটি একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাথে সর্বাধিক স্পষ্ট, যেখানে প্রত্যাশিত মান হয়

$$E(X) = \sum_{S} x P(X=x)$$

যেখানে হ'ল নমুনা স্থান। উদাহরণ হিসাবে, ধরুন আপনার কাছে একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল রয়েছে যা:$S$$X$

$$X = \begin{cases} 1 & \mbox{with probability } 1/8 \\ 2 & \mbox{with probability } 3/8 \\ 3 & \mbox{with probability } 1/2 \end{cases}$$

এটি হ'ল, সম্ভাব্য ভর ফাংশন হ'ল , , এবং । উপরের সূত্রটি ব্যবহার করে, প্রত্যাশিত মান$P(X=1)=1/8$$P(X=2)=3/8$$P(X=3)=1/2$

$$E(X) = 1\cdot (1/8) + 2 \cdot (3/8) + 3 \cdot (1/2) = 2.375$$

এখন ফ্রিকোয়েন্সি সহ উত্পন্ন সংখ্যাগুলি সম্ভাব্য গণ কার্যের সাথে সমানুপাতিক বিবেচনা করুন - উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যার সেট 1 - দুই টি, ছয় এস এবং আট এস। এখন এই সংখ্যাগুলির গাণিতিক গড় নিন:$\{1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3\}$$1$$2$$3$

$$\frac{1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3}{16} = 2.375$$

এবং আপনি এটি প্রত্যাশিত মানের সমান দেখতে পাবেন।

Comments

এটি কি set 1,2,2,2,3,3,3,3 3 এর সহজ সেটটি ব্যবহার করে আরও ভাল চিত্রিত হবে না? সেই সংখ্যার গাণিতিক গড় দেখানো অভিব্যক্তিটি সেই পরিবর্তকের প্রত্যাশার মানটি প্রকাশ করে এমন অভিব্যক্তির সাথে সমান (যদি আপনি ওজনযুক্ত পণ্যগুলিকে সাধারণ পরিমাণে রূপান্তর করেন)।

— ড্যানক্রাম্ব

পুনরায়: "সেই সংখ্যার গাণিতিক গড় দেখানো অভিব্যক্তিটি সেই পরিবর্তকের প্রত্যাশার মানটি প্রকাশ করে এমন অভিব্যক্তির অনুরূপ (যদি আপনি ওজনযুক্ত পণ্যগুলিকে সাধারণ পরিমাণে রূপান্তর করেন)" - হ্যাঁ @ ড্যানক্রাম্ব, এটি ছিল সম্পূর্ণ পয়েন্ট :)

— ম্যাক্রো

Answer 2

প্রত্যাশা হ'ল সম্ভাবনা বন্টন নয় এলোমেলো ভেরিয়েবলের গড় মান বা গড়। যেমন এটি বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলির ওজন গড় যেখানে those স্বতন্ত্র মানগুলির সংঘটন সম্পর্কিত আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি অনুসারে ভার নির্ধারণ করা হয়। একেবারে অবিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য এটি সম্ভাবনার ঘনত্বের গুণিত x এর মানের অবিচ্ছেদ্য। পর্যবেক্ষণ করা ডেটা স্বতন্ত্রভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংগ্রহের মান হিসাবে দেখা যায়। নমুনা গড় (বা নমুনা প্রত্যাশা) পর্যবেক্ষণ করা ডেটা জন্য অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা বিতরণ সম্পর্কিত ডেটা প্রত্যাশা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি সহজেই ডেটাগুলির গাণিতিক গড় তৈরি করে।

Comments

+1 টি। ভাল ধরা পুনরায়: "প্রত্যাশা সম্ভাবনা বন্টন নয় এলোমেলো ভেরিয়েবলের গড় মান বা গড়"। পরিভাষার এই সূক্ষ্ম অপব্যবহার আমি লক্ষ্য করি না।

— ম্যাক্রো

Answer 3

আসুন সংজ্ঞাগুলিতে মনোযোগ দিন:

গড়টিকে সংখ্যার সংখ্যার যোগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় সংখ্যার সংখ্যার দ্বারা বিভক্ত। গণনাটি "1 থেকে n এর মধ্যে আমার জন্য (x সাব i এর যোগফল) n দ্বারা বিভক্ত হবে" "

প্রত্যাশিত মান (ইভি) হ'ল এটি প্রতিনিধিত্ব করে এমন পরীক্ষার পুনরাবৃত্তির দীর্ঘ-রান গড় মান। গণনাটি "1 থেকে n এর মধ্যে i এর জন্য, ইভেন্ট x সাব এর যোগফল এর সম্ভাব্যতার চেয়ে বহুগুণ বেশি (এবং সমস্ত পি সাব এর যোগফল অবশ্যই = 1)" "

সুষ্ঠু মরার ক্ষেত্রে, এটি দেখতে খুব সহজ যে গড় এবং ইভি একই। গড় - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 - 3.5 এবং ইভি হবে:

প্রোব এক্সপি * এক্স

0.167 1 0.17

0.167 2 0.33

0.167 3 0.50

0.167 4 0.67

0.167 5 0.83

0.167 6 1.00

ইভ = যোগফল (পি * এক্স) = 3.50

তবে মারা গেলে কী "ন্যায্য" হত না। অন্যায়ভাবে মারা যাওয়ার সহজ উপায় হ'ল 4, 5 এবং 6 মুখের ছেদ করার কোণে একটি গর্ত ড্রিল করা। আরও এখন বলা যাক যে আমাদের নতুন এবং উন্নত আঁকাবাঁকা ডাইতে 4, 5, বা 6 রোল করার সম্ভাবনা এখন 2 .2 এবং 1, 2, বা 3 রোল করার সম্ভাবনা এখন .133। এটি 6 টি মুখের সাথে একই মরা, প্রতিটি মুখে একটি সংখ্যা এবং এই মরনের গড় এখনও 3.5 তবে, এই ডাইটিকে বহুবার ঘূর্ণায়মান করার পরে, আমাদের ইভি এখন 3.8 হয় কারণ ইভেন্টগুলির সম্ভাবনাগুলি এখন আর সমস্ত ইভেন্টের জন্য একই থাকে না।

প্রোব এক্সপি * এক্স

0.133 1 0.13

0.133 2 0.27

0.133 3 0.40

0.200 4 0.80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

ইভ = সম (পি * এক্স) = 3.80

আবার, আসুন সাবধানতা অবলম্বন করুন এবং একটি জিনিস সর্বদা অন্যটির মতো "একই" থাকবে তা শেষ করার আগে সংজ্ঞাটিতে ফিরে যাই। কীভাবে একটি সাধারণ ডাই সেট আপ হয় তা দেখুন এবং অন্যান্য 7 কোণে একটি গর্ত ড্রিল করুন এবং দেখুন কীভাবে ইভিগুলি পরিবর্তন হয় - মজা করুন।

Bob_T

Answer 4

"গড়" এবং "প্রত্যাশিত মান" এর মধ্যে একমাত্র পার্থক্য হ'ল গড়টি মূলত ফ্রিকোয়েন্সি বিতরণের জন্য ব্যবহৃত হয় এবং প্রত্যাশা সম্ভাবনা বিতরণের জন্য ব্যবহৃত হয়। ফ্রিকোয়েন্সি বিতরণে, নমুনা স্পেসে ভেরিয়েবল এবং তাদের সংঘটনগুলির ফ্রিকোয়েন্সি থাকে। সম্ভাব্যতা বিতরণে, নমুনা স্থান এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং তাদের সম্ভাব্যতা নিয়ে গঠিত। এখন আমরা জানি যে নমুনা স্পেসে সমস্ত ভেরিয়েবলের মোট সম্ভাব্যতা = 1 হতে হবে। এখানে মূল পার্থক্য রয়েছে। প্রত্যাশার জন্য ডিনোমিনেটর শব্দটি সর্বদা = 1। (উদাহরণস্বরূপ Summation f (xi) = 1) তবে ফ্রিকোয়েন্সি সংমিশ্রণের উপর এই জাতীয় কোনও বিধিনিষেধ নেই (যা মূলত এন্ট্রিগুলির মোট সংখ্যা)।