নমুনা আকার এবং উত্তরোত্তর পূর্বের প্রভাবের মধ্যে সম্পর্ক কী?

17

আমাদের যদি একটি ছোট নমুনার আকার থাকে তবে পূর্বের বিতরণটি উত্তরোত্তর বিতরণকে অনেক প্রভাবিত করবে?

bayesian sample-size prior

5

স্বজ্ঞাততা স্পষ্ট: আপনার কাছে যত বেশি ডেটা থাকবে, আপনার প্রিয়ারদের উপর আপনারা নির্ভর করতে হবে কম। শুধু একটি পরিসংখ্যান পাঠ নয়, একটি জীবন পাঠ! ;)

— লুকাস রেইস

27

হ্যাঁ. একটি প্যারামিটার জন্য অবর বন্টন , একটি ডেটা সেট দেওয়া $\theta$ হিসাবে লেখা যেতে পারে ${\bf X}$

পি (θ | এক্স) α \underset{ঠ আমি ট ই ঠ আমি জ ণ ণ ঘ}{\underset{⏟}{পি (এক্স | θ)}} \cdot \underset{পি R আমি ণ R}{\underset{⏟}{পি (θ)}}

$p(\theta | {\bf X}) \propto \underbrace{p({\bf X} | \theta)}_{{\rm likelihood}} \cdot \underbrace{p(\theta)}_{{\rm prior}}$

বা, যেমন লগ স্কেলে আরও সাধারণভাবে প্রদর্শিত হয়,

লগ (পি (θ | এক্স)) = গ + + এল (θ; এক্স) + + লগ (পি (θ))

$\log( p(\theta | {\bf X}) ) = c + L(\theta;{\bf X}) + \log(p(\theta))$

লগ-সম্ভাবনা, , নমুনা আকারের সাথে স্কেল করে , যেহেতু এটি ডেটা ফাংশন, যখন পূর্বের ঘনত্বটি করে না। অতএব, নমুনা আকার বেড়ে যায়, পরম মান হিসাবে বৃহত্তর হচ্ছে যখন থাকার বিষয়টি মতেই সংশোধন (একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য ), এইভাবে সমষ্টি $L(\theta;{\bf X}) = \log \left( p({\bf X}|\theta) \right)$ $L(\theta;{\bf X})$ $\log(p(\theta))$ $\theta$ নমুনার আকার বৃদ্ধির সাথে সাথে দ্বারা আরও বেশি প্রভাবিত হয়। $L(\theta;{\bf X}) + \log(p(\theta))$ $L(\theta;{\bf X})$

অতএব, সরাসরি আপনার প্রশ্নের উত্তর দিতে - পূর্বের বন্টন কম-বেশি প্রাসঙ্গিক হয়ে ওঠে কারণ এটি সম্ভাবনার দ্বারা বেড়ে যায়। সুতরাং, একটি ছোট নমুনা আকারের জন্য, পূর্ববর্তী বিতরণ অনেক বড় ভূমিকা পালন করে। এটি যেহেতু স্বজ্ঞাততার সাথে একমত, আপনি প্রত্যাশা করতেন যে পূর্বের স্পেসিফিকেশনগুলি আরও বড় ভূমিকা নেবে যখন তাদের অস্বীকার করার জন্য খুব বেশি ডেটা পাওয়া যায় না, যদি নমুনার আকারটি খুব বড় হয় তবে ডেটাতে উপস্থিত সংকেত যে কোনও অগ্রাধিকারকে ছাড়িয়ে যাবে বিশ্বাস মডেল মধ্যে রাখা হয়েছিল।

— ম্যাক্রো
সূত্র

6

+1 নোট করুন যে

উপরও নির্ভর করে ।

c

$c$

n

$n$

20

$p$ ${\rm Binomial}(n,p)$ $n$ $x=n/2$ $n$ $1/2$

$n=2$ $n=50$ সেখানে কার্যত কোন পার্থক্য নেই।

${\rm Beta(1/2,1/2)}$ (কালো এবং ${\rm Beta(2,2)}$ (লাল)। পোস্টারিয়রগুলির প্রিয়ারগুলির মতো একই রঙ রয়েছে যা তারা উত্পন্ন।

Posterior distributions

(নোট করুন যে অন্যান্য অনেক মডেল এবং অন্যান্য প্রিরিয়ারদের জন্য, $n=50$ পূর্বেরগুলিকে গুরুত্ব না দেওয়ার পক্ষে যথেষ্ট হবে না!)

— MånsT
সূত্র

4

খুব সুন্দর চিত্র, @ মন্টটি। আমি আপনার উত্তরে 'বিটা' এবং 'বিনোমিয়াল' শব্দটি ডি-ইটালিকাইজড করেছি - আশা করি আপনি আপত্তি করবেন না।

— ম্যাক্রো

অবশ্যই না, @ ম্যাক্রো! আমি সম্মত হই যে এটি এইভাবে আরও ভাল দেখায়।

— MånsT