জেমস-স্টেইন অনুমানকারীকে কেন "সঙ্কুচিত" অনুমানক বলা হয়?

Question

আমি জেমস-স্টেইন অনুমানকারী সম্পর্কে পড়ছি। এটি হিসাবে এই নোটগুলিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে

$$\hat{\theta}=\left(1 - \frac{p-2}{\|X\|^2}\right)X$$

আমি প্রমাণটি পড়েছি তবে নীচের বিবৃতিটি আমি বুঝতে পারি না:

জ্যামিতিকভাবে, জেমস – স্টেইন অনুমানক X এর প্রতিটি উপাদানকে $X$উত্সের দিকে সঙ্কুচিত করে ...

" X এর প্রতিটি উপাদানকে $X$উত্সের দিকে সঙ্কুচিত করে " এর অর্থ কী? আমি \ | \ টুপি \ ta থিতা} - 0 \ | ^ 2 <\ | এক্স - 0 \ | ^ 2 এর মতো কিছু নিয়ে ভাবছিলাম ,

$$\|\hat{\theta} - 0\|^2 < \|X - 0\|^2,$$ যা এই ক্ষেত্রে যতক্ষণ সত্য $(p+2) < \|X\|^2$ , যেহেতু $$\|\hat{\theta}\| = \frac{\|X\|^2 - (p+2)}{\|X\|^2} \|X\|.$$

লোকেরা যখন "শূন্যের দিকে সঙ্কুচিত" হয় তখন লোকেদের কি বোঝানো হয় কারণ $L^2$ আদর্শ অর্থে, জেএস অনুমানকটি এক্স এর চেয়ে শূন্যের কাছাকাছি $X$?

22/09/2017 অনুসারে আপডেট করুন : আজ আমি বুঝতে পেরেছি যে আমি সম্ভবত অতিরিক্ত জটিলতা বোধ করছি। দেখে মনে হচ্ছে লোকেরা সত্যিই বোঝায় যে একবার আপনি $X$ চেয়ে 1 এর চেয়ে ছোট কোনওটির দ্বারা $1$গুণন করেন,, $\frac{\|X\|^2 - (p + 2)}{\|X\|^2}$ , এক্স এর প্রতিটি উপাদান $X$পূর্বের চেয়ে কম হবে।

Answer 1

একটি ছবি কখনও কখনও হাজার শব্দের মূল্যবান হয়, তাই আমাকে আপনার সাথে একটি ভাগ করে নেওয়া যাক। নীচে আপনি পরিসংখ্যানগুলিতে ব্র্যাডলি এফ্রনের (1977) পেপার স্টেইনের প্যারাডক্স থেকে আসা একটি চিত্র দেখতে পাচ্ছেন । আপনি দেখতে পাচ্ছেন, স্টেইনের অনুমানকারী যা করে তা প্রতিটি মানকে গ্রেড গড়ের কাছাকাছি নিয়ে যায়। এটি গ্র্যান্ড গড়ের চেয়ে ছোট মানগুলিকে আরও বড় করে তোলে এবং গ্র্যান্ড গড়ের চেয়ে মান আরও ছোট করে তোলে। সঙ্কুচিত হওয়ার অর্থ আমরা মানগুলিকে গড়ের দিকে বা কিছু ক্ষেত্রে শূন্যের দিকে এগিয়ে যাওয়া - যেমন নিয়মিত রেজিস্ট্রেশন - যা প্যারামিটারগুলি শূন্যের দিকে সঙ্কুচিত করে।

অবশ্যই, এটি কেবল নিজেকে সঙ্কুচিত করার বিষয়ে নয়, তবে স্টেইন (1956) এবং জেমস এবং স্টেইন (1961) যা প্রমাণ করেছেন, তা হল স্টেইনের অনুমানকারী মোট স্কোয়ার ত্রুটির ক্ষেত্রে সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানকারীকে প্রাধান্য দেয়,

$$E_\mu(\| \boldsymbol{\hat\mu}^{JS} - \boldsymbol{\mu} \|^2) < E_\mu(\| \boldsymbol{\hat\mu}^{MLE} - \boldsymbol{\mu} \|^2)$$

যেখানে , স্টেইনের অনুমানকারী এবং , যেখানে উভয় অনুমানকারী নমুনায় অনুমান করা হয় । প্রমাণগুলি মূল কাগজপত্র এবং আপনি যে কাগজের উল্লেখ করেছেন তার পরিশিষ্ট দেওয়া আছে end সরল ইংরেজিতে, তারা যা দেখিয়েছে তা হ'ল আপনি যদি একই সাথে অনুমানগুলি করেন তবে মোট স্কোয়ার ত্রুটির ক্ষেত্রে আপনি আপনার প্রাথমিক অনুমানের সাথে লেগে থাকার তুলনায় এগুলি সঙ্কুচিত করে আরও ভাল করতে পারবেন।$\boldsymbol{\mu} = (\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_p)'$$\hat\mu^{JS}_i$$\hat\mu^{MLE}_i = x_i$$x_1,x_2,\dots,x_p$$p > 2$

অবশেষে, স্টেইনের অনুমানকারী অবশ্যই একমাত্র অনুমানকারী নয় যা সঙ্কুচিত প্রভাব দেয় gives অন্যান্য উদাহরণের জন্য, আপনি এই ব্লগ এন্ট্রি , বা জেলম্যান এট আল-এর রেফারেন্স করা বায়েশিয়ান ডেটা বিশ্লেষণ বইটি পরীক্ষা করতে পারেন । আপনি নিয়মিত আধিপত্য সম্পর্কে থ্রেডগুলিও পরীক্ষা করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ সঙ্কুচিত পদ্ধতিগুলি কোন সমস্যার সমাধান করে? , বা রিগ্রেশন জন্য নিয়মিতকরণ পদ্ধতি কখন ব্যবহার করবেন? , এই প্রভাব অন্যান্য ব্যবহারিক অ্যাপ্লিকেশন জন্য।

Comments

নিবন্ধটি সহায়ক মনে হয়েছে এবং আমি এটি পড়ব। আমি আমার চিন্তাভাবনাটি আরও ব্যাখ্যা করতে আমার প্রশ্ন আপডেট করেছি। আপনি কি একবার দেখে নিতে পারেন? ধন্যবাদ!

— 3x89g2

@ টিম আমি মনে করি মিসকভের যুক্তি বৈধ যে জেমস-স্টেইন অনুমানকারী এমএলইয়ের তুলনায় থিতার অনুমানকারীকে শূন্যের কাছাকাছি নিয়ে আসে । এই অনুমানকটিতে জিরো একটি কেন্দ্রীয় এবং কেন্দ্রিক ভূমিকা পালন করে এবং জেমস-স্টেইন অনুমানকারীগুলি তৈরি করা যেতে পারে যা অন্যান্য কেন্দ্রগুলি বা এমনকি উপ-স্থানগুলির দিকে সঙ্কুচিত হয় (যেমন জর্জ, 1986)। উদাহরণস্বরূপ, ইফ্রন এবং মরিস (1973) সাধারণ গড়ের দিকে সঙ্কুচিত হয়, যা তির্যক উপসর্গের সমান। $\theta$

— সিয়ান