একটি সমান পরিমাণ বিতরণের সাধারণ অনুমানের মধ্যে ত্রুটি

একটি সাধারণ বিতরণ প্রায় অনুমানের জন্য একটি সহজ পদ্ধতি হ'ল একসাথে যোগ করা আইআইডি র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি সমানভাবে বিতরণ করা হয় , তারপরে রিসেটার এবং পুনরুদ্ধার করা হয়, কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বটির উপর নির্ভর করে। ( পার্শ্ব দ্রষ্টব্য : বাক্স – মুলার ট্রান্সফর্মের মতো আরও সঠিক পদ্ধতি রয়েছে )) আইআইডি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলটি অভিন্ন সমষ্টি বিতরণ বা ইরভিন – হল বিতরণ হিসাবে পরিচিত । $100$ $[0,1]$ $U(0,1)$

একটি সাধারণ বিতরণ দ্বারা অভিন্ন অঙ্ক বিতরণ আনুমানিক মধ্যে ত্রুটি কত বড়?

যখনই এই ধরণের প্রশ্ন আইআইডি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের সমাপ্তির জন্য আসে, লোকেরা (আমাকে সহ) বেরি-এসিন উপপাদ্য উপস্থিত করে , যা তৃতীয় মুহূর্তটি উপস্থিত হয়ে কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বের কার্যকর সংস্করণ:

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{C ρ}{σ^{3} \sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{C \rho}{\sigma^3 \sqrt n}$

যেখানে হ'ল আইআইডি এলোমেলো ভেরিয়েবলের উদ্ধারফলের যোগফল বিতরণ ফাংশন , পরম তৃতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্ত, হ'ল মান বিচ্যুতি এবং একটি পরম ধ্রুবক যা বা এমনকি হিসাবে নেওয়া যেতে পারে । $F_n$ $n$ $\rho$ $E|(X-EX)^3|$ $\sigma$ $C$ $1$ $1/2$

এটি অসন্তুষ্টিজনক। আমার কাছে মনে হয় যে বেরি – এসিন প্রাক্কলনটি দ্বিপদী বিতরণগুলিতে তীব্রতর নিকটবর্তী, যা বিচ্ছিন্ন হয়, প্রতিসম দ্বি-দ্বি বিতরণের ক্ষেত্রে এ বৃহত্তম ত্রুটি রয়েছে $0$ । বৃহত্তম ত্রুটি বৃহত্তম লাফ এ আসে। তবে, অভিন্ন রাশি বিতরণের কোনও লাফ নেই।

সংখ্যার পরীক্ষাগুলি থেকে বোঝা যায় যে চেয়ে ত্রুটি আরও দ্রুত সঙ্কুচিত হয় $c/\sqrt n$ ।

$C=1/2$ 1/2 ব্যবহার করে বেরি – এসিনের অনুমানটি এফ_এন hi

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{32}}{\frac{1}{{\sqrt{12}}^{3}} \sqrt{n}} \approx \frac{0.650}{\sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{\frac12 \frac{1}{32}}{\frac{1}{\sqrt{12}^3} \sqrt n} \approx \frac{0.650}{\sqrt n}$

যা $n=10,20,40$ জন্য যথাক্রমে $0.205$ , $0.145$ এবং $0.103$ । এর প্রকৃত সর্বাধিক পার্থক্য যথাক্রমে $n=10, 20, 40$ প্রায় $0.00281$ , $0.00139$ এবং $0.000692$ হিসাবে দেখা যায় যা অনেক ছোট এবং $c/n$ পরিবর্তে হিসাবে পড়ে বলে মনে হয় । $c/\sqrt n$

— ডগলাস জারে
সূত্র

আপনি যদি এজওয়ার্থ প্রসারণে যোগফলের বন্টন প্রসারিত করেন তবে আপনি দেখতে পাবেন যে তে যেমন (যেহেতু অভিন্ন বন্টন প্রতিসম হয়), তাই অধিকার শোনাচ্ছে। কারণ শব্দ, যে আপনি একটি বাউন্ড যদিও দেয় না ...

F_{n} (x) = Φ (x) + n^{- 1} g (x) + o (n^{- 1})

$F_n(x)=\Phi(x)+n^{-1}g(x)+o(n^{-1})$

x

$x$

n \to \infty

$n\rightarrow\infty$

c / n

$c/n$

o (n^{- 1})

$o(n^{-1})$

— MånsT

ধন্যবাদ, দেখে মনে হচ্ছে এটি অন্যান্য অনেক বিতরণের জন্যও প্যাটার্নটি ব্যাখ্যা করে ।

c / n

$c/n$

— ডগলাস জারে

যাক হতে IID র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং বিবেচনা সাধারণ সমষ্টি এবং সম্পর্কিত আদর্শ যেখানে হল এর বিতরণ । $U_1, U_2,\dots$ $\mathcal U(-b,b)$

{এস}_{এন} = \frac{\sqrt{3} Σ_{আমি = 1}^{এন} {ইউ}_{আমি}}{খ \sqrt{এন}},

$S_n = \frac{\sqrt{3} \sum_{i=1}^n U_i}{b \sqrt{n}} \>,$

sup

$\sup$

δ_{এন} = \underset{এক্স \in আর}{অভিজ্ঞতার স্বাস পাত্তয়া} | {এফ}_{এন} (এক্স) - Φ (এক্স) |,

$\delta_n = \sup_{x\in\mathbb R} |F_n(x) - \Phi(x)| \>,$

F_{n}

$F_n$

S_{n}

$S_n$

লেমা 1 ( উসপেনস্কি ): নীচে bound ধারণ করা আবদ্ধ । $\delta_n$

δ_{এন} < \frac{1}{7.5 π এন} + + \frac{1}{π} {(\frac{2}{π})}^{এন} + + \frac{12}{π^{3} এন} মেপুঃ (- π^{2} এন / 24) ।

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} + \frac{1}{\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} \exp(-\pi^2 n / 24) \>.$

প্রুফ । জেভি ইউস্পেনস্কি (১৯৩37) দেখুন, গাণিতিক সম্ভাবনার পরিচিতি , নিউ ইয়র্ক: ম্যাকগ্রা-হিল, পি। 305।

এটি পরে আর শেরম্যান নীচে উন্নত করেছিলেন।

লেমা 2 ( শেরম্যান ): ইউপেনস্কির গণ্ডিতে নিম্নলিখিত উন্নতি।

δ_{n} < \frac{1}{7.5 π n} - (\frac{π}{180} + \frac{1}{7.5 π n}) e^{- π^{2} n / 24} + \frac{1}{(n + 1) π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} e^{- π^{2} n / 24} .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} - \left(\frac{\pi}{180}+\frac{1}{7.5\pi n}\right) e^{-\pi^2 n / 24} + \frac{1}{(n+1)\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} e^{-\pi^2 n / 24} \>.$

প্রুফ : দেখুন আর শের্মান, এন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এর সমষ্টি স্বাভাবিক পড়তা ত্রুটি , Biometrika , ভোল। 58, না। 2, 396–398।

প্রমাণ ত্রিভুজ বৈষম্য এবং এর শাস্ত্রীয় সীমার একটি প্রশংসনীয় সহজবোধ্য আবেদন স্বাভাবিক বিতরণের লেজ এবং এর দুই ডিস্ট্রিবিউশন প্রতিটি চরিত্রগত ফাংশন প্রয়োগ করা হয়েছে। $(\sin x) / x$

— মৌলিক
সূত্র

+1 লেমমা 2 এ ?

N = n

$N=n$

@ প্রিলিনেটর: ভাল ক্যাচ

— কার্ডিনাল

ধন্যবাদ! এই তথ্যসূত্রগুলি খুব সহায়ক। অনুমানগুলি আসল মূল্যের টির একটি ফ্যাক্টরের মধ্যে বলে মনে হয়।

2

$2$

— ডগলাস জারে