প্রতি 10 এবং 15 মিনিটে চালিত দুটি বাসের মধ্যে প্রথমটির জন্য অপেক্ষা করার প্রত্যাশিত মান

19

আমি একটি সাক্ষাত্কার প্রশ্ন জুড়ে এসেছিলেন:

একটি লাল ট্রেন রয়েছে যা প্রতি 10 মিনিটে আসে। প্রতি 15 মিনিটে একটি নীল ট্রেন আসছে। উভয়ই এলোমেলো সময় থেকে শুরু হয় যাতে আপনার কোনও শিডিয়ুল না থাকে। আপনি যদি এলোমেলো সময়ে স্টেশনে পৌঁছে যান এবং প্রথম যে কোনও ট্রেনে যান তবে প্রত্যাশার অপেক্ষার সময়টি কী?

probability random-variable expected-value

— শেঞ্জজি জাং
সূত্র

3

ট্রেনগুলি কি সময়মতো আগমন করে তবে অজানা সমানভাবে বিতরণকৃত পর্যায়গুলি সহ, বা তারা 10 মিনিট এবং 15 মিনিটের মাধ্যম দিয়ে একটি পোয়েসন প্রক্রিয়া অনুসরণ করে।

— টাইলফিশ পোওল

1

পূর্বেরটি, পোয়েসন নয়।

— শেঞ্জজি ঝাং

7

@ টাইলফিশ একটি গুরুত্বপূর্ণ মন্তব্য করেছেন যার প্রতি সবার মনোযোগ দেওয়া উচিত। এর কোন নির্দিষ্ট উত্তর নেই। আপনাকে ধরে নিতে হবে "এলোমেলো সময় থেকে শুরু" এর অর্থ কী। (এর অর্থ কি তারা একযোগে শুরু হয় বা তারা বিভিন্ন অজানা সময়ে শুরু করে? কোন নির্দিষ্ট অজানা বিতরণের সাথে এলোমেলো ভেরিয়েবল হিসাবে "অজানা" আচরণ করা কী ন্যায়সঙ্গত হবে?) তাদের পর্বের পার্থক্যের একটি কার্য হিসাবে (যা কেবলমাত্র 5 মিনিটের জন্য মডিউলটি গুরুত্বপূর্ণ), উত্তর থেকে বিভিন্ন রকমের হতে পারে

15 / 4

$15/4$ থেকে

25 / 6

$25/6$ । ফেজ পার্থক্য একটি অভিন্ন বন্টন উত্পাদ হবে

35 / 9

$35/9$ ।

— হোবার

@ যেহেতু প্রত্যেকেই ওপি-র মন্তব্যে ব্যাখ্যার মতো মনে হয়েছিল যেন দুটি বাস এলোমেলো সময়ে শুরু হয়েছিল started তারা একই এলোমেলো সময়ে শুরু করবে এমন একটি অস্বাভাবিক সময় লাগে

— আকসাকাল

1

@Aksakal। প্রত্যেকে নয়: আমি করি না এবং এই থ্রেডের কমপক্ষে একটি উত্তর দেয় না - এজন্য আমরা বিভিন্ন সংখ্যার উত্তর দেখছি। তদুপরি, প্রায় কেউই এই সত্যটি স্বীকার করে না যে উত্তর পাওয়ার জন্য তাদের প্রশ্নের এমন কিছু ব্যাখ্যা করতে হয়েছিল।

— হোবার

15

সমস্যার কাছে যাওয়ার একটি উপায় বেঁচে থাকার কাজটি শুরু করা। কমপক্ষে মিনিট অপেক্ষা করতে হলে আপনাকে লাল এবং নীল ট্রেন উভয়ের জন্য কমপক্ষে মিনিট অপেক্ষা করতে হবে । সুতরাং সামগ্রিক বেঁচে থাকার কাজটি কেবল পৃথক বেঁচে থাকার কার্যকারিতা: $t$ $t$

এস (টি) = (1 - \frac{টি}{10}) (1 - \frac{টি}{15})

$S(t) = \left( 1 - \frac{t}{10} \right) \left(1-\frac{t}{15} \right)$

যা , সম্ভবত পরবর্তী ট্রেনের জন্য আপনাকে কমপক্ষে মিনিট অপেক্ষা করতে হবে এটি একটি মন্তব্যে ওপির স্পষ্টতা বিবেচনায় নিয়েছে যে সঠিক অনুমানের গ্রহণযোগ্যতা হ'ল প্রতিটি ট্রেন অপরটির থেকে আলাদা এবং ট্রাভেলারের আগমনের সময় নির্ধারিত সময়সূচিতে থাকে এবং দুটি ট্রেনের পর্যায়ক্রমগুলি সমানভাবে বিতরণ করা হয় , $0 \le t \le 10$ $t$

তারপরে পিডিএফ হিসাবে প্রাপ্ত হয়

পি (টি) = (1 - এস (টি))^{'} = \frac{1}{10} (1 - \frac{টি}{15}) + + \frac{1}{15} (1 - \frac{টি}{10})

$p(t) = (1-S(t))' = \frac{1}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{1}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right)$

এবং প্রত্যাশিত মানটি স্বাভাবিক উপায়ে প্রাপ্ত হয়:

, $E[t] = \int_0^{10} t p(t) dt = \int_0^{10} \frac{t}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{t}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right) dt = \int_0^{10} \left( \frac{t}{6} - \frac{t^2}{75} \right) dt$

যা কাজ করে মিনিট। $\frac{35}{9}$

— ডেভ
সূত্র

ডেভ, আপনি কীভাবে p (t) = (1- s (t)) 'ব্যাখ্যা করতে পারবেন?

— শেফ 1075

আমি ব্যাখ্যা করতে পারি যে আপনার জন্য এস (টি) = 1-এফ (টি), পি (টি) কেবলমাত্র চ (টি) = এফ (টি) '।

— গভীর উত্তর

4

বেঁচে থাকার ফাংশন ধারণাটি দুর্দান্ত। যখন আপনি প্রত্যাশাটি পেতে সরাসরি বেঁচে থাকার কাজটি সংহত করতে পারেন তখন কেন পিডিএফটি ডাইভ করবেন? বাস্তবে, এই উত্তরের দুই-তৃতীয়াংশ কেবল একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যকে প্রদর্শিত করে। এবং

প্রাপ্ত করার জন্য পণ্যটি কী ন্যায়সঙ্গত করে ? এর পিছনে একটি গোপন অনুমান রয়েছে।

S

$S$

— whuber

2

@ তবে আমি বেঁচে থাকার ফাংশন থেকে পিডিএফ উত্পন্ন এই পদ্ধতির পছন্দ করি, কারণ এটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডোমেন 0 থেকে শুরু না হওয়া ক্ষেত্রে সঠিকভাবে পরিচালনা করে

— ডেভ

2

(1) আপনার ডোমেনটি ইতিবাচক। (২) সূত্রটি সহজেই সাধারণীকরণ করা হয়। ।

— হুঁশিয়ারি

9

উত্তরটি parantheses ভিতরে অংশে পান: সুতরাং, অংশটি হ'ল:

E [t] = \int_{x} \int_{y} min (x, y) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x d y = \int_{x} (\int_{y < x} y d y + \int_{y > x} x d y) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x

$E[t]=\int_x\int_y \min(x,y)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx dy=\int_x\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx$

\int_{y < x} y d y = y^{2} / 2 |_{0}^{x} = x^{2} / 2

$\int_{y<x}ydy=y^2/2|_0^x=x^2/2$

\int_{y > x} x d y = x y |_{x}^{15} = 15 x - x^{2}

$\int_{y>x}xdy=xy|_x^{15}=15x-x^2$

অবশেষে,

(.) = (\int_{y < x} y d y + \int_{y > x} x d y) = 15 x - x^{2} / 2

$(.)=\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)=15x-x^2/2$

E [t] = \int_{x} (15 x - x^{2} / 2) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x = (15 x^{2} / 2 - x^{3} / 6) |_{0}^{10} \frac{1}{10} \frac{1}{15} = (1500 / 2 - 1000 / 6) \frac{1}{10} \frac{1}{15} = 5 - 10 / 9 \approx 3.89

$E[t]=\int_x (15x-x^2/2)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx= (15x^2/2-x^3/6)|_0^{10}\frac 1 {10} \frac 1 {15}\\= (1500/2-1000/6)\frac 1 {10} \frac 1 {15}=5-10/9\approx 3.89$

অনুকরণের জন্য এখানে ম্যাটল্যাব কোডটি রয়েছে:

nsim = 10000000;
red= rand(nsim,1)*10;
blue= rand(nsim,1)*15;
nextbus = min([red,blue],[],2);
mean(nextbus)

— Aksakal
সূত্র

1

আপনি ট্রেনের প্রারম্ভিক পয়েন্ট সম্পর্কে ভুল অনুমান করছেন। অর্থাত্ আপনার যুক্তিটি ব্যবহার করে, প্রতি 2 ঘন্টা কতগুলি লাল এবং নীল ট্রেন আসে? ২ ঘন্টা ধরে মোট কতগুলি ট্রেন রয়েছে? ইত্যাদি

— টাইলফিশ পোওল

1

ট্রেনগুলি কি 0 মিনিট এবং 60 মিনিটে আসতে পারে না?

— টাইলফিশ পোওল

1

তারা যদি একই সাথে শুরু করে তবে আমি কী বলার চেষ্টা করছি তা সম্পর্কে। যদি তারা উভয়ই মিনিটে শুরু করে 0. তবে আপনার ট্রেনের আগমনের কতগুলি উদাহরণ রয়েছে?

— টাইলফিশ পোওল

1

সিমুলেশন সমস্যা বিবৃতি হুবহু অনুকরণ করে না। বিশেষত, এটি "এলোমেলো সময়" মডেল করে না যেখানে আপনি বাস স্টেশনে উপস্থিত হন। এর ফলে এটি সমস্যা সম্পর্কে বেশ কয়েকটি স্টেস্ট অনুমানগুলি প্রকাশ করে।

— whuber

2

@ যেহেতু এটি স্টেশনে আমার আগমনের তুলনায় বাসের ধাপটি অনুকরণ করে

— আকসাকাল ২

4

Assuming each train is on a fixed timetable independent of the other and of the traveller's arrival time, the probability neither train arrives in the first $x$ মিনিট হয় $\frac{10-x}{10} \times \frac{15-x}{15}$ জন্য $0 \le x \le 10$ , যা সংহত যখন দেয় $\frac{35}9\approx 3.889$ মিনিট

বিকল্পভাবে, ধরে নেওয়া হচ্ছে যে প্রতিটি ট্রেন একটি পয়সন প্রক্রিয়ার অংশ, যৌথ হার $\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{6}$ trains a minute, making the expected waiting time $6$ minutes

— Henry
সূত্র

3

@Dave it's fine if the support is nonnegative real numbers.

— নীল জি

3

@ ডেভ তিনি কিছু ন্যায্যতা নিখোঁজ রয়েছেন, তবে যতক্ষণ না আপনি ধরে নেন ট্রেনগুলি সমানভাবে বিতরণ করা হয়েছে (অর্থাত্ আন্তঃ-ট্রেনের জ্ঞাত স্থির একটি নির্দিষ্ট সময়সূচী, তবে অজানা অফসেট) it's এটি যে কোনও সংখ্যক ট্রেনের সাথে কাজ করে। এটি হ'ল কারণ ননজেগিটিভ এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মান হ'ল তার বেঁচে থাকার ক্রিয়াটির অবিচ্ছেদ্য।

— নীল জি

1

@Dave with one train on a fixed

10

$10$ minute timetable independent of the traveller's arrival, you integrate

\frac{10 - x}{10}

$\frac{10-x}{10}$ over

0 \leq x \leq 10

$0 \le x \le 10$ to get an expected wait of

5

$5$ minutes, while with a Poisson process with rate

λ = \frac{1}{10}

$\lambda=\frac1{10}$ you integrate

e^{- λ x}

$e^{-\lambda x}$ over

0 \leq x < \infty

$0 \le x \lt \infty$ to get an expected wait of

\frac{1}{λ} = 10

$\frac1\lambda=10$ minutes

— Henry

1

@NeilG TIL that "the expected value of a non-negative random variable is the integral of the survival function", sort of -- there is some trickiness in that the domain of the random variable needs to start at

0

$0$ , and if it doesn't intrinsically start at zero(e.g. for a different problem where the inter-arrival times were, say, uniformly distributed between 5 and 10 minutes) you actually have to use a lower bound of 0 when integrating the survival function. (starting at 0 is required in order to get the boundary term to cancel after doing integration by parts)

— Dave

3

+1 At this moment, this is the unique answer that is explicit about its assumptions. All the others make some critical assumptions without acknowledging them.

— whuber

2

I am probably wrong but assuming that each train's starting-time follows a uniform distribution, I would say that when arriving at the station at a random time the expected waiting time for:

the $R$ ed train is $\mathbb{E}[R] = 5$ mins
the $B$ lue train is $\mathbb{E}[B] = 7.5$ mins
the train that comes the first is $\mathbb{E}[\min(R,B)] =\frac{15}{10}(\mathbb{E}[B]-\mathbb{E}[R]) = \frac{15}{4} = 3.75$ mins

As pointed out in comments, I understood "Both of them start from a random time" as "the two trains start at the same random time". Which is a very limiting assumption.

— keepAlive
সূত্র

1

Thanks! Your got the correct answer. But 3. is still not obvious for me. Could you explain a bit more?

— Shengjie Zhang

1

This is not the right answer

— Aksakal

1

I think the approach is fine, but your third step doesn't make sense.

— Neil G

2

This answer assumes that at some point, the red and blue trains arrive simultaneously: that is, they are in phase. Other answers make a different assumption about the phase.

— whuber

2

Suppose that red and blue trains arrive on time according to schedule, with the red schedule beginning $\Delta$ minutes after the blue schedule, for some $0\le\Delta<10$ . For definiteness suppose the first blue train arrives at time $t=0$ .

Assume for now that $\Delta$ lies between $0$ and $5$ minutes. Between $t=0$ and $t=30$ minutes we'll see the following trains and interarrival times: blue train, $\Delta$ , red train, $10$ , red train, $5-\Delta$ , blue train, $\Delta + 5$ , red train, $10-\Delta$ , blue train. Then the schedule repeats, starting with that last blue train.

If $W_\Delta(t)$ denotes the waiting time for a passenger arriving at the station at time $t$ , then the plot of $W_\Delta(t)$ versus $t$ is piecewise linear, with each line segment decaying to zero with slope $-1$ . So the average wait time is the area from $0$ to $30$ of an array of triangles, divided by $30$ . This gives

\begin{aligned} {\bar{W}}_{Δ} & := \frac{1}{30} (\frac{1}{2} [Δ^{2} + 10^{2} + (5 - Δ)^{2} + (Δ + 5)^{2} + (10 - Δ)^{2}]) \\ = \frac{1}{30} (2 Δ^{2} - 10 Δ + 125) . \end{aligned}

$\begin{align}\bar W_\Delta &:= \frac1{30}\left(\frac12[\Delta^2+10^2+(5-\Delta)^2+(\Delta+5)^2+(10-\Delta)^2]\right)\\&=\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125). \end{align}$ Notice that in the above development there is a red train arriving

Δ + 5

$\Delta+5$ minutes after a blue train. Since the schedule repeats every 30 minutes, conclude

{\bar{W}}_{Δ} = {\bar{W}}_{Δ + 5}

$\bar W_\Delta=\bar W_{\Delta+5}$ , and it suffices to consider

0 \leq Δ < 5

$0\le\Delta<5$ .

If $\Delta$ is not constant, but instead a uniformly distributed random variable, we obtain an average average waiting time of

\frac{1}{5} \int_{Δ = 0}^{5} \frac{1}{30} (2 Δ^{2} - 10 Δ + 125) d Δ = \frac{35}{9} .

$\frac15\int_{\Delta=0}^5\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125)\,d\Delta=\frac{35}9.$

— grand_chat
সূত্র

2

This is a Poisson process. The red train arrives according to a Poisson distribution wIth rate parameter 6/hour.
The blue train also arrives according to a Poisson distribution with rate 4/hour. Red train arrivals and blue train arrivals are independent. Total number of train arrivals Is also Poisson with rate 10/hour. Since the sum of The time between train arrivals is exponential with mean 6 minutes. Since the exponential mean is the reciprocal of the Poisson rate parameter. Since the exponential distribution is memoryless, your expected wait time is 6 minutes.

— Alison
সূত্র

The Poisson is an assumption that was not specified by the OP. But some assumption like this is necessary. The logic is impeccable. +1 I like this solution.

— Michael R. Chernick

1

OP said specifically in comments that the process is not Poisson

— Aksakal