showing দেখাচ্ছে উদাহরণ উদাহরণ

সম্ভাব্য বন্টনের একটি উদাহরণ কীভাবে তৈরি করবেন যার জন্য ধরে, ধরে ? $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}$ $\mathbb{P}(X\ne0)=1$

ইতিবাচক-মূল্যবান আরভি এর জন্য জেনসেনের অসমতার পরে যে বৈষম্যটি আসে তা হ'ল ( হলে বিপরীত বৈষম্য )। কারণ ম্যাপিং জন্য উত্তল এবং জন্য অবতল । জেনসেনের অসমতার সাম্যতার শর্ত অনুসরণ করে, আমি অনুমান করি যে প্রয়োজনীয় সাম্যটি ধরে রাখতে বিতরণটি অধঃপতন হতে হবে। একটি তুচ্ছ ঘটনা যেখানে সমতাটি ধারণ করে অবশ্যই ae এখানে একটি সমস্যা বইতে পাওয়া একটি উদাহরণ রয়েছে: একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিবেচনা করুন যা $X$ $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)\ge\frac{1}{\mathbb{E}(X)}$ $X<0$ $x\mapsto\frac{1}{x}$ $x>0$ $x<0$ $X=1$ $X$ $\mathbb{P}(X=-1)=\frac{1}{9}, \mathbb{P}(X=\frac{1}{2})=\mathbb{P}(X=2)=\frac{4}{9}$ । এরপরে এটি সহজেই যাচাই করা যায় যে । $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}=1$

এই উদাহরণটি দেখায় যে শিরোনামের সমতার জন্য ধনাত্মক (বা নেতিবাচক) হতে হবে না। এখানে বিতরণ হয় না হ্রাস। $X$

আমি কীভাবে উদাহরণটি তৈরি করব, সম্ভবত বইটিতে যা পেয়েছি তার মতো? কোন প্রেরণা আছে?

— StubbornAtom
সূত্র

আপনার উদাহরণটি এমন কোনও র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য ধারণ করে যা একটি অ-শূন্য ধ্রুবক। এছাড়াও আপনার দ্বিতীয় উদাহরণটি হ্রাসজনক নয়।

— মাইকেল আর চেরনিক

এই অসমতার বিষয়টি জেনসেনের বৈষম্য থেকে অনুসরণ করে না এবং আরও ধরে না নিই যে অবশ্যই ইতিবাচক।

X

$X$

— হোবার

@ মিশেল চের্নিক আমি এই কথাটি বোঝাতে চাইনি যে এই উদাহরণটির অধঃপতন হয়েছে।

— জেদীআটম

আমি আপনার বক্তব্যটি উল্লেখ করছিলাম "জেনসেনের অসমতার সাম্যতার শর্ত অনুসরণ করে, আমি অনুমান করি যে প্রয়োজনীয় সাম্যতা ধরে রাখার জন্য বিতরণটি হ্রাস করতে হবে।" তবুও আপনি একটি অচিহ্নিত উদাহরণ দেখিয়েছেন।

— মাইকেল আর চেরনিক

@ যে আমি শিরোনামের মধ্যে সাম্যতা যেখানে সত্য সেখানে একটি উদাহরণ সন্ধান করতে আমি কেবল জানতে চাই।

— জেদীআটম

উত্তর:

আসুন এলোমেলো ভেরিয়েবল এর সমস্ত সম্ভাব্য উদাহরণ রচনা করি যার জন্য । তারপরে, তাদের মধ্যে, আমরা সম্ভাব্যতম সহজ উদাহরণটি পেতে কিছু উপাত্ত অনুসরণ করতে পারি । এই হিউরিস্টিক্সগুলি প্রাথমিকভাবে বিশ্লেষণের বাইরে চলে যাওয়া সমস্ত অভিব্যক্তিকে সহজতম মান প্রদান করে। এটি পাঠ্যপুস্তকের উদাহরণ হিসাবে প্রমাণিত। $X$ $E[X]E[1/X]=1$

প্রাথমিক বিশ্লেষণ

সংজ্ঞাগুলির উপর ভিত্তি করে এর জন্য বিশ্লেষণের কিছুটা প্রয়োজন। সমাধানটি কেবলমাত্র দ্বিতীয় স্বার্থের: মূল উদ্দেশ্যটি অন্তর্দৃষ্টিগুলি বিকাশ করা আমাদের ফলাফলকে স্বজ্ঞাতভাবে বুঝতে সাহায্য করার জন্য।

প্রথমে লক্ষ্য করুন যে জেনসেনের বৈষম্য (বা কাচি-শোয়ার্জ অসাম্য) ইঙ্গিত দেয় যে ইতিবাচক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল , সমতা হোল্ড থাকলে এবং কেবল যদি "অবক্ষয়" হয়: হয়, প্রায় অবশ্যই ধ্রুবক। যখন নেতিবাচক এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয়, ইতিবাচক হয় এবং পূর্ববর্তী ফলাফলটি অসমতার চিহ্নটিকে বিপরীত করে ধরে holds ফলস্বরূপ, কোনও উদাহরণের অবশ্যই ইতিবাচক হওয়ার .ণাত্মক সম্ভাবনা থাকতে হবে এবং ইতিবাচক হওয়ার সম্ভাবনা থাকতে পারে ability $X$ $E[X]E[1/X] \ge 1$ $X$ $X$ $X$ $-X$ $E[1/X]=1/E[X]$

এখানে অন্তর্দৃষ্টিটি হ'ল সাথে যে কোনও অবশ্যই তার নেতিবাচক অংশ থেকে অন্য দিকের বৈষম্যের বিরুদ্ধে তার ইতিবাচক অংশ থেকে অসামতাটিকে "ভারসাম্য" বজায় রাখতে হবে। আমরা পাশাপাশি যেতে পারলে এটি আরও স্পষ্ট হয়ে উঠবে। $X$ $E[X]E[1/X]=1$

যে কোনও ননজারো র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিবেচনা করুন । প্রত্যাশা একটি সংজ্ঞা প্রণয়ন (অন্তত এই পরিমাপ তত্ত্ব ব্যবহার পূর্ণ সাধারণত্ব মধ্যে সম্পন্ন করা হয়) মধ্যে একটি প্রাথমিক পদক্ষেপ পচা হয় তার ইতিবাচক ও নেতিবাচক অংশ, উভয়ই ইতিবাচক র্যান্ডম ভেরিয়েবল মধ্যে: $X$ $X$

\begin{aligned} Y & = Positive part (X) = max (0, X); \\ Z & = Negative part (X) = - min (0, X) . \end{aligned}

$\eqalign{ Y &= \operatorname{Positive part}(X) = \max(0, X);\\ Z &= \operatorname{Negative part}(X) = -\min(0, X). }$

এর দিন হিসেবে মিশ্রণ এর ওজনের এবং ওজনের যেখানে অবশ্যই এটি আমাদেরকে ধনাত্মক পরিবর্তনশীল এবং এর প্রত্যাশার ক্ষেত্রে এবং প্রত্যাশা লিখতে সক্ষম করবে । $X$ $Y$ $p$ $-Z$ $1-p$

p = Pr (X > 0), 1 - p = Pr (X < 0) .

$p=\Pr(X\gt 0),\ 1-p = \Pr(X \lt 0).$

0 < p < 1.

$0 \lt p \lt 1.$ $X$ $1/X$ $Y$ $Z$

আসন্ন বীজগণিত একটু, নোট যে অবিশেষে rescaling প্রক্রিয়া সহজ করার জন্য একটি সংখ্যা দ্বারা পরিবর্তন করে না --but এটা আছে সংখ্যাবৃদ্ধি এবং দ্বারা প্রতিটি । ধনাত্মক ক্ষেত্রে এটি কেবলমাত্র এর পরিমাপের ইউনিটগুলি বেছে নেওয়ার মতো । একটি নেতিবাচক এবং এর ভূমিকা পরিবর্তন করে । চিহ্নটি যথাযথভাবে বেছে নেওয়া আমরা অতএব ধরে নিতে পারি $X$ $\sigma$ $E[X]E[1/X]$ $E[Y]$ $E[Z]$ $\sigma$ $\sigma$ $X$ $\sigma$ $Y$ $Z$ $\sigma$

\begin{matrix} (1) & E [Z] = 1 and E [Y] \geq E [Z] . \end{matrix}

$E[Z]=1\text{ and }E[Y] \ge E[Z].\tag{1}$

স্বরলিপি

এটি প্রাথমিক সরলকরণের জন্য। একটি সুন্দর স্বরলিপি তৈরি করতে, আসুন তাই লিখি

μ = E [Y]; ν = E [1 / Y]; λ = E [1 / Z]

$\mu = E[Y];\ \nu = E[1/Y];\ \lambda=E[1/Z]$

তিনটি প্রত্যাশার জন্য আমরা নিয়ন্ত্রণ করতে পারি না। তিনটি পরিমাণই ইতিবাচক। জেনসেনের অসমতা জোর দিয়েছিল

\begin{matrix} (2) & μ ν \geq 1 and λ \geq 1. \end{matrix}

$\mu\nu \ge 1\text{ and }\lambda \ge 1.\tag{2}$

মোট সম্ভাব্যতার আইনটি এবং প্রত্যাশা প্রকাশ করে আমরা যে পরিমাণ পরিমাণ নাম রেখেছি: $X$ $1/X$

E [X] = E [X ∣ X > 0] Pr (X > 0) + E [X ∣ X < 0] Pr (X < 0) = μ p - (1 - p) = (μ + 1) p - 1

$E[X] = E[X\mid X\gt 0]\Pr(X \gt 0) + E[X\mid X \lt 0]\Pr(X \lt 0) = \mu p - (1-p) = (\mu + 1)p - 1$

এবং যেহেতু হিসাবে একই চিহ্ন রয়েছে , $1/X$ $X$

E [\frac{1}{X}] = E [\frac{1}{X} ∣ X > 0] Pr (X > 0) + E [\frac{1}{X} ∣ X < 0] Pr (X < 0) = ν p - λ (1 - p) = (ν + λ) p - λ .

$E\left[\frac{1}{X}\right] = E\left[\frac{1}{X}\mid X\gt 0\right]\Pr(X \gt 0) + E\left[\frac{1}{X}\mid X \lt 0\right]\Pr(X \lt 0) = \nu p - \lambda(1-p) = (\nu + \lambda)p - \lambda.$

এই দুটি এক্সপ্রেশনটির পণ্যটিকে সাথে সমান করা ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে একটি অত্যাবশ্যক সম্পর্ক সরবরাহ করে: $1$

\begin{matrix} (*) & 1 = E [X] E [\frac{1}{X}] = ((μ + 1) p - 1) ((ν + λ) p - λ) . \end{matrix}

$1 = E[X]E\left[\frac{1}{X}\right] = ((\mu +1)p - 1)((\nu + \lambda)p - \lambda).\tag{*}$

সমস্যার সংস্কার

ধরুন - এবং অংশগুলি - যেকোন ধনাত্মক এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি (অধঃপতন করুন বা না) এটি এবং । দিয়ে আমরা কখন খুঁজে পাব , যার জন্য ধরে রেখেছে? $X$ $Y$ $Z$ $\mu, \nu,$ $\lambda$ $p$ $0 \lt p \lt 1$ $(*)$

এটি পরিষ্কারভাবে "ভারসাম্য" অন্তর্দৃষ্টিটি কেবল অস্পষ্টভাবে বলা হয়েছে: আমরা এবং স্থির রাখতে চলেছি এবং এমন একটি মান খুঁজে প্রত্যাশা করব যা তাদের আপেক্ষিক অবদানগুলিকে যথাযথভাবে ভারসাম্যযুক্ত করে । যদিও এই মুহূর্তে এটির স্পষ্টরূপে স্পষ্ট হয় না যে এরকম একটি প্রয়োজন আছে, যা পরিষ্কার তা হ'ল এটি কেবল , , , এবং মুহুর্তের উপর নির্ভর করে । এর ফলে সমস্যাটি তুলনামূলকভাবে সহজ বীজগণিত হিসাবে কমে গেছে - এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির সমস্ত বিশ্লেষণ সম্পন্ন হয়েছে। $Y$ $Z$ $p$ $X$ $p$ $E[Y]$ $E[1/Y]$ $E[Z]$ $E[1/Z]$

সমাধান

এই বীজগণিত সমস্যা সমাধান করা খুব কঠিন নয়, কারণ সবচেয়ে খারাপভাবে জন্য একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ এবং পরিচালিত বৈষম্য এবং তুলনামূলকভাবে সহজ। প্রকৃতপক্ষে, আমাদের এর শিকড়গুলির এবং বলে $(*)$ $p$ $(1)$ $(2)$ $(*)$ $p_1$ $p_2$

p_{1} p_{2} = (λ - 1) \frac{1}{(μ + 1) (ν + λ)} \geq 0

$p_1p_2 = (\lambda - 1)\frac{1}{(\mu+1)(\nu+\lambda)} \ge 0$

এবং যোগফল হয়

p_{1} + p_{2} = (2 λ + λ μ + ν) \frac{1}{(μ + 1) (ν + λ)} > 0.

$p_1 + p_2 = (2\lambda + \lambda \mu + \nu)\frac{1}{(\mu+1)(\nu+\lambda)} \gt 0.$

সুতরাং উভয় শিকড় অবশ্যই ইতিবাচক হতে হবে। তদতিরিক্ত, তাদের গড় এরও কম , কারণ $1$

1 - \frac{(p_{1} + p_{2})}{2} = \frac{λ μ + ν + 2 μ ν}{2 (μ + 1) (ν + λ)} > 0.

$1 - \frac{(p_1+p_2)}{2} = \frac{\lambda \mu + \nu + 2 \mu \nu}{2(\mu+1)(\nu+\lambda)} \gt 0.$

(কিছুটা বীজগণিত করে, দুটি শিকড়ের বৃহতটি এরও বেশি নয়, এটি দেখানো কঠিন নয় )) $1$

একটি উপপাদ্য

আমরা যা পেয়েছি তা এখানে:

প্রদত্ত কোন দুই ইতিবাচক র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং (যা অন্তত এক nondegenerate হয়), যার জন্য , , , এবং বিদ্যমান এবং সসীম হয়। তারপরে সাথে এক বা দুটি মান , যা জন্য ওজন এবং মিশ্রণের জন্য পরিবর্তনশীল নির্ধারণ করে যা জন্য ওজন এবং । সহ এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর প্রতিটি উদাহরণ এই ফর্মের। $Y$ $Z$ $E[Y]$ $E[1/Y]$ $E[Z]$ $E[1/Z]$ $p$ $0 \lt p \lt 1$ $X$ $p$ $Y$ $1-p$ $-Z$ $E[X]E[1/X]=1$ $X$ $E[X]E[1/X]=1$

এটি আমাদের সত্যিকারের উদাহরণগুলির একটি সমৃদ্ধ সেট দেয়!

সহজ সম্ভাব্য উদাহরণ নির্মাণ করা

সমস্ত উদাহরণ বৈশিষ্ট্যযুক্ত , আসুন যতটা সম্ভব সহজ একটি তৈরির জন্য এগিয়ে চলুন।

নেতিবাচক অংশ এর জন্য আসুন একটি ডিজেনরেটে ভেরিয়েবল চয়ন করি - এটি $Z$ খুব সহজ ধরণের র্যান্ডম ভেরিয়েবল। এটির মান , যেখানে তৈরি করা হবে তা স্কেল করা হবে । এর সমাধানটিতে অন্তর্ভুক্ত থাকে , এটি সহজে সমাধান করা লিনিয়ার সমীকরণে হ্রাস করে: একমাত্র ইতিবাচক মূলটি $1$ $\lambda=1$ $(*)$ $p_1=0$

$\begin{matrix} (3) & p = \frac{1}{1 + μ} + \frac{1}{1 + ν} . \end{matrix}$ $p = \frac{1}{1+\mu} + \frac{1}{1+\nu}.\tag{3}$
ধনাত্মক অংশ , অধঃপতিত হলে আমরা কার্যকর কিছু পাই না , সুতরাং আসুন মাত্র দুটি স্বতন্ত্র ইতিবাচক মানগুলিতে কিছুটা সম্ভাবনা দেই , । $Y$ $Y$ $a \lt b$ $\Pr(X=b)=q$ এক্ষেত্রে প্রত্যাশার সংজ্ঞা দেয়

$μ = E [Y] = (1 - q) a + q b; ν = E [1 / Y] = (1 - q) / a + q / b .$ $\mu = E[Y] = (1-q)a + qb;\ \nu = E[1/Y] = (1-q)/a + q/b.$
এটিকে আরও সরল করার জন্য, আসুন এবং অভিন্ন করে তুলুন: $Y$ $1/Y$ এই বাহিনীটি এবং জোর করে । এখন $q=1-q=1/2$ $a=1/b$

$μ = ν = \frac{b + 1 / b}{2} .$ $\mu = \nu = \frac{b + 1/b}{2}.$
সমাধান সহজ করে l $(3)$

$p = \frac{2}{1 + μ} = \frac{4}{2 + b + 1 / b} .$ $p = \frac{2}{1+\mu} = \frac{4}{2 + b + 1/b}.$
আমরা কীভাবে এটি সহজ সংখ্যায় জড়িত করতে পারি? যেহেতু এবং , অগত্যা । আসুন জন্য চেয়ে বড় সংখ্যাটি বেছে নিন ; যথা, । পূর্বোক্ত সূত্রটি এবং আমাদের সম্ভাব্যতম সহজ উদাহরণের জন্য প্রার্থী ফল দেয় $a\lt b$ $ab=1$ $b\gt 1$ $1$ $b$ $b=2$ $p = 4/(2+2+1/2) = 8/9$

$\begin{aligned} pr (এক্স = 2) = pr (এক্স = খ) = pr (ওয়াই = খ) পি = কুই পি = \frac{1}{2} \frac{8}{9} = \frac{4}{9}; \\ pr (এক্স = 1 / 2) = pr (এক্স = একটি) = pr (ওয়াই = একটি) পি = কুই পি = \dots = \frac{4}{9}; \\ pr (এক্স = - 1) = pr (জেড = 1) (1 - পি) = 1 - পি = \frac{1}{9} । \end{aligned}$ $\eqalign{ \Pr(X=2) = \Pr(X=b) = \Pr(Y=b)p = qp = \frac{1}{2}\frac{8}{9} = \frac{4}{9};\\ \Pr(X=1/2) = \Pr(X=a) = \Pr(Y=a)p = qp = \cdots = \frac{4}{9};\\ \Pr(X=-1) = \Pr(Z=1)(1-p) = 1-p = \frac{1}{9}. }$

এটি পাঠ্যপুস্তকে প্রদত্ত খুব উদাহরণ।

— whuber
সূত্র

চমৎকার উত্তর. আমার প্রাথমিক সংশয় সত্ত্বেও স্বতন্ত্র সমাধান সহ একটি উদাহরণ পাওয়া সহজ ।

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— পি.বাইন্ড্রিজে

যেমনটি আপনি উল্লেখ করেছেন, যদি ইতিবাচক হয় তবে তখনই ঘটে যখন প্রায় নিশ্চিতভাবে ধ্রুব থাকে। অন্যথায় আপনার নেতিবাচক এবং ধনাত্মক উভয় মান গ্রহণ করতে প্রয়োজন । $X$ $E(1/X)=1/E(X)$ $X$ $X$

যেমন একটি উদাহরণ তৈরি করতে, প্রথমে যথাসম্ভব সহজ যান। ধরুন যথাক্রমে এবং সহ দুটি মান, এবং গ্রহণ করে। তারপরে এবং আছে আমরা প্রয়োজন প্রয়োজন যা rearranges এর অর্থ একমাত্র সম্ভাব্য সমাধানটির অবশ্যই , বা , বা । সমস্ত ক্ষেত্রে আমরা অধ: পতনের ক্ষেত্রে ফিরে আসি: ধ্রুবক। $X$ $a$ $b$ $p$ $1-p$

ই (এক্স) = একটি পি + + খ (1 - পি)

$E(X)=ap+b(1-p)$

ই (1 / এক্স) = \frac{1}{একটি} পি + + \frac{1}{খ} (1 - পি) ।

$E(1/X)=\frac1ap+\frac1b(1-p).$

1 / E (X) = E (1 / X)

$1/E(X)=E(1/X)$

একটি পি + + খ (1 - পি) = \frac{1}{\frac{1}{একটি} পি + + \frac{1}{খ} (1 - পি)}

$ap+b(1-p)=\frac1{\frac1ap+\frac1b(1-p)}$

(একটি - খ)^{2} পি (1 - পি) = 0।

$(a-b)^2p(1-p)=0.$

a = b

$a=b$

p = 0

$p=0$

p = 1

$p=1$

X

$X$

পরবর্তী চেষ্টা: তিনটি সম্ভাব্য মান সহ একটি বিতরণ। এখানে আরও অনেক পছন্দ রয়েছে। আপনি যে উদাহরণটি উদ্ধৃত করেছেন এটি একটি চেষ্টা করে যে এর একই বিতরণ থাকে। তাহলে আমরা জানি তিন মান লাগে, এটা হতে হবে মূল্যবোধের ব্যক্তির হয় হয় বা , এবং অন্যান্য দুই হওয়া আবশ্যক এবং কিছু পছন্দ জন্য । নির্ধারিততার জন্য আসুন , এবং । তারপরে পূরণ করতে আমরা বা $X$ $1/X$ $X$ $1$ $-1$ $a$ $1/a$ $a$ $P(X=a)=P(X=1/a)=p$ $P(X=-1)=1-2p$

\begin{matrix} (1) & ই (1 / এক্স) = ই (এক্স) = (একটি + + \frac{1}{একটি}) পি - (1 - 2 পি) = (2 + + একটি + + \frac{1}{একটি}) পি - 1। \end{matrix}

$E(1/X)=E(X)=(a+\frac1a)p-(1-2p)=(2+a+\frac1a)p-1.\tag1$

1 / E (X) = E (1 / X)

$1/E(X)=E(1/X)$

E (X) = 1

$E(X)=1$

E (X) = - 1

$E(X)=-1$ । এক্সপ্রেশন (1) হয় না যদি না , যা আবার অধ: পতিত ক্ষেত্রে আমাদের ফেরৎ। সুতরাং জন্য লক্ষ্য করুন , যা 2 এক্সপ্রেশন (2) সমাধানের সম্পূর্ণ পরিবার দেয় যা প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে। একমাত্র সীমাবদ্ধতা হ'ল ইতিবাচক হওয়া আবশ্যক। আপনি যে উদাহরণটি উদ্ধৃত করেছেন তাতে লাগে । কেবলমাত্র কেস অবনমিত হয়।

- 1

$-1$

p = 0

$p=0$

E (X) = 1

$E(X)=1$

\begin{matrix} (2) & (2 + + একটি + + \frac{1}{একটি}) পি = 2 \Leftrightarrow পি = \frac{2}{2 + + একটি + + \frac{1}{একটি}} = \frac{2 একটি}{(একটি + + 1)^{2}} । \end{matrix}

$(2+a+\frac1a)p=2\quad\Leftrightarrow\quad p=\frac2{2+a+\frac1a}=\frac{2a}{(a+1)^2}.\tag2$

a

$a$

a = 2

$a=2$

a = 1

$a=1$

— grand_chat
সূত্র

আমি ধরে নিলাম আপনার প্রথম লাইনটি "যদি পজিটিভ হয় তবে কেবল তখনই ঘটে যখন প্রায় নিশ্চিতভাবে ধ্রুবক থাকে", প্রশ্নের মতো । এটি জেনসেনের অসমতার প্রমাণ থেকে সরে যায়, যেখানে আমরা এই বিষয়টিও ব্যবহার করি যে রৈখিক নয়।

X

$X$

E [1 / X] = 1 / E [X]

$\mathbb{E}[1/X]=1/\mathbb{E}[X]$

X

$X$

h (x) = 1 / x

$h(x) = 1/x$

— পি.বাইন্ড্রিজে

@ পি। উইন্ড্রিজ আপনি ঠিক বলেছেন! সংশোধন করা হয়েছে।

— গ্র্যান্ড_চ্যাট