ক্রিগিং সম্পর্কিত বিভ্রান্তি

9

আমি পড়া ছিল এই Wikipedia নিবন্ধটি kriging এর সাথে সম্পর্কিত। আমি যখন অংশটি বলি তখন বুঝতে পারি নি

Kriging পক্ষপাতিত্বহীন মূল্নির্ধারক রৈখিক সেরা নির্ণয়, , এর যেমন যে এর unbiasedness শর্ত ছোট করা ভ্যারিয়েন্স kriging। আমি ডেরাইভেশন পাইনি এবং কীভাবে বৈকল্পিকতা হ্রাস করা যায় তাও পাইনি। কোন পরামর্শ? $\hat Z (x_0)$ $Z(x_0)$

বিশেষত, আমি সেই অংশটি পাইনি যেখানে পক্ষপাতহীনতার শর্ত সাপেক্ষে ন্যূনতম করা যায়।

আমার মনে হয় এটা হওয়া উচিত ছিল

E [Z '(x0) -Z (x0)] এর পরিবর্তে E [Z' (x) -Z (x)] তাই না। 'উইকি নিবন্ধে টুপি সমান। এছাড়াও ক্রিগিং ত্রুটি কীভাবে উত্পন্ন হয় তা আমি পাইনি

interpolation

— user31820
সূত্র

কোথায় ডাইরাইভেশন আপনি ঝুলন্ত না?

— whuber

যে অংশটি এটি ক্রিগিং ত্রুটির গণনা করে এবং পক্ষপাতহীনতার শর্ত চাপিয়ে দেয়। এটা বলা ঠিক যে নিরপেক্ষ অবস্থার অর্থ অনুমানকারীটির প্রত্যাশা এবং সত্যটি সমান। আমি বিশদটি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য পোস্টটি সম্পাদনা করেছি।

— ব্যবহারকারী31820

আমি মনে করি আপনি সঠিক বলেছেন যে উইকিপিডিয়া এক্সপ্রেশনটি পড়া উচিত ।

E [Z^{'} (x_{0}) - Z (x_{0})]

$E[Z'(x_0)-Z(x_0)]$

— হোবার

13

অনুমান করা $\left(Z_0, Z_1, \ldots, Z_n\right)$ অচেনা গড়ের মাল্টিভারিয়েট বিতরণ বলে ধরে নেওয়া ভেক্টর $(\mu, \mu, \ldots, \mu)$ এবং পরিচিত ভেরিয়েন্স-কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স $\Sigma$ । আমরা পর্যবেক্ষণ $\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$ এই বিতরণ থেকে এবং ভবিষ্যদ্বাণী করতে চান $z_0$ নিরপেক্ষ লৈখিক ভবিষ্যদ্বাণী ব্যবহার করে এই তথ্য থেকে:

লিনিয়ার মানে ভবিষ্যদ্বাণীটি অবশ্যই ফর্মটি গ্রহণ করবে $\hat{z_0} = \lambda_1 z_1 + \lambda_2 z_2 + \cdots + \lambda_n z_n$ সহগের জন্য $\lambda_i$ সংকল্প থাকা. এই সহগগুলি অগ্রিম যা জানা যায় তার উপর নির্ভর করতে পারে: যথা, এর এন্ট্রিগুলি $\Sigma$ ।

এই ভবিষ্যদ্বাণীকারী এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে $\hat{Z_0} = \lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n$ ।

নিরপেক্ষ মানেই প্রত্যাশা $\hat{Z_0}$ এর (অজানা) গড়ের সমান $\mu$ ।

জিনিসগুলি বাইরে লেখার ফলে সহগের সম্পর্কে কিছু তথ্য পাওয়া যায়:

\begin{aligned} μ & = E [\hat{Z_{0}}] = E [λ_{1} Z_{1} + λ_{2} Z_{2} + \dots + λ_{n} Z_{n}] \\ = λ_{1} E [Z_{1}] + λ_{2} E [Z_{2}] + \dots + λ_{n} E [Z_{n}] \\ = λ_{1} μ + \dots + λ_{n} μ \\ = (λ_{1} + \dots + λ_{n}) μ . \end{aligned}

$\eqalign{ \mu &= E[\hat{Z_0}] = E[\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n] \\ &= \lambda_1 E[Z_1] + \lambda_2 E[Z_2] + \cdots + \lambda_n E[Z_n] \\ &= \lambda_1 \mu + \cdots + \lambda_n \mu \\ &= \left(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n\right) \mu. \\ }$

দ্বিতীয় লাইনটি প্রত্যাশা রৈখিকতার কারণে এবং বাকি সমস্তগুলি সরল বীজগণিত। কারণ এই পদ্ধতিটি মান নির্বিশেষে কাজ করার জন্য মনে করা হয় $\mu$ স্পষ্টতই সহগকে unityক্যের সমষ্টি করতে হবে। ভেক্টর নোটেশনে সহগ রচনাগুলি $\lambda = (\lambda_i)'$ , এটি পরিষ্কারভাবে লেখা যেতে পারে $\mathbf{1}\lambda=1$ ।

এই জাতীয় সমস্ত পক্ষপাতহীন লিনিয়ার ভবিষ্যদ্বাণীকারীদের সংস্থার মধ্যে আমরা এমন একটি সন্ধান করি যা আসল মান থেকে যতটা সম্ভব কম পরিমাণে বিচ্যুত হয়, রুমে মাপা বর্গ হিসাবে। এটি আবার একটি গণনা। এটি কোভেরিয়েন্সের দ্বৈততা এবং প্রতিসাম্যের উপর নির্ভর করে, যার প্রয়োগ দ্বিতীয় লাইনে সংক্ষিপ্তসার জন্য দায়ী:

\begin{aligned} E [(\hat{Z_{0}} - Z_{0})^{2}] & = E [(λ_{1} Z_{1} + λ_{2} Z_{2} + \dots + λ_{n} Z_{n} - Z_{0})^{2}] \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{i} λ_{j} var [Z_{i}, Z_{j}] - 2 \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} var [Z_{i}, Z_{0}] + var [Z_{0}, Z_{0}] \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{i} λ_{j} Σ_{i, j} - 2 \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} Σ_{0, i} + Σ_{0, 0} . \end{aligned}

$\eqalign{ E[(\hat{Z_0} - Z_0)^2] &= E[(\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n - Z_0)^2] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \text{var}[Z_i, Z_j]-2\sum_{i=1}^n\lambda_i \text{var}[Z_i, Z_0] + \text{var}[Z_0, Z_0] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \Sigma_{i,j} - 2\sum_{i=1}^n\lambda_i\Sigma_{0,i} + \Sigma_{0,0}. }$

কোথা থেকে কোয়ালিটিফিয়েন্টগুলি এই লম্বা ফর্মটি (লিনিয়ার) সীমাবদ্ধতার সাথে সীমাবদ্ধ করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে $\mathbf{1}\lambda=1$ । এটি ল্যাংরেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার্সের পদ্ধতিটি ব্যবহার করে সহজেই সমাধান করা হয় , "ক্রিগিং সমীকরণ" সমীকরণের একটি লিনিয়ার সিস্টেম উপস্থাপন করে।

আবেদনে, $Z$ একটি স্থানিক স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া ("এলোমেলো ক্ষেত্র")। এর অর্থ এই যে কোনও স্থির স্থির (এলোমেলো নয়) অবস্থানের জন্য $\mathbf{x_0}, \ldots, \mathbf{x_n}$ , এর মানগুলির ভেক্টর $Z$ এই জায়গাগুলিতে, $\left(Z(\mathbf{x_0}), \ldots, Z(\mathbf{x_n})\right)$ একধরণের মাল্টিভারিয়েট বিতরণ এলোমেলো। লিখন $Z_i = Z(\mathbf{x_i})$ এবং মোটামুটি প্রক্রিয়াটির মাধ্যম ধরে ধরে পূর্ববর্তী বিশ্লেষণ প্রয়োগ করুন $n+1$ অবস্থানগুলি $\mathbf{x_i}$ একই এবং এইগুলিতে প্রক্রিয়া মানের কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স ধরে নিচ্ছি $n+1$ অবস্থানগুলি নিশ্চিতভাবে জানা যায়।

এর ব্যাখ্যা করা যাক। অনুমানের অধীনে (ধ্রুবক গড় এবং জ্ঞাত সম্প্রদায়ের সহ) সহগগুলি কোনও লিনিয়ার অনুমানকারী দ্বারা প্রাপ্ত ন্যূনতম বৈকল্পিকতা নির্ধারণ করে। আসুন এই বৈকল্পিকতা কল $\sigma_{OK}^2$ ("ঠিক আছে" "সাধারণ ক্রিগিং" এর জন্য)। এটি সম্পূর্ণ ম্যাট্রিক্সের উপর নির্ভর করে $\Sigma$ । এটি আমাদের জানায় যে আমরা যদি বারবার থেকে নমুনা করি $\left(Z_0, \ldots, Z_n\right)$ এবং পূর্বাভাস দেওয়ার জন্য এই সহগ ব্যবহার করুন $z_0$ প্রতিটি সময় থেকে বাকি মানগুলি থেকে মানগুলি

গড়ে আমাদের ভবিষ্যদ্বাণীগুলি সঠিক হবে।
সাধারণত, আমাদের পূর্বাভাস $z_0$ সম্পর্কে বিচ্যুত হবে $\sigma_{OK}$ এর আসল মান থেকে $z_0$ ।

সময়োপযোগী তথ্য থেকে কোনও পৃষ্ঠ সম্পর্কে অনুমান করার মতো ব্যবহারিক পরিস্থিতিতে প্রয়োগ করার আগে আরও অনেক কিছু বলা দরকার: স্থানিক প্রক্রিয়াটির পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্যগুলি কীভাবে এক অবস্থান থেকে অন্য স্থানে এবং এক উপলব্ধি থেকে অন্য উপলব্ধিতে পরিবর্তিত হয় তা সম্পর্কে আমাদের অতিরিক্ত অনুমানের প্রয়োজন (যদিও তবুও , অনুশীলনে, সাধারণত কেবলমাত্র একটি উপলব্ধি পাওয়া যাবে)। তবে "বেস্ট" নিরপেক্ষ লিনিয়ার প্রেডিক্টর ("বিএলইউপি") এর অনুসন্ধান কীভাবে সরাসরি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমে নিয়ে যায় তা অনুসরণ করার জন্য এই প্রকাশটি যথেষ্ট হওয়া উচিত।

যাইহোক, সাধারণত অনুশীলন হিসাবে ক্রিগিং কমপক্ষে স্কোয়ারের প্রাক্কলন হিসাবে একরকম নয়, কারণ $\Sigma$ একই তথ্য ব্যবহার করে প্রাথমিক পদ্ধতিতে ("ভেরোগ্রাফি" নামে পরিচিত) অনুমান করা হয় । এটি এই অনুভূতির অনুমানের বিপরীত, যা ধরে নেওয়া হয়েছিল $\Sigma$ পরিচিত ছিল (এবং ডেটা থেকে একটি স্বতন্ত্র)। সুতরাং, একেবারে গোড়াতেই ক্রিগিংয়ের মধ্যে কিছু ধারণামূলক এবং পরিসংখ্যানগত ত্রুটি রয়েছে। চিন্তাশীল অনুশীলনকারীরা সর্বদা এটি সম্পর্কে সচেতন ছিলেন এবং অসঙ্গতিগুলি ন্যায্য করার (চেষ্টা করার) জন্য বিভিন্ন সৃজনশীল উপায় খুঁজে পেয়েছেন। ( প্রচুর ডেটা থাকা সত্যই সহায়তা করতে পারে)) একই সাথে অনুমানের জন্য এখন প্রক্রিয়াগুলি বিদ্যমান $\Sigma$ এবং অজানা স্থানে মান সংগ্রহের পূর্বাভাস। এই কীর্তিটি সম্পাদন করার জন্য তাদের কিছুটা শক্তিশালী অনুমানের (বহুভিত্তিক স্বাভাবিকতা) প্রয়োজন।

— whuber
সূত্র

সেখানকার একটি ওয়েবসাইট রয়েছে যেখানে তারা লোকেরা ক্রিগিংয়ের বিরুদ্ধে rantsণ দেয় এবং মনে হয় তার কিছু বৈধ পয়েন্ট রয়েছে। আমি মনে করি আপনার চূড়ান্ত অনুচ্ছেদটি এখানে খুব আলোকিত।

— ওয়েইন

@ ওয়েইন হ্যাঁ, আমি কী প্রতিক্রিয়া জানাচ্ছি তা বলতে পারেন। তবে ক্রিগিং পরামর্শদাতাদের দ্বারা "স্নেক অয়েল" হিসাবে ব্যবহৃত হয়েছে, তবে এটি একটি "মাঝারি পরিবর্তনের" তত্ত্ব সহ একটি মাধ্যমের ক্ষুদ্রতর নমুনা থেকে প্রাপ্ত তথ্যের তুলনায় অনেক বড় থেকে প্রাপ্ত তথ্যের সাথে তুলনা করার জন্য "সমর্থন পরিবর্তনের" তত্ত্ব সহ আরও অনেক কিছু যাচ্ছিল সেই মাধ্যমের অংশ। ক্রিগিং চূড়ান্তভাবে আজ সবচেয়ে পরিশীলিত স্পাটিও-টেম্পোরাল মডেলিংয়ের নীচে। বিকল্প প্রস্তাবগুলি মূল্যায়নেরও এটি একটি কার্যকর উপায়: উদাহরণস্বরূপ, অনেক স্থানিক ইন্টারপোলটারগুলি লিনিয়ার (বা লিনিয়ারাইজড করা যেতে পারে), সুতরাং ক্রিগিংয়ের সাথে তাদের অনুমানের বৈচিত্রটি তুলনা করা ন্যায়সঙ্গত।

— হোবার

1

ক্রিগিং স্থানীয় স্থানের ডেটাগুলির জন্য স্বল্প স্কোয়ারের অনুমান মাত্র। এর ফলে এটি একটি লিনিয়ার নিরপেক্ষ অনুমানক সরবরাহ করে যা স্কোয়ার ত্রুটির যোগফলকে হ্রাস করে। যেহেতু এটি নিরপেক্ষ এমএসই = আনুমানিকের বৈকল্পিক এবং এটি সর্বনিম্ন।

— মাইকেল আর চেরনিক
সূত্র

ক্রিগিং ত্রুটির গণনা করার অংশটি আমি পাইনি A এছাড়াও আমি ক্রিগিং বৈকল্পিকতা এবং বৈকল্পিকতা সম্পর্কে বিভ্রান্ত। পার্থক্য কী এবং তাদের তাত্পর্যটি কী

— ইউজার 31820

@whuber। ব্যাখ্যার জন্য ধন্যবাদ তবে আপনি নিরপেক্ষ অনুমান এবং সত্য অনুমানক দ্বারা পূর্বাভাসিত মানটির এমএসই গণনা করার সময় আমি সমীকরণের উত্সটি পাইনি। দ্বিতীয় লাইনটি সেই সমীকরণে নির্দিষ্ট হতে হবে

— 21350 এ ব্যবহারকারী 31820

@ হুইবার এছাড়াও উইকি অংশটি পেলাম না যখন এটি ক্রিগিং বৈচিত্রটি গণনা করে যা আপনার উত্তরের সাথে মিল রয়েছে। তাদের একই ফলাফল রয়েছে তবে প্রাথমিক পদটি আলাদা। কিভাবে?

— ব্যবহারকারী31820