গড় দ্বারা বিভাজিত এলোমেলো পরিবর্তনশীলটির প্রত্যাশা কী

যাক IID এবং হতে । এটি সুস্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে তবে আনুষ্ঠানিকভাবে এটি প্রাপ্ত করতে আমার সমস্যা হচ্ছে। $X_i$ $\bar{X} = \sum_{i=1}^{n} X_i$

E [\frac{X_{i}}{\bar{X}}] = ?

$E\left[\frac{X_i}{\bar{X}}\right] = \ ?$

probability random-variable expected-value

— stollenm
সূত্র

দিন $X_1,\dots,X_n$ স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ এলোমেলো ভেরিয়েবল হতে এবং সংজ্ঞায়িত করতে হবে

\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} \dots + X_{n}}{n} .

$\bar{X}=\frac{X_1+X_2\dots+X_n}{n}.$

হটাত যদি $\Pr\{\bar{X}\ne 0\}=1$ । যেহেতু গুলি একইভাবে বিতরণ করা হয়েছে, তাই প্রতিসাম্য আমাদের জানায় যে জন্য (নির্ভরশীল) এলোমেলো ভেরিয়েবল $X_i$ $i=1,\dots n$ $X_i/\bar{X}$ একই বিতরণ আছে:

\frac{X_{1}}{\bar{X}} \sim \frac{X_{2}}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_{n}}{\bar{X}} .

$\frac{X_1}{\bar{X}} \sim \frac{X_2}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_n}{\bar{X}}.$ প্রত্যাশা থাকলে

E [X_{i} / \bar{X}]

$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$ তারপর (এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়), তারপর

E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] = E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] = \dots = E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}],

$\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] = \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] = \dots = \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right],$ এবং জন্য

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$ , আমাদের আছে

\begin{aligned} E [\frac{X_{i}}{\bar{X}}] & = \frac{1}{n} (E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] + E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] + \dots + E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}]) \\ = \frac{1}{n} E [\frac{X_{1}}{\bar{X}} + \frac{X_{2}}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1}{n} E [\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1}{n} E [\frac{n \bar{X}}{\bar{X}}] \\ = \frac{n}{n} E [\frac{\bar{X}}{\bar{X}}] = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[ \frac{X_i}{\bar{X}} \right] &= \frac{1}{n} \left( \mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] + \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] + \dots + \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \right) \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} + \frac{X_2}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{n\bar{X}}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{n}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{\bar{X}}{\bar{X}} \right] = 1. \end{align}$

আসুন দেখুন আমরা এটি সাধারণ মন্টি কার্লো দ্বারা পরীক্ষা করতে পারি কিনা।

x <- matrix(rgamma(10^6, 1, 1), nrow = 10^5)
mean(x[, 3] / rowMeans(x))

[1] 1.00511

ভাল, এবং ফলাফল পুনরাবৃত্তি অধীনে খুব বেশি পরিবর্তন হয় না।

— জেন
সূত্র

(+1) উপসংহার যে

E [X_{i} / \bar{X}]

$E[X_i/\bar X]$ অস্তিত্ব নেই এটি সত্য, তবে আপনার সাথে যুক্ত থাকা যেকোনটির চেয়ে সূক্ষ্ম যুক্তি প্রয়োজন, কারণ

X_{i}

$X_i$ এবং

\bar{X}

$\bar X$ স্বতন্ত্র নয়।

— whuber

@ শুভঃ আপনি কি এইটাকে একটু বাড়িয়ে দিতে পারবেন? এর নির্ভরতা উল্লেখ করেছি

X_{i}

$X_i$ এবং

\bar{X}

$\bar{X}$ লিঙ্কিত প্রশ্নের একটি মন্তব্যে। এছাড়াও, শি'ানের উত্তরটি সম্বোধন করে

n = 2

$n=2$ একটি সাধারণ রূপান্তর সঙ্গে কেস। তিনি বিতরণও দিয়েছিলেন

X_{i} / \bar{X}

$X_i/\bar{X}$ তার একটি মন্তব্যে। এই সম্পর্কে আপনার চিন্তার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ।

— জেন

@ শুভ: আমার ধারণা যেহেতু আমার ব্যাখ্যাটি কার্যকর হয়েছে works

X_{i} / \bar{X} = n / {1 + X_{2} / X_{1} + \dots + X_{n} / X_{1}}

$X_i/\bar{X}=n/\{1+X_2/X_1+\cdots+X_n/X_1\}$ যা হলো

n / {1 + (n - 1) Z}

$n/\{1+(n-1)Z\}$ ,

Z

$Z$ একটি স্ট্যান্ডার্ড কচী হচ্ছে। জড়িত কোন নির্ভরতা।

— সিয়ান

@ শিয়ান: আপনি কি এখানে ব্যবহার করেছেন (বিবেচনা করুন?

n = 3

$n=3$ কেস), যেহেতু

U = X_{2} / X_{1}

$U=X_2/X_1$ এবং

V = X_{3} / X_{1}

$V=X_3/X_1$ স্ট্যান্ডার্ড কচি, তাহলে

(U + V) / 2

$(U+V)/2$ মানক কচীও কি? তবে এটি সত্য নয়

U

$U$ এবং

V

$V$ স্বাধীন না, তাই না?

— জেন

@ জেন: তবে,

(X_{2} + \dots + X_{n})

$(X_2+\cdots+X_n)$ এবং

X_{1}

$X_1$ স্বতন্ত্র সাধারণ পরিবর্তিত হয়, তাই

(X_{2} + \dots + X_{n}) / X_{1}

$(X_2+\cdots+X_n)/X_1$ একটি কচী, যদি একটি সঙ্গে

\sqrt{n - 1}

$\sqrt{n-1}$ চেয়ে স্কেল

n - 1

$n-1$ ।

— সিয়ান