আপনি কীভাবে একটি জনসংখ্যার নমুনা নিচ্ছেন তা বিবেচ্য নয়?

Question

আমার কাছে অসম্পূর্ণ সংখ্যার মার্বেলযুক্ত একটি ভাল মিশ্র ভ্যাট রয়েছে। ভ্যাটটিতে অসীম পরিমাণে মার্বেল রয়েছে তবে এগুলি কেবল কয়েকটি অজানা তবে সীমাবদ্ধ সংখ্যক জাতের মধ্যে আসে :

$$\mathcal{V} = \{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{k}\}$$ $k$ অজানা, এবং জন্য $i\neq j$, অঙ্কন a $v_i$টাইপ মার্বেল একটি আঁকার চেয়ে বেশি সম্ভবত হতে পারে $v_j$টাইপ মার্বেল।

একটি পরীক্ষায়, একটি যন্ত্র কিছু অজানা পদ্ধতি ব্যবহার করে ভ্যাটটির নমুনা দেয়। যন্ত্রটি একটি সেট রিপোর্ট করে$X$ বর্ণনা $q\leq k$ এর নমুনা থেকে মার্বেলের বিভিন্ন ধরণের:

$$X \subseteq \mathcal{V}; \quad |X|=q$$

এই পরীক্ষার পরীক্ষাগুলি পুনরাবৃত্তি হয় ($q$ ট্রায়াল জুড়ে স্থির করা হয়) এবং আমরা এর উপগ্রহের ক্রম পাই $\mathcal{V}$, $(X_1,X_2,\dots)$।

আমরা জানি কেবলমাত্র অন্যান্য জিনিসগুলি হ'ল:

• বিচারগুলি স্বাধীন এবং অভিন্ন
• যন্ত্রটি শীর্ষে রিপোর্ট করে $q$ সবচেয়ে বেশি ঘন ঘন এর নমুনায় দেখা যায়

আমরা সঠিকভাবে জানি না কীভাবে মেশিনের নমুনা মার্বেল হয় know এটি প্রচুর পরিমাণে মার্বেল বাছাই করতে পারে, তারপরে রিপোর্ট করুন$q$সবচেয়ে ঘন ঘন. বিকল্পভাবে, এটি মার্বেলগুলি না হওয়া পর্যন্ত বাছাই করতে পারে$q$বৈচিত্র্যের। এটি অন্যান্য জিনিসও করতে পারে।

আমাদের পরীক্ষার বিতরণ করবে $(X_1,X_2,\dots)$ মেশিনের নমুনা পদ্ধতি দ্বারা প্রভাবিত?

Comments

+1 এটি একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন কারণ এটি প্রশংসা করে যে নমুনা পদ্ধতি সম্পর্কে স্বেচ্ছাসেবীর কিছু অস্পষ্ট রূপ বা জ্ঞানের অভাবের চেয়ে এলোমেলো নমুনার আরও অনেক কিছু রয়েছে।

— whuber

স্যাম্পলিংয়ের নিয়ম অবশ্যই কার্যকর হবে। অন্যথায়, এই পদ্ধতিটি বিবেচনা করুন: মেশিনটি, প্রতিটি পরীক্ষায় সর্বদা 1 প্রকারের (প্রথম প্রকারের) একক মার্বেল নির্বাচন করে। প্রতিটি অঙ্ক স্বাধীন হবে এবং অভিন্ন বিতরণ হবে (তুচ্ছভাবে), এবং আপনি Q = 1 পাবেন, একটি নিখুঁতভাবে অ-সহায়ক ফলাফল।

— আলাস্কাআরন

Answer 1

পদ্ধতির বিষয়টি যাচাই করার একটি সহজ উপায় হ'ল ধরণের মার্বেলগুলির জন্য বিশেষ সম্ভাবনাগুলি বেছে নেওয়া এবং কয়েকটি পদ্ধতি অনুসারে প্রতিটি উপসেটের সম্ভাবনা গণনা করা। যদিও এটি প্রমাণ করতে পারে না যে পদ্ধতিটি কোনও বিষয় নয়।

মনে করুন সেখানে আছে $3$ প্রকার এবং প্রতিটি ধরণের সম্ভাবনা $1/2$, $1/4$, এবং $1/4$যথাক্রমে ধরুন আপনি বেছে নিচ্ছেন$2$ মার্বেল ধরণের।

মনে করুন কোনও মার্বেল বেছে নেওয়ার পরে, আপনি বাকি ধরণের উপেক্ষা করুন। আপনি সুযোগ পাবেন$\lbrace v_2,v_3\rbrace$ হয় $2*1/4*1/3 = 1/6$।

ধরুন আপনি বারবার ধরণের জুড়ি প্রত্যাখ্যান করেন। সম্ভাবনা$\lbrace v_2,v_3\rbrace$ হয়

$$\frac{2*1/4*1/4}{2*1/4*1/4 + 2*1/2*1/4 + 2*1/2*1/4} = \frac{1/8}{1/8 + 1/4 + 1/4} = 1/5.$$

যেহেতু এগুলি পৃথক, মেশিনটি পদ্ধতিটি ব্যবহার করে। পুনরাবৃত্ত প্রকারের সাথে জোড়া প্রত্যাখ্যান করার কারণে সাধারণ ধরণের জোড়গুলির ওজন কম হয়।

আপনার উল্লিখিত দুটি পদ্ধতির সমতুল্য। কোনও মার্বেল বাছাইয়ের পরে বাকি ধরণের উপেক্ষা করা আপনার কাছে না আসা পর্যন্ত পিকিংয়ের সমান$q$ বিভিন্ন ধরনের.