এলোমেলো ভেরিয়েবল দ্বারা উত্পাদিত

Question

প্রায়শই, পরিসংখ্যান সম্পর্কে আমার (স্ব -) অধ্যয়নের সময় আমি " $\sigma$ -gegebra এলোমেলো পরিবর্তনশীল দ্বারা উত্পন্ন " শব্দের সাথে সাক্ষাত করেছি । আমি উইকিপিডিয়ায় সংজ্ঞাটি বুঝতে পারি না , তবে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ এটির পিছনে অন্তর্দৃষ্টি আমি পাই না। কেন / কখন আমাদের $\sigma-$ র্যান্ডম ভেরিয়েবল দ্বারা উত্পন্ন বীজগণিতগুলি প্রয়োজন ? তাদের অর্থ কী? আমি নিম্নলিখিত জানি:

• একটি $\sigma$ -algebra একটি সেট উপর $\Omega$ এর সাব-সেট নির্বাচন একটি nonempty সংগ্রহ $\Omega$ যা ধারণ করে $\Omega$ , সম্পূরক অধীনে এবং ধর্তব্য ইউনিয়নের বন্ধ করা হয়।
• আমরা অসীম নমুনা স্পেসগুলিতে সম্ভাবনার স্পেস তৈরি করতে $\sigma$ -জেজব্রাগগুলি প্রবর্তন করি । বিশেষত, যদি $\Omega$ অগণিত অসীম হয়, আমরা জানি যে অগণিত উপগ্রহ থাকতে পারে (সেটগুলি যার জন্য আমরা কোনও সম্ভাবনার সংজ্ঞা দিতে পারি না)। সুতরাং, আমরা শুধু শক্তি সেট ব্যবহার করা যাবে না $\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$ ঘটনা আমাদের সেট হিসাবে $\mathcal{F}$ । আমাদের একটি ছোট সেট দরকার, যা এখনও যথেষ্ট বড় যাতে আমরা আকর্ষণীয় ইভেন্টগুলির সম্ভাব্যতাটি সংজ্ঞায়িত করতে পারি এবং আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রম সংক্রমণের কথা বলতে পারি।

সংক্ষেপে, আমি মনে করি আমার কাছে সম্পর্কে ন্যায্য স্বজ্ঞাত জ্ঞান আছে । আমি এলোমেলো ভেরিয়েবল দ্বারা উত্পাদিত জন্য একই ধরণের ধারণা পেতে চাই : সংজ্ঞা, আমাদের কেন তাদের প্রয়োজন, , একটি উদাহরণ ...σ $\sigma-$$\sigma-$

Comments

একটি কার্যকর (এবং স্বজ্ঞাগত অর্থবহ) বৈশিষ্ট্য হ'ল এটি হ'ল কোরেস্ট সিগমা-বীজগণিত যা এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে পরিমাপযোগ্য করে তোলে। $\Omega$

— whuber

@ হুড়াহুড়ি মোটামুটি মানে সবচেয়ে ছোট? অন্য কথায়, আমি আমার সম্ভাব্যতা স্থান , আমি একটি আরভি আছে এক্স : Ω → আর (যা এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের সংজ্ঞা দ্বারা পরিমাপযোগ্য), এবং σ ক্ষুদ্রতম উপসেট এফ যেমন যে এক্স এখনও পরিমাপযোগ্য। ঠিক আছে, কিন্তু এই তা, intuitively এর মানে হল যে এর প্রশ্ন begs এক্স পরিমাপযোগ্য হয় :-) এটা বলতে অর্থে যে আমরা ধরনের সব ঘটনা সম্ভাবনা বর্ণনা করতে পারেন হবে একটি < এক্স < খ এবং ইউনিয়ন / ছেদ? $(\Omega,\mathcal{F},P)$$X:\Omega\to\mathcal{R}$$\sigma$$\mathcal{F}$$X$$X$$a\lt X \lt b$

— ডেল্টাভিও

একবারে একক দিকে তাকানো পরিমাপকতা সম্পর্কে সামান্য অন্তর্দৃষ্টি সরবরাহ করে। আপনি যখন এলোমেলো ভেরিয়েবল - স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির সংগ্রহ অধ্যয়ন করেন তখন এই ধারণাটি তার নিজস্ব হয়। পরিবর্তে, সর্বাধিক স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া (যেমন সসীম বিচ্ছিন্ন দ্বিপদী র্যান্ডম ওয়াকস) একটি ব্যাখ্যামূলক সেটিং সরবরাহ করে যেখানে সিগমা-বীজগণিত সমস্ত ভেরিয়েবল এক্স 0 , এক্স 1 , … , এক্স টি দ্বারা উত্পন্ন "হিসাবে উপলব্ধ তথ্য আপ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে" (এবং সহ) সময় টি । $X$$X_0, X_1, \ldots, X_t$$t$

— whuber

@ যাহোক দুঃখিত, আমি বুঝতে পারি না :) আপনি যদি আপনার আরও একটি উত্তরের দিকে আমাকে আরও উল্লেখ করতে পারেন যেখানে আপনি আরও বিশদভাবে যান বা আপনি যদি উত্তর হিসাবে এটি প্রসারিত করতে চান তবে আমি প্রশংসা করব। অন্যথায় চিন্তা করবেন না - আপনার বক্তব্য পাওয়ার জন্য স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলি সম্পর্কে আমি যথেষ্ট পরিমাণে জানি না। আল্টু..আমার আমার ডায়নামিক বায়েশিয়ান নেটওয়ার্ক দক্ষতা অর্জন করা দরকার, সুতরাং সময় ধারাবাহিকের সাথে কাজ করার সময় যদি এই স্বজ্ঞাত সহায়তা করে তবে আমি বেশ আগ্রহী হব।

— ডেল্টাভিও

Stats.stackexchange.com/a/123754/919 দেখুন । Stats.stackexchange.com/a/164995/919 এবং stats.stackexchange.com/a/74339/919 এ সহায়কও হতে পারে ।

— whuber

Answer 1

একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল $X$ বিবেচনা করুন । আমরা জানি যে $X$$\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ থেকে $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ থেকে পরিমাপযোগ্য ফাংশন ছাড়া আর কিছুই নয় , যেখানে $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ হ'ল আসল লাইনের বোরেল সেট। পরিমাপের সংজ্ঞা দ্বারা আমরা জানি যে আমাদের রয়েছে

$$X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$$

কিন্তু বাস্তবে Borel সেট preimages সব নাও হতে পারে $\mathcal{A}$ কিন্তু এর পরিবর্তে তারা এটা অনেক coarser উপসেট গঠন করতে পারে। এটি দেখতে, আসুন আমরা সংজ্ঞায়িত করি

$$\mathcal{\Sigma} = \left\{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$$

প্রিমাইজেসের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, এটি দেখানো খুব কঠিন নয় যে $\mathcal{\Sigma}$ সিগমা-বীজগণিত। এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ , সুতরাং $\mathcal{\Sigma}$ একটি উপ-সিগমা-বীজগণিত। আরও, সংজ্ঞা দ্বারা এটি সহজেই দেখতে পাওয়া যায় যে ম্যাপিং $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ পরিমাপযোগ্য। $\mathcal{\Sigma}$ আসলে ক্ষুদ্রতম সিগমা-বীজগণিত যা $X$ এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে তৈরি করে অন্য ধরণের সিগমা-বীজগণিতগুলির মধ্যে অন্তত অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে $\mathcal{\Sigma}$। কারণে যে আমরা এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের preimages সাথে ডিল করা হয় জন্য $X$ , আমরা কল $\mathcal{\Sigma}$ সিগমা-বীজগণিত দৈব চলক দ্বারা প্রবর্তিত $X$ ।

এখানে একটি চরম উদাহরণ রয়েছে: একটি ধ্রুবক দৈব চলক বিবেচনা $X$ , যে $X(\omega) \equiv \alpha$ । তারপর $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ পারেন সমান $\Omega$ বা $\varnothing$ উপর কিনা নির্ভর করে $\alpha \in B$ । সিগমা-বীজগণিত এইভাবে উত্পন্ন তুচ্ছ হয় এবং যেমন, এটা স্পষ্টভাবে মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয় $\mathcal{A}$ ।

আশাকরি এটা সাহায্য করবে.

Comments

ইভেন্টের সেট, তাই না? আমি$\mathcal{A}$$\mathcal{F}$

— ডেল্টাভিও

হ্যাঁ, আমি খুঁজে বের করার শর্ত জন্মগ্রহণ করেন বেশি মর্মস্পর্শী এফ । $\mathcal{A}$$\mathcal{F}$

— 16:

চমৎকার! খুব পরিস্কার. আপনার একটি বই লেখা উচিত :)

— ডেল্টাভিও