রৈখিক নির্ভর এবং লিনিয়ার পারস্পরিক সম্পর্কের মধ্যে পার্থক্য কী?

Question

দুটি ভেরিয়েবল যদি লিনিয়ার নির্ভরশীল বা লিনিয়ারলি সম্পর্কিত হয় তবে এর মধ্যে পার্থক্য কী তা দয়া করে ব্যাখ্যা করুন ।

আমি উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি সন্ধান করেছি তবে সঠিক উদাহরণ পাই নি। উদাহরণ সহ এটি ব্যাখ্যা করুন।

Answer 1

দুটি ভেরিয়েবল লিনিয়ার নির্ভরশীল যদি অন্যটির লিনিয়ার ফাংশন হিসাবে রচনা করা যায়। দুটি ভেরিয়েবল যদি রৈখিকভাবে নির্ভর করে তবে তাদের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক 1 বা -1 হয়। লিনিয়ারলি কোলেলেটেডের অর্থ হ'ল দুটি ভেরিয়েবলের একটি শূন্য-বহির্ভুত সম্পর্ক রয়েছে তবে অগত্যা সঠিক রৈখিক সম্পর্ক নেই having সম্পর্কের ক্ষেত্রে কখনও কখনও লিনিয়ার পারস্পরিক সম্পর্ক বলা হয় কারণ পিয়ারসন পণ্য মুহুর্তের সহসংস্থান সহগটি ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে সম্পর্কের ক্ষেত্রে রৈখিকতার শক্তির একটি পরিমাপ।

Comments

+1 টি। যদিও, আমি বরং পিয়ারসন কফ বলতে চাই। পরিবর্তে "রৈখিক সম্পর্ক শক্তি একটি পরিমাপ"is a measure of the degree of linearity in [= of?] the relationship

— ttnphns

@ttnphns ঠিক আছে যা আরও উপযুক্ত বলে মনে হচ্ছে।

— মাইকেল আর চেরনিক

সম্ভবত বদলে সঙ্গে যেহেতু আমরা ঝগড়া প্রয়োজন হবে না একটি ভাল পরিমাপ হবে পাসে একটি শক্তিশালী রৈখিক সম্পর্ক (ঋণাত্মক ঢাল যদ্যপি) অর্থ। এছাড়াও, বিবেচনাবিহীন বনাম কতটা বৈকল্পিক ব্যাখ্যা করা হয়েছে তা বিবেচনা করুন এবং পরিসংখ্যানবিদকে কার্টুইল ঘুরিয়ে এবং উদযাপনে হ্যান্ডস্ট্যান্ডগুলি করতে উত্সাহিত করে না যেখানে whereas ইতিবাচক (পঠনযোগ্য, প্রকাশযোগ্য) ফলাফলের অনেক ভাল প্রমাণ। $\rho^2$$\rho$$\rho$$-1$$\rho = 0.51$$\rho^2 > 1/\sqrt{2} \approx 70\%$

— দিলীপ সরোতে

Answer 2

ইন রৈখিক নির্ভরতা যে বোঝা এক ভেক্টর অন্যান্য একটি রৈখিক ফাংশন: এটা এই সংজ্ঞা দুই ভেরিয়েবল লক-ধাপে সরাতে হবে, একটি পারস্পরিক সম্পর্ক implying থেকে পরিষ্কার বা এর মান উপর নির্ভর করে । ধারণাগুলির মধ্যে পার্থক্য এবং সংযোগগুলি আরও পুরোপুরি বুঝতে, তবে আমি জ্যামিতিকে জড়িত বিবেচনা করা সুবিধাজনক বলে মনে করি।$\mathbf{R}^2$

$$\textbf{v}_{1}=a\textbf{v}_2.$$ $1$$-1$$a$

নীচের গ্রাফটি লিনিয়ার নির্ভরতার জন্য সূত্রের একটি উদাহরণ দেখায়। আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল কারণ একটি কেবল অন্যটির একাধিক।

এই রৈখিক স্বাধীনতা, যা বিপরীতে হয় : দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে ভেক্টরের জন্যরৈখিক স্বাধীনতার একটি উদাহরণ নীচের গ্রাফিকে দেখা যায়। $\mathbf{R}^2$

$$\textbf{v}_{1}\neq a\textbf{v}_2$$ $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2 \neq \textbf{0}.$

রৈখিক স্বাধীনতার সর্বাধিক চূড়ান্ত সংস্করণ হল অরথোগোনালিটি, যা জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে হিসাবে: ইন graphed ভেক্টর করা, orthogonality অনুরূপ এবং একে অপরের ঋজু হচ্ছে:$\textbf{v}_1, \textbf{v}_2$

$$\textbf{v}_{1}^T \textbf{v}_{2} = 0.$$ $\mathbf{R}^2$$\textbf{v}_{1}$$\textbf{v}_2$

এখন, পিয়ারসনের পারস্পরিক সম্পর্কের সহগ বিবেচনা করুন:

$$\rho_{\textbf{v}_{1}\textbf{v}_{2}} = \frac{(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})^T(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})}{\sigma_{\textbf{v}_{1}}\sigma_{\textbf{v}_{2}}}.$$

মনে রাখবেন যে যদি ভেক্টর এবং অরথোগোনাল হয় তারপরে পিয়ারসন সহগের শূন্য, এটি বোঝায় যে ভেরিয়েবলগুলি এবং । ভেরিয়েবল কেন্দ্রিক সংস্করণের মধ্যে রৈখিক নির্ভরতা এই রৈখিক স্বাধীনতা ও পারস্পরিক সম্পর্ক মধ্যে একটি আকর্ষণীয় সংযোগ প্রকাশ এবং একটি পারস্পরিক সম্পর্ক সাথে সঙ্গতিপূর্ণ বা , অ এবং the কেন্দ্রিক সংস্করণগুলির মধ্যে -অর্থোগোনাল রৈখিক স্বাধীনতা( ভি 2 - ˉ ভি 2 1 ) ভি 1 ভি 2 ভি 1 ভি 2 1 - 1 ভি 1 ভি 2 0 1 ভি 1 ভি 2$(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})$$(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})$$\textbf{v}_{1}$$\textbf{v}_{2}$$\textbf{v}_{1}$$\textbf{v}_{2}$$1$$-1$$\textbf{v}_{1}$$\textbf{v}_{2}$মধ্যে একটি পারস্পরিক সম্পর্ক সাথে সঙ্গতিপূর্ণ এবং এর কেন্দ্রিক সংস্করণের মধ্যে পরম মান, এবং orthogonality এবং একটি পারস্পরিক সম্পর্ক সাথে সঙ্গতিপূর্ণ ।$0$$1$$\textbf{v}_{1}$$\textbf{v}_{2}$$0$

সুতরাং, যদি দুটি ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয় তবে ভেক্টরগুলির কেন্দ্রিক সংস্করণগুলিও রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে, অর্থাৎ ভেক্টরগুলি পুরোপুরি সম্পর্কযুক্ত। যখন দুটি রৈখিক স্বতন্ত্র ভেক্টর (অরথোগোনাল বা না) কেন্দ্রিক হয় তখন ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটি পরিবর্তন হতে পারে বা নাও হতে পারে। সুতরাং রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টরগুলির জন্য পারস্পরিক সম্পর্ক ইতিবাচক, নেতিবাচক বা শূন্য হতে পারে।

Answer 3

F (x) এবং g (x) এর ফাংশন হতে দিন।

F (x) এবং g (x) এর জন্য রৈখিকভাবে স্বাধীন হতে হবে

a * f (x) + b * g (x) = 0 যদি এবং কেবল a = b = 0 হয়।

অন্য কথায় এমন কোন সি নেই যা ক বা খ শূন্য নয় তবে

a * f (c) + b * g (c) = 0

যদি এই জাতীয় এসি থাকে, তবে আমরা বলব যে চ (এক্স) এবং জি (এক্স) লিনিয়ার নির্ভরশীল।

যেমন

f (x) = sin (x) এবং g (x) = cos (x) রৈখিকভাবে স্বতন্ত্র

f (x) = sin (x) এবং g (x) = sin (2x) রৈখিকভাবে নির্ভর করে না (কেন?)

Comments

আপনি যে সংজ্ঞাটি সেখানে ব্যবহার করছেন সেখানে একটি থাকতে পারে যা ; তারা কেবল রৈখিকভাবে নির্ভরশীল যদি এটি বিবেচিত ডোমেনের সমস্ত জন্য ঘটে ; উদাহরণস্বরূপ, সহ আপনার দ্বিতীয় উদাহরণটি বিবেচনা করুন । (এছাড়াও, আমি মনে করি আপনার প্রথম উদাহরণে কোনও সমস্যা আছে)a f ( c ) + b g ( c ) = 0 x c = π /$c$$a f(c) + b g(c) = 0$$x$$c=\pi/3$

— Glen_b -Rininstate Monica