এর চেয়ে বেশি কী, বা

Question

সুতরাং আমি একটি সম্ভাব্যতা পরীক্ষা ছিল এবং আমি সত্যিই এই প্রশ্নের উত্তর দিতে পারে না। এটি ঠিক এরকম কিছু জিজ্ঞাসা করেছে:

" একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, 0 হিসাবে বিবেচনা করে উচ্চতর বা সমান কী, E (X ^ 2) ^ 3 বা E (X ^ 3) ^ 2 এর প্রমাণ করতে সঠিক বৈষম্য ব্যবহার করুন ।$X$$X$ $\geqslant$ $0$$E(X^2)^3$$E(X^3)^2$

আমি ভাবতে পারি যে জেনসেনের বৈষম্য, তবে আমি কীভাবে এটি এখানে প্রয়োগ করতে পারি তা আমি জানি না।

Comments

পরিবর্তে ধারকের অসমতা চেষ্টা করুন।

— jbowman

স্ব স্টাডি ট্যাগ যুক্ত করুন।

— মাইকেল আর চেরনিক

Stats.stackexchange.com/questions/244202/… এ থ্রেড এই প্রশ্নটিকে সাধারণীকরণ করে: এটি প্রয়োগ করতে কেবল উভয় পক্ষের ষষ্ঠ শিকড় নিন।

— whuber

দয়া করে সহায়তা কেন্দ্রে

— Glen_b -Rininstate Monica

Answer 1

এটি প্রকৃতপক্ষে জেনসেন অসমতা দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে।

ইঙ্গিত : নোট করুন যে জন্য function ক্রিয়াকলাপটি উত্তল (আপনি যেখানে অনুমানটি ব্যবহার করেন )। তারপরে জেনসেন অসমতা এবং , এটি অন্য উপায়ে$\alpha > 1$$x^{\alpha}$$\left[0, -\infty\right)$$X \ge 0$

$$\mathbb{E}\left[Y\right]^{\alpha} \le \mathbb{E}\left[Y^{\alpha}\right]$$ $\alpha < 1$

এখন, ভেরিয়েবলকে তুলনামূলক কিছুতে রূপান্তর করুন এবং প্রাসঙ্গিক ।$\alpha$

Answer 2

লায়াপুনভের বৈষম্য (দেখুন: কেসেলা এবং বার্জার, পরিসংখ্যানগত অনুমান 4.7.6):

জন্য : $1 < r < s < \infty$

$$\mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$$

প্রুফ :

জেনসেন্সের উত্তল অসমতার দ্বারা : q লেক ম্যাথবিবি$\phi(x)$$\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

বিবেচনা করুন , তারপর যেখানে$\phi(Y) = Y^t$$(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$$Y = |X|^r$

বিকল্প :$t = \frac{s}{r}$$(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

সাধারণভাবে এটি বোঝায়:$X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

Answer 3

ধরুন X এর [0,1] এর পরে অভিন্ন বিতরণ রয়েছে তবে E (X ) = এবং তাই E (X ) = এবং E ( এক্স ) = তাই ই (এক্স ) = । সুতরাং এক্ষেত্রে E (X ) > E (X ) । আপনি কি এটিকে সাধারণীকরণ করতে পারেন বা একটি কাউন্টারিক নমুনা খুঁজে পেতে পারেন?$^2$$\frac{1}{3}$$^2$$^3$$\frac{1}{27}$$^3$$\frac{1}{4}$$^3$$^2$$\frac{1}{16}$$^3$$^2$$^2$$^3$

Comments

খুব অস্পষ্ট উত্তর। ওপিকে সঠিক বক্তব্য প্রমাণ করতে বলা হয়েছে। কোনও পাল্টা নমুনা নেই।

— Zhanxiong