তিনটি সম্পর্কিত সম্পর্কযুক্ত-বিতরিত এলোমেলো ভেরিয়েবল তৈরি করুন

Question

ধরুন আমাদের আছে

এক্স 2 ∼ ইউনিফর্ম ( এন , 0 , 1 )

$$X_1 \sim \textrm{unif}(n,0,1),$$ $$X_2 \sim \textrm{unif}(n,0,1),$$

যেখানে হ'ল এন সাইজের অভিন্ন র্যান্ডম নমুনা এবং$\textrm{unif}(n,0,1)$

$$Y=X_1,$$

$$Z = 0.4 X_1 + \sqrt{1 - 0.4}X_2.$$

তারপর মধ্যে পারস্পরিক এবং জেড হয় 0.4 ।$Y$$Z$$0.4$

আমি কীভাবে এটি তিনটি ভেরিয়েবলে প্রসারিত করতে পারি: ,$X_1$ , এক্স 3 ?$X_2$$X_3$

Comments

আপনার প্রশ্নটি পড়া সহজ করে তুলতে আমি সম্পাদনা করেছি। দয়া করে সব কিছু ঠিক আছে কিনা তা যাচাই করুন। আপনার প্রশ্ন সম্পর্কে, আপনি কোন পদ্ধতিতে আপনার পদ্ধতিটি প্রসারিত করবেন? সম্পর্ক দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, সুতরাং আপনার অর্থ কী তা পাওয়া আমার পক্ষে পরিষ্কার নয়।

— অক্টোবর

অভিন্ন নয়, সুতরাং আপনি যদি সেই ফলাফলটি সাধারণীকরণের চেষ্টা করছেন তবে মনে হচ্ছে আপনি তিনটি সংযুক্ত ইউনিফর্ম আরভি তৈরির চেষ্টা করছেন না। তুমি কেমন মধ্যে পারস্পরিক গনা সম্পর্কে হতাশ করছেন এক্স 1 এবং একটি এক্স 1 + + খ এক্স 2 + + গ এক্স 3 ? $Z$$X_1$$aX_1+bX_2+cX_3$

— MånsT

ধরা যাক আমরা , এক্স 2 , এক্স 3 ইউ এন আই ফ ( এন , 0 , 1 ) , এবং ওয়াই = চ ( এক্স 2 , এক্স 3 ) , জেড = এফ ( এক্স 1 , এক্স 2 , এক্স 3 ) পেয়েছি । তাহলে Y এবং Z কী? $X_1$$X_2$$X_3$ $~unif(n,0,1)$$Y=f(X_2,X_3)$$Z=f(X_1,X_2,X_3)$$Y$$Z$

— ব্যবহারকারী 9292

$$\{\text{Distributions of correlated uniforms}\} \subset \{\text{Copulas}\}$$

— অঙ্কবাচক

এন কেন আলোচনায় প্রবেশ করেন? যদি এক্স 1 এবং এক্স 2 অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি হয় তবে সেগুলি [0,1] এ কেবল অভিন্ন নয়?

— মাইকেল আর চেরনিক

Answer 1

মন্তব্যে উল্লিখিত হিসাবে প্রশ্নটিতে বেশ কয়েকটি ত্রুটি রয়েছে - প্রশ্নটিতে সংজ্ঞায়িত হিসাবে জেড না একরকম নয় বা নির্দিষ্ট পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে।

কার্ডিনাল কপুলাসের উল্লেখ করে এবং এটি সম্পর্কে সর্বাধিক সাধারণ উপায়। তবে পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত ইউনিফর্ম পাওয়ার বেশ কয়েকটি সহজ উপায় রয়েছে (যা বিভিন্ন ধরণের কোপুলের নিছক শর্টকাট হিসাবে দেখা যায়)।

সুতরাং একটি জুড়ি পেতে কিছু উপায় দিয়ে শুরু করা যাক সম্পর্কিত ইউনিফর্ম করুন।

1) আপনি দুটি ইউনিফর্ম যুক্ত করলে ফলাফলটি ত্রিভুজযুক্ত, ইউনিফর্ম নয়। তবে আপনি ফলাফলটিকে একটি ইউনিফর্মে ফিরিয়ে নিতে ট্রান্সফর্ম হিসাবে ফলাফলের ভেরিয়েবলের সিডিএফ ব্যবহার করতে পারেন। ফলাফল অবশ্যই রৈখিকভাবে আর কোনও সম্পর্কযুক্ত নয়।

এখানে (0,2) একটি সমমিত ত্রিভুজাকারকে স্ট্যান্ডার্ড ইউনিফর্মে রূপান্তর করতে একটি আর ফাংশন রয়েছে

t2u = function(x) ifelse(x<1, x^2, 2-(2-x)^2)/2

আসুন এটি পরীক্ষা করুন যে এটি একটি ইউনিফর্ম দেয় না

u1 = runif(30000)
u2 = runif(30000)
v1 = t2u(u1+u2)

এবং এটি u1 এবং u2 এর সাথে সম্পর্কিত:

> cor(cbind(u1,u2,v1))
            u1          u2        v1
u1 1.000000000 0.006311667 0.7035149
u2 0.006311667 1.000000000 0.7008528
v1 0.703514895 0.700852805 1.0000000

একরূপে একঘেয়ে রূপান্তরিত হওয়ার কারণে লিনিয়ারে নয়

এটিকে একটি সরঞ্জাম হিসাবে আমরা তিনটি ইকুইসিরিলেটেড ইউনিফর্ম পেতে কিছু অতিরিক্ত ভেরিয়েবল তৈরি করতে পারি:

u3 = runif(30000)
v2 = t2u(u1+u3)
v3 = t2u(u2+u3)

cor(cbind(v1,v2,v3))
          v1        v2        v3
v1 1.0000000 0.4967572 0.4896972
v2 0.4967572 1.0000000 0.4934746
v3 0.4896972 0.4934746 1.0000000

ভি-ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্কগুলি সমস্ত এইরকম দেখায়:

-

দ্বিতীয় বিকল্পটি একটি মিশ্রণ গ্রহণ করে উত্পন্ন করা হয় । ইউনিফর্ম সংমিশ্রণের পরিবর্তে তাদের স্থির সম্ভাবনার সাথে নিয়ে যান।

যেমন

z = ifelse(rbinom(30000,1,.7),u1,u2)

cor(cbind(u1,z))
          u1         z
u1 1.0000000 0.7081533
z  0.7081533 1.0000000

যা আবার একাধিক সংযুক্ত ইউনিফর্ম তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

-

তৃতীয় সরল পদ্ধতির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত নরমাল উত্পন্ন করা এবং অভিন্নতায় রূপান্তর।

n1=rnorm(30000)
n2=rnorm(30000)
n3=rnorm(30000)
x=.6*n1+.8*n2
y=.6*n2+.8*n3
z=.6*n3+.8*n1
cor(cbind(x,y,z))

          x         y         z
x 1.0000000 0.4763703 0.4792897
y 0.4763703 1.0000000 0.4769403
z 0.4792897 0.4769403 1.0000000

সুতরাং এখন আমরা ইউনিফর্ম রূপান্তর:

w1 = pnorm(x)
w2 = pnorm(y)
w3 = pnorm(z)
cor(cbind(w1,w2,w3))
          w1        w2        w3
w1 1.0000000 0.4606723 0.4623311
w2 0.4606723 1.0000000 0.4620257
w3 0.4623311 0.4620257 1.0000000

পদ্ধতি 2 এবং 3 সম্পর্কে একটি দুর্দান্ত জিনিস হ'ল সংযুক্ত জিনিসগুলি কীভাবে হতে পারে সে সম্পর্কে আপনার পছন্দতে আপনি প্রচুর বৈচিত্র্য পান (এবং এগুলিকে উদাহরণগুলির মতো সুসংহত করতে হবে না)।

অবশ্যই বিভিন্ন ধরণের অন্যান্য পদ্ধতি রয়েছে তবে এগুলি সব দ্রুত এবং সহজ।

জটিল অংশটি হ'ল কাঙ্ক্ষিত জনসংখ্যার পারস্পরিক সম্পর্ক; এটি এতটা সহজ নয় যে আপনি যখন কেবল গৌড়ীয়কে সম্পর্কযুক্ত করতে চান। কোয়ান্টিবেক্সের উত্তর একত্রিত করে এলোমেলো সংখ্যার যুগল উত্পন্ন করে একইরূপে বিতরণ করা হয় এবং এর সাথে সম্পর্কযুক্ত করা যায় এমন একটি দৃষ্টিভঙ্গি দেয় যা আমার তৃতীয় পদ্ধতিটি এখানে পরিবর্তন করে যা পছন্দসই জনসংখ্যার পারস্পরিক সম্পর্কের বিষয়ে দেয়।

Comments

Glen_b। ধন্যবাদ, খুব সুন্দর এবং আকর্ষণীয় উত্তর!

— ব্যবহারকারী 9292

আপনার তৃতীয় পদ্ধতির 0.6 এবং 0.8 কোথা থেকে এসেছে তা আমি বুঝতে পারি না।

— ম্যানুয়েল

$\rho$$\rho N_i + \sqrt{1-\rho^2} N_j$$N_i$$N_j$$\rho$$N_i$$\sqrt{1-\rho^2}$ সঙ্গে $N_j$। এই সম্পর্কগুলির কারণে,$X$, $Y$ এবং $Z$তারপরে ইকুইসিওরেলেটেড নরমাল। (এটি করার পক্ষে এটি সবচেয়ে কার্যকর সম্ভাব্য উপায় নয়, তবে এটি একটি উপায়))

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

Answer 2

প্রথমে, আপনি কি ধরে নিচ্ছেন? $X_1,X_2$স্বাধীন? যদি সেগুলি হয় তবে এর মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ$Z$ এবং $X_1$হয় না $0.4$। এটা হবে$0.4$ যদি $Y$ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল $Y = 0.4X_1+\sqrt{1-(0.4)^2}X_2$।

পারস্পরিক সম্পর্কের সহগ সূত্রের সংজ্ঞা এবং কোসাইনগুলির আইন সম্পর্কে একটি সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গি আপনাকে বোঝাতে হবে $\rho$ ইহা একটি $\cos$ মধ্যে $2$সিরিজটি যদি প্রতিটি ডেটাপয়েন্টের সাথে ভ্যাক্টরের একটি মাত্রা হিসাবে বিবেচিত হয় তবে সিরিজটি ভেক্টর হিসাবে বিবেচিত হবে। যদি তোমার থাকে$3$ যুগল-ভিত্তিক স্বাধীন সিরিজ, এটি তিনটি ভেক্টর যাঁরা একে অপরের কাছে অর্থেগোনাল (কারণ the $\cos$তাদের মধ্যবর্তী কোণগুলির সবগুলিই $0$'S।

এটি আপনাকে যেমন কোনও ভেক্টরকে তার অরথোগোনাল উপাদানগুলিতে সংক্রামিত করতে চান, তেমনিভাবে তার উপাদানগুলিতে কোনও সিরিজকে সংহত করার পথে শুরু করা উচিত।