গাউসীয় বিতরণ কি বিটা বিতরণের একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে?

আপনি যদি দিয়ে বিটা বিতরণটি $\alpha=\beta=4$ দেখেন তবে এটি গাউসীয় বিতরণের সাথে খুব মিল । তবে কি তাই? আপনি কীভাবে প্রমাণ করতে পারেন যে একটি বিটা (4,4) বিতরণ গাউসিয়ান কিনা?

normal-distribution beta-distribution

— user1068636
সূত্র

তাদের সমর্থন তাই আলাদা।

— গভীর উত্তর

@ দীপনার্থ - সুতরাং আপনি কি পরামর্শ দিচ্ছেন যে গাউসীয় বিতরণগুলি কোনও নির্দিষ্ট ধরণের বিটা বিতরণ নয়?

— ব্যবহারকারী 1068636

পরামর্শ দেওয়ার চেয়েও বেশি; যদি সমর্থনটি আলাদা হয় তবে তারা একই বিতরণ হতে পারে না।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

এগুলি উভয়ই প্রতিসম এবং কমবেশি বেল আকৃতির, তবে প্রতিসম বিটা (4,4 বা অন্য কোনও নির্দিষ্ট মূল্যে হোক) আসলে গাউসিয়ান নয়। ঘনত্ব না দেখেও আপনি এটি বলতে পারবেন - সমস্ত গাউসীয় বিতরণ চলাকালীন বিটা বিতরণ (0,1) চলছে $(-\infty,\infty)$

আসুন তুলনাটি কিছুটা আরও ঘনিষ্ঠভাবে দেখি। আমরা বিটা (4,4) প্রমিত করব যাতে এর অর্থ 0 এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি 1 (একটি স্ট্যান্ডার্ডাইজড বিটা ) হয় এবং ঘনত্বটি কীভাবে কোনও মান গাউসিয়ানের সাথে তুলনা করে তা দেখুন:

প্রমিত বিটা (4,4) -3 এবং 3 এর মধ্যে মিথ্যা সীমাবদ্ধ (মানক গাউসিয়ান কোনও মান নিতে পারে); এটি গাউসের চেয়েও কম উঁচু এবং প্রায় 1 বা এর প্রায় উভয় দিকের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিগুলির বৃত্তাকার "কাঁধ" রয়েছে। এর কুরটোসিসটি 27/11 ( গাউসিয়ানদের তুলনায় 2.45, বনাম 3)। $\approx$

বৃহত্তর প্যারামিটার মানগুলির সাথে প্রতিসামগ্রী বিটা বিতরণগুলি গাউসির কাছাকাছি।

প্যারামিটার অনন্তের কাছে যাওয়ার সাথে সীমাতে, একটি মানসম্মত প্রতিসাম্য বিটা একটি মানক সাধারণ বিতরণে পৌঁছায় (উদাহরণ প্রমাণ এখানে )।

$y=x$ $y=x$

$y=x$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা
সূত্র

1

$1$

t

$t$

1

$1$

X_{α, α} \sim Beta (α, α)

$X_{\alpha,\alpha} \sim \text{Beta}(\alpha,\alpha)$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (4 (2 α + 1))}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(4(2\alpha+1))}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

+ 1

$+1$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (8 α)}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(8\alpha)}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$