পরামিতিগুলির অনুমানের উপর একটি সমস্যা

যাক এবং চার র্যান্ডম ভেরিয়েবল যেমন যে হতে , যেখানে অজানা পরামিতি। এছাড়াও ধরে নিন যে ,তাহলে কোনটি সত্য? $Y_1,Y_2,Y_3$ $Y_4$ $E(Y_1)=\theta_1-\theta_3;\space\space E(Y_2)=\theta_1+\theta_2-\theta_3;\space\space E(Y_3)=\theta_1-\theta_3;\space\space E(Y_4)=\theta_1-\theta_2-\theta_3$ $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ $Var(Y_i)=\sigma^2$ $i=1,2,3,4.$

উ: অনুমানযোগ্য। $\theta_1,\theta_2,\theta_3$

বি। অনুমানযোগ্য। $\theta_1+\theta_3$

সি অনুমানযোগ্য এবং এর সেরা লিনিয়ার নিরপেক্ষ অনুমান । $\theta_1-\theta_3$ $\dfrac{1}{2}(Y_1+Y_3)$ $\theta_1-\theta_3$

D. অনুমানযোগ্য। $\theta_2$

উত্তরটি দেওয়া হল যা আমার কাছে অদ্ভুত দেখাচ্ছে (কারণ আমি ডি পেয়েছিলাম)।

আমি কেন ডি পেলাম? যেহেতু, । $E(Y_2-Y_4)=2\theta_2$

আমি কেন বুঝতে পারি না যে সি একটি উত্তর হতে পারে? ঠিক আছে, আমি দেখতে পারেন, একজন নিরপেক্ষ মূল্নির্ধারক হয় , এবং তার 'ভ্যারিয়েন্স চেয়ে কম হয় । $\dfrac{Y_1+Y_2+Y_3+Y_4}{4}$ $\theta_1-\theta_3$ $\dfrac{Y_1+Y_3}{2}$

দয়া করে বলুন আমি কোথায় ভুল করছি।

এছাড়াও এখানে পোস্ট করা হয়েছে: /math/2568894/a-problem-on-estimability-of-paraters

self-study estimation inference

— Stat_prob_001
সূত্র

রাখুন self-studyট্যাগ বা কেউ বরাবর আসা এবং আপনার প্রশ্ন বন্ধ হবে।

— কার্ল

@ কার্ল এটি শেষ হয়েছে তবে কেন?

— স্ট্যাট_প্রব_001

তো তারা নিয়ম সাইটের জন্য, না আমার নিয়ম, সাইট নিয়ম।

— কার্ল

কি ?

Y_{1} \neq Y_{3}

$Y_1\neq Y_3$

— কার্ল

@ কার্ল আপনি এইভাবে ভাবতে পারেন: যেখানে গড় আর এবং ভেরিয়েন্স সহ একটি । এবং, যেখানে একটি সঙ্গে গড় আরভি হয় এবং ভ্যারিয়েন্স

Y_{1} = θ_{1} - θ_{3} + ϵ_{1}

$Y_1=\theta_1-\theta_3+\epsilon_1$

ϵ_{1}

$\epsilon_1$

0

$0$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{3} = θ_{1} - θ_{3} + ϵ_{3}

$Y_3=\theta_1-\theta_3+\epsilon_3$

ϵ_{3}

$\epsilon_3$

0

$0$

σ^{2}

$\sigma^2$

— Stat_prob_001

এই উত্তরটি অনুমানের যাচাইয়ের উপর জোর দেয়। সর্বনিম্ন বৈকল্পিক সম্পত্তিটি আমার গৌণ বিবেচনার।

শুরুতে, লিনিয়ার মডেলটির ম্যাট্রিক্স ফর্মের নীচে তথ্যগুলি সংক্ষেপে নিম্নরূপ করুন: যেখানে(অনুমানের বিষয়ে আলোচনা করতে, গোলকের ধারণা অনুমান করা প্রয়োজন না But তবে গাউস-মার্কোভ সম্পত্তিটি নিয়ে আলোচনা করার জন্য, আমাদের গোলকত্ব অনুমান করা দরকার)।

\begin{aligned} (1) & Y := [\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ Y_{3} \\ Y_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} θ_{1} \\ θ_{2} \\ θ_{3} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ε_{1} \\ ε_{2} \\ ε_{3} \\ ε_{4} \end{matrix}] := X β + ε, \end{aligned}

$\begin{align} Y := \begin{bmatrix} Y_1 \\ Y_2 \\ Y_3 \\ Y_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \\ \theta_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \end{bmatrix}:= X\beta + \varepsilon, \tag{1} \end{align}$

E (ε) = 0, Var (ε) = σ^{2} I

$E(\varepsilon) = 0, \text{Var}(\varepsilon) = \sigma^2 I$

ε

$\varepsilon$

নকশা ম্যাট্রিক্স তাহলে পূর্ণ পদে হয়, তাহলে মূল প্যারামিটার স্বীকার একটি অনন্য লিস্ট স্কোয়ারগুলির অনুমান । ফলে, কোনো পরামিতি , একটি রৈখিক ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা এর এটি unambiguously লিস্ট স্কোয়ারগুলির মাধ্যমে তথ্য দ্বারা নির্ণয় করা যায় অনুমান অর্থে শ্রদ্ধেয় হয় যেমন । $X$ $\beta$ $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$ $\phi$ $\phi(\beta)$ $\beta$ $\hat{\beta}$ $\hat{\phi} = p'\hat{\beta}$

পূর্ণ পদে না থাকলে সূক্ষ্মতা দেখা দেয় । পুঙ্খানুপুঙ্খ আলোচনার জন্য, আমরা প্রথমে নীচে কিছু স্বীকৃতি এবং শর্তাদি ঠিক করি (আমি লিনিয়ার মডেলগুলিতে সমন্বয়-মুক্ত পদ্ধতির কনভেনশন অনুসরণ করি , বিভাগ ৪.৮। কিছু শর্ত অকারণে প্রযুক্তিগত শোনায়)। উপরন্তু, আলোচনা সাধারণ রৈখিক মডেল প্রযোজ্য সঙ্গে এবং । $X$ $Y = X\beta + \varepsilon$ $X \in \mathbb{R}^{n \times k}$ $\beta \in \mathbb{R}^k$

একটি রিগ্রেশন ম্যানিফোল্ড হ'ল গড় ভেক্টরগুলির সংগ্রহ হিসাবে : পরিবর্তিত হয় $\beta$ $\mathbb{R}^k$ $M = {X β : β \in R^{k}} .$ $M = \{X\beta: \beta \in \mathbb{R}^k\}.$

একটি স্থিতিমাপ কার্মিক একটি রৈখিক কার্যকরী হয় , $\phi = \phi(\beta)$ $\beta$ $ϕ (β) = p^{'} β = p_{1} β_{1} + \dots + p_{k} β_{k} .$ $\phi(\beta) = p'\beta = p_1\beta_1 + \cdots + p_k\beta_k.$

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, যখন , প্রতিটি প্যারামেট্রিক ক্রিয়ামূলক অনুমিত হয় না। তবে, অপেক্ষা করুন, প্রযুক্তিগতভাবে অনুমানযোগ্য শব্দটির সংজ্ঞা কী ? সামান্য লিনিয়ার বীজগণিতকে বিরক্ত না করে সুস্পষ্ট সংজ্ঞা দেওয়া কঠিন বলে মনে হয়। একটি সংজ্ঞা, যা আমি সবচেয়ে স্বজ্ঞাত বলে মনে করি, তা নিম্নরূপ (একই পূর্বোক্ত রেফারেন্স থেকে): $\text{rank}(X) < k$ $\phi(\beta)$

সংজ্ঞা ১. একটি প্যারাম্যাট্রিক ফাংশনালঅনুমিত হয় যদি এটিদ্বারা এই অর্থেঅনন্যভাবে নির্ধারণ করা হয়যেযখনইসন্তুষ্ট করে। $\phi(\beta)$ $X\beta$ $\phi(\beta_1) = \phi(\beta_2)$ $\beta_1,\beta_2 \in \mathbb{R}^k$ $X\beta_1 = X\beta_2$

ব্যাখ্যা. উপরোক্ত সংজ্ঞা শর্তাধীন যে রিগ্রেশন নানাবিধ থেকে ম্যাপিং এর প্যারামিটার স্থান থেকে হওয়া আবশ্যক একের সাথে এক, যা নিশ্চিত করা হয় যখন (অর্থাত, যখন নিজেই একের সাথে এক)। যখন , আমরা জানি বিদ্যমান আছে যে যেমন যে $M$ $\phi$ $\text{rank}(X) = k$ $X$ $\text{rank}(X) < k$ $\beta_1 \neq \beta_2$ $X\beta_1 = X\beta_2$ । উপরের অনুমানযোগ্য সংজ্ঞা কার্যকরভাবে এই কাঠামোগত-ঘাটতি প্যারামিমেট্রিক ক্রিয়াকলাপগুলিকে বিধিবিধান করে দেয় যা একই মান দিয়ে এমনকি আলাদা আলাদা মান দেয় যা প্রাকৃতিকভাবে বোঝায় না। অন্যদিকে, অনুমানযোগ্য প্যারাম্যাট্রিক ক্রিয়ামূলক শর্তটি যতক্ষণ পূর্ণ হয় ততক্ষণ সহ মঞ্জুরি দেয় । $M$ $\phi(\cdot)$ $\phi(\beta_1) = \phi(\beta_2)$ $\beta_1 \neq \beta_2$ $X\beta_1 = X\beta_2$

একই রেফারেন্সে প্রদত্ত প্যারামেট্রিক ক্রিয়াকলাপের অনুমানতা যাচাই করার জন্য অন্যান্য সমপরিমাণ শর্তাদি রয়েছে, প্রস্তাব 8.4।

এই জাতীয় ভার্চুজের পটভূমি পরিচিতির পরে আসুন আপনার প্রশ্নে ফিরে আসুন।

উ: নিজেই কারণে অ শ্রদ্ধেয় যে , যা অনিবার্য ফল সঙ্গে । যদিও উপরোক্ত সংজ্ঞাটি স্কেলারের ক্রিয়াকলাপগুলির জন্য দেওয়া হয়েছে, তবে এটি সহজেই ভেক্টর-মূল্যবান ক্রিয়াকলাপগুলিতে সাধারণীকরণ করা হয়। $\beta$ $\text{rank}(X) < 3$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\beta_1 \neq \beta_2$

বি অ শ্রদ্ধেয় হয়। বুদ্ধিমান হতে, এবং , যা কিন্তু $\phi_1(\beta) = \theta_1 + \theta_3 = (1, 0, 1)'\beta$ $\beta_1 = (0, 1, 0)'$ $\beta_2 = (1, 1, 1)'$ $X\beta_1 = X\beta_2$ । $\phi_1(\beta_1) = 0 + 0 = 0 \neq \phi_1(\beta_2) = 1 + 1 = 2$

সি অনুমানযোগ্য। কারণ জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ বোঝা , অর্থাত্, $\phi_2(\beta) = \theta_1 - \theta_3 = (1, 0, -1)'\beta$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\theta_1^{(1)} - \theta_3^{(1)} = \theta_1^{(2)} - \theta_3^{(2)}$ । $\phi_2(\beta_1) = \phi_2(\beta_2)$

ডি হয় এছাড়াও শ্রদ্ধেয় । থেকে আহরণ থেকে এছাড়াও তুচ্ছ হয়। $\phi_3(\beta) = \theta_2 = (0, 1, 0)'\beta$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\phi_3(\beta_1) = \phi_3(\beta_2)$

অনুমানযোগ্যতা যাচাই করার পরে, একটি উপপাদ্য রয়েছে (প্রস্তাব 8.16, একই রেফারেন্স) গাউস-মার্কভের সম্পত্তি । সেই উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে, বিকল্প সিটির দ্বিতীয় অংশটি ভুল। সেরা রৈখিক পক্ষপাতিত্বহীন অনুমান , নীচের উপপাদ্য দ্বারা। $\phi(\beta)$ $\bar{Y} = (Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4)/4$

উপপাদ্য। যাক একটি শ্রদ্ধেয় স্থিতিমাপ কার্মিক, তারপর তার শ্রেষ্ঠ রৈখিক পক্ষপাতিত্বহীন অনুমান হতে (ওরফে, গাউস-মার্কভ অনুমান) হল কোনো সমাধান জন্য স্বাভাবিক সমীকরণ থেকে । $\phi(\beta) = p'\beta$ $\phi(\hat{\beta})$ $\hat{\beta}$ $X'X\hat{\beta} = X'Y$

প্রমাণটি নিম্নরূপ:

প্রুফ। সহজবোধ্য হিসাব শো স্বাভাবিক সমীকরণ হয় যা সরলীকরণ পর হয়
$[\begin{matrix} 4 & 0 & - 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 4 & 0 & 4 \end{matrix}] \hat{β} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}] Y,$ $\begin{equation} \begin{bmatrix} 4 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{bmatrix} \hat{\beta} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{bmatrix} Y, \end{equation}$ অর্থাত, । $[\begin{matrix} ϕ (\hat{β}) \\ {\hat{θ}}_{2} / 2 \\ - ϕ (\hat{β}) \end{matrix}] = [\begin{matrix} \bar{Y} \\ (Y_{2} - Y_{4}) / 4 \\ - \bar{Y} \end{matrix}],$ $\begin{equation} \begin{bmatrix} \phi(\hat{\beta}) \\ \hat{\theta}_2/2 \\ -\phi(\hat{\beta}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar{Y} \\ (Y_2 - Y_4)/4 \\ -\bar{Y} \end{bmatrix}, \end{equation}$ $\phi(\hat{\beta}) = \bar{Y}$

সুতরাং, বিকল্প ডি একমাত্র সঠিক উত্তর।

সংযোজন: অনুমানযোগ্যতা এবং শনাক্তকরণের সংযোগ

আমি যখন স্কুলে ছিল, অধ্যাপক সংক্ষিপ্তভাবে যে স্থিতিমাপ কার্মিক এর estimability উল্লিখিত মডেল identifiability অনুরূপ। আমি তখনই এই দাবিটি মঞ্জুর করেছিলাম। যাইহোক, সামঞ্জস্যের আরও স্পষ্টভাবে বর্ণিত হওয়া প্রয়োজন। $\phi$

এসি ডেভিসনের মনোগ্রাফিক স্ট্যাটিস্টিকাল মডেলগুলি পি .4444 অনুসারে,

সংজ্ঞা 2. একটি স্থিতিমাপ মডেল যা প্রতিটি পরামিতি একটি ভিন্ন বন্টন উত্পন্ন বলা হয় শনাক্তযোগ্য । $\theta$

রৈখিক মডেল জন্য নির্বিশেষে spherity শর্ত , এটা যেমন reformulated যাবে $(1)$ $\text{Var}(\varepsilon) = \sigma^2 I$

\begin{matrix} (2) & E [Y] = X β, β \in R^{k} . \end{matrix}

$\begin{equation} E[Y] = X\beta, \quad \beta \in \mathbb{R}^k. \tag{2} \end{equation}$

এটি এমন একটি সহজ মডেল যা আমরা কেবল প্রতিক্রিয়া ভেক্টর প্রথম মুহুর্তের ফর্মটি নির্দিষ্ট করেছি । যখন , মডেল শনাক্তযোগ্য, যেহেতু বোঝায় (মূল সংজ্ঞায় "বিতরণ" শব্দটি স্বাভাবিকভাবেই মডেল অধীনে "গড়" হ্রাস করে ।)। $Y$ $\text{rank}(X) = k$ $(2)$ $\beta_1 \neq \beta_2$ $X\beta_1 \neq X\beta_2$ $(2)$

এখন ধরুন যে এবং প্রদত্ত প্যারাম্যাট্রিক ক্রিয়ামূলক , আমরা কীভাবে সংজ্ঞা 1 এবং সংজ্ঞা 2 এর সাথে মিলিত করব ? $\text{rank}(X) < k$ $\phi(\beta) = p'\beta$

ওয়েল, স্বরলিপি এবং শব্দ নিপূণভাবে ব্যবহার করে, আমরা যে ( "প্রমাণ" বরং তুচ্ছ হয়) এর estimability দেখাতে পারেন যে যে মডেল সমতূল্য শনাক্তযোগ্য যখন এটি দিয়ে প্যারামিটার parametrized হয় (নকশা ম্যাট্রিক্স অনুসারে পরিবর্তন হতে পারে)) প্রমাণ করতে, ধরুন অনুমানযোগ্য যাতে ইঙ্গিত করে $\phi(\beta)$ $(2)$ $\phi = \phi(\beta) = p'\beta$ $X$ $\phi(\beta)$ $X\beta_1 = X\beta_2$ সংজ্ঞা দ্বারা, এই , অত মডেল হয় শনাক্তযোগ্য যখন সঙ্গে ইন্ডেক্স । বিপরীতভাবে, খেয়েই মডেল শনাক্তযোগ্য যাতে হয় বোঝা , যা জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ হয় । $p'\beta_1 = p'\beta_2$ $\phi_1 = \phi_2$ $(3)$ $\phi$ $(3)$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\phi_1 = \phi_2$ $\phi_1(\beta) = \phi_2(\beta)$

$X$ $\beta$

$\phi_2(\beta) = \theta_1 - \theta_3$ $\phi_3(\beta) = \theta_2$ $(1)$ $(\phi_2, \phi_3)'$

E [Y] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} ϕ_{2} \\ ϕ_{3} \end{matrix}] = \tilde{X} γ .

$\begin{equation} E[Y] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_2 \\ \phi_3 \end{bmatrix} = \tilde{X}\gamma. \end{equation}$

$\tilde{X}$ $\gamma$

— Zhanxiong
সূত্র

অপশন সি এর দ্বিতীয় অংশের জন্য আপনার যদি প্রমাণের প্রয়োজন হয় তবে আমি আমার উত্তর পরিপূরক করব।

— Zhanxiong

\frac{1}{4} (Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + Y_{4})

$\dfrac{1}{4}(Y_1+Y_2+Y_3+Y_4)$

(Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + Y_{4}) / 4

$(Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4)/4$

সংজ্ঞা প্রয়োগ করুন।

$Y_i$

সংজ্ঞা

t_{λ} (Y) = \sum_{i = 1}^{4} λ_{i} Y_{i}

$t_\lambda(Y) = \sum_{i=1}^4 \lambda_i Y_i$

λ = (λ_{i})

$\lambda = (\lambda_i)$

$\theta_1-\theta_3$ $\theta_1-\theta_3$

\begin{aligned} θ_{1} - θ_{3} & = E [t_{λ} (Y)] = \sum_{i = 1}^{4} λ_{i} E [Y_{i}] \\ = λ_{1} (θ_{1} - θ_{3}) + λ_{2} (θ_{1} + θ_{2} - θ_{3}) + λ_{3} (θ_{1} - θ_{3}) + λ_{4} (θ_{1} - θ_{2} - θ_{3}) \\ = (λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} + λ_{4}) (θ_{1} - θ_{3}) + (λ_{2} - λ_{4}) θ_{2} . \end{aligned}

$\eqalign{ \theta_1 - \theta_3 &= E[t_\lambda(Y)] = \sum_{i=1}^4 \lambda_i E[Y_i]\\ & = \lambda_1(\theta_1-\theta_3) + \lambda_2(\theta_1+\theta_2-\theta_3) + \lambda_3(\theta_1-\theta_3) + \lambda_4(\theta_1-\theta_2-\theta_3) \\ &=(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4)(\theta_1-\theta_3) + (\lambda_2-\lambda_4)\theta_2. }$

$\theta_i$

\begin{matrix} (1) & λ_{2} - λ_{4} = 0 and λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} + λ_{4} = 1. \end{matrix}

$\lambda_2-\lambda_4=0\text{ and }\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=1.\tag{1}$

$t_\lambda$

Var (t_{λ}) = \sum_{i = 1}^{4} λ_{i}^{2} Var (Y_{i}) + \sum_{i \neq j}^{4} λ_{i} λ_{j} Cov (Y_{i}, Y_{j}) .

$\operatorname{Var}(t_\lambda) = \sum_{i=1}^4 \lambda_i^2 \operatorname{Var}(Y_i) + \sum_{i\ne j}^4 \lambda_i\lambda_j \operatorname{Cov}(Y_i,Y_j).$

$Y_i$

$\operatorname{Var}(Y_i)=\sigma^2,$

\begin{matrix} (2) & Var (t_{λ}) = σ^{2} (λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} + λ_{3}^{2} + λ_{4}^{2}) . \end{matrix}

$\operatorname{Var}(t_\lambda) =\sigma^2(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 + \lambda_4^2).\tag{2}$

$(2)$ $(1)$

সমাধান

$(1)$ $\lambda_i$ $u=\lambda_1-\lambda_3$ $v=\lambda_1+\lambda_3$ $\lambda_1$ $\lambda_3$ $\lambda_2$ $\lambda_4$ $(2)$

σ^{2} (λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} + λ_{3}^{2} + λ_{4}^{2}) = \frac{σ^{2}}{4} (2 u^{2} + (2 v - 1)^{2} + 1) .

$\sigma^2(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 + \lambda_4^2) = \frac{\sigma^2}{4}\left(2u^2 + (2v-1)^2 + 1\right).$

$(u,v)$ $\sigma^2 \ne 0$ $u^2$ $(2v-1)^2$ $u=2v-1=0$

λ = (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, λ_{4}) = (1 / 4, 1 / 4, 1 / 4, 1 / 4) .

$\lambda = (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4) = (1/4,1/4,1/4,1/4).$

বিকল্প (সি) টি মিথ্যা কারণ এটি সর্বোত্তম নিরপেক্ষ লিনিয়ার অনুমানকারী দেয় না। অপশন (ডি), যদিও এটি সম্পূর্ণ তথ্য দেয় না, তবুও সঠিক, কারণ

θ_{2} = E [t_{(0, 1 / 2, 0, - 1 / 2)} (Y)]

$\theta_2 = E[t_{(0,1/2,0,-1/2)}(Y)]$

লিনিয়ার অনুমানের প্রত্যাশা।

$\{\theta_2, \theta_1-\theta_3\}$ $\theta_1,\theta_3,$ $\theta_1+\theta_3$

ফলস্বরূপ (ডি) হ'ল অনন্য সঠিক উত্তর।

— whuber
সূত্র