যদি আমি একটি এলোমেলো প্রতিসাম্য ম্যাট্রিক্স উত্পন্ন করি তবে এটি ইতিবাচক নিশ্চিত হওয়ার কী সুযোগ আছে?

যখন আমি কিছু উত্তল অপ্টিমাইজেশান পরীক্ষা করছিলাম তখন আমি একটি অদ্ভুত প্রশ্ন পেয়েছি। প্রশ্ন হচ্ছে:

ধরুন আমি এলোমেলোভাবে (স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণ বলি) একটি সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স উত্পন্ন করি, (উদাহরণস্বরূপ, আমি উচ্চতর ত্রিভুজাকৃতির ম্যাট্রিক্স উত্পন্ন করি, এবং এটি প্রতিসাম্য কিনা তা নিশ্চিত করার জন্য নীচের অর্ধেকটি পূরণ করি), এটি সম্ভাবনা কতটা সম্ভব ম্যাট্রিক্স? সম্ভাবনা গণনা করার মতো কি আছে? $N \times N$

— হাইতাও ডু
সূত্র

সিমুলেশন চেষ্টা করুন ...

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

@ কেজেটিভালভর্সেন ধন্যবাদ, তবে আমি ভাবছি যে সমস্ত ইগনুভ্যালু 0 এর চেয়ে বড় তার কী সুযোগ রয়েছে বা আমরা সম্ভবত এটি বিশ্লেষণাত্মকভাবে করতে পারি কি না?

— হাইতাও দু

উত্তরটি কীভাবে আপনি ম্যাট্রিক্স উত্পন্ন করেন তার উপর নির্ভর করে । উদাহরণস্বরূপ, এক উপায়ে কিছু বিতরণ অনুযায়ী

রিয়েল ইগেনালুগুলি উত্পন্ন করে এবং তারপরে এলোমেলো অরথোগোনাল ম্যাট্রিক্স দ্বারা তির্যক ম্যাট্রিক্সকে সংহত করে। যদি ফলাফলগুলি ইতিবাচক নির্দিষ্ট হয় তবে কেবলমাত্র যদি এই সমস্ত অভিভাবকগুলি ইতিবাচক হয়। যদি আপনি শূন্য সম্পর্কে বিতরণ প্রতিসাম্য অনুযায়ী স্বতন্ত্রভাবে ইগেনুয়ালুগুলি তৈরি করতে থাকেন তবে অবশ্যই সেই সুযোগটি সম্ভবত সর্বাধিক

। একটি পিডি ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে, তারপরে, আপনার ইগনালভ্যুলগুলি ভালভাবে চয়ন করুন! (দ্রুত কাজের জন্য, আমি বহুচলকীয় সাধারন তথ্য covariances যেমন ম্যাট্রিক্স তৈরি করুন।)

n

$n$

2^{- n}

$2^{-n}$

— whuber

জিজ্ঞাসিত প্রশ্নের উত্তর নয়, তবে নোট করুন যে প্রথমে যদি প্রতিটি প্রবেশের আইডির স্বাভাবিক এবং

এর একই মাত্রাগুলির সাথে একটি ম্যাট্রিক্স

অনুকরণ করে তবে

সম্ভাব্যতার সাথে প্রতিসম এবং ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট 1

L

$L$

N

$N$

N = L L^{T}

$N = LL^T$

— ক্লিফ এবি

আপনার ম্যাট্রিক্স মান-স্বাভাবিক IID এন্ট্রি থেকে টানা হয়, ইতিবাচক-নির্দিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় নেই $p_N\approx 3^{-N^2/4}$ , তাই উদাহরণস্বরূপ যদি $N=5$ , সুযোগ 1/1000, এবং বেশ যায় নিচে তারপরে দ্রুত আপনি এই প্রশ্নের একটি বর্ধিত আলোচনা এখানে পেতে পারেন ।

আপনার ম্যাট্রিক্সের ইজেনভ্যালু বন্টন প্রায় উইগনার অর্ধবৃত্ত হবে , যা প্রায় শূন্যের প্রতিসাম্যযুক্ত তা স্বীকার করে আপনি এই উত্তরটি কিছুটা অন্তর্দৃষ্টি করতে পারেন । Eigenvalues সব স্বাধীন ছিল, তাহলে আপনি একটি আছে চাই $(1/2)^N$ ইতিবাচক-definiteness এই যুক্তি দ্বারা সুযোগ। বাস্তবে আপনি $N^2$ আচরণ পান, ইগেনভ্যালুগুলির সাথে সম্পর্কিত এবং উভয়ই আইভেনভ্যালুগুলির বৃহত বিচ্যুতি পরিচালনাকারী আইনগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের কারণে, বিশেষত ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তম। বিশেষত, এলোমেলো এগেনভ্যালুগুলি চার্জযুক্ত কণার তুলনায় অনেকটাই সমান এবং একে অপরের নিকটবর্তী হতে পছন্দ করে না, তাই তারা একে অপরকে প্রতিহত করে (আশ্চর্যজনকভাবে চার্জযুক্ত কণার মতো একই সম্ভাব্য ক্ষেত্রটি যথেষ্ট, $\propto 1/r$ , যেখানে $r$ সংলগ্ন ইগেনভ্যালুগুলির মধ্যে দূরত্ব)। তাদের সবার কাছে ইতিবাচক হওয়ার অনুরোধ তাই খুব দীর্ঘ অনুরোধ হবে।

এছাড়াও, এলোমেলো ম্যাট্রিক্স তত্ত্বের সার্বজনীনতা আইনগুলির কারণে, আমি দৃ strongly়ভাবে সন্দেহ করি যে উপরোক্ত সম্ভাবনাটি $p_N$ সম্ভবত কোনও "যুক্তিসঙ্গত" এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে একই হবে, আইআইডি এন্ট্রিগুলির সীমাবদ্ধ গড় এবং মানক বিচ্যুতি রয়েছে।

— অ্যালেক্স আর।
সূত্র

এটি খুব কম তা জেনে ভাল লাগছে। তাই ভবিষ্যতে এসপিডি ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে আমি প্রত্যাখ্যানের নমুনা ব্যবহার করব না।

— হাইতাও দু

@ এইচএক্সডি 1011: আপনি যদি এসপিডি ম্যাট্রিক্সের নমুনা দেওয়ার চেষ্টা করছেন, আমি উপরের মন্তব্যে বর্ণিত পদ্ধতিটি প্রস্তাব করছি। অধিকন্তু, কলেস্কির পচনগুলি

— ক্লিফ এবি

A^{'} A

$A'A$

2 \times 2

$2 \times 2$