এটি কি সম্ভব যে 3 টি ভেক্টরগুলির সাথে সমস্ত নেতিবাচক যুগল সম্পর্ক রয়েছে?

Question

তিন ভেক্টর দেওয়া , এবং , এটা যে মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে পায় সম্ভব এবং , এবং ও এবং সমস্ত নেতিবাচক হয়? অর্থাৎ এটা কি সম্ভব?খ গ একটি খ একটি গ খ $a$$b$$c$$a$$b$$a$$c$$b$$c$

$$\begin{align} \text{corr}(a,b) < 0\\ \text{corr}(a,c) < 0 \\ \text{corr}(b,c) < 0\\ \end{align}$$

Comments

Gণাত্মক পারস্পরিক সম্পর্কগুলি জ্যামিতিকভাবে বোঝানো হয় যে কেন্দ্রিক ভেক্টরগুলি পারস্পরিকভাবে অবিচ্ছিন্ন কোণ তৈরি করে। এই সম্পত্তি রয়েছে এমন বিমানটিতে তিনটি ভেক্টরের একটি কনফিগারেশন আঁকতে আপনার কোনও সমস্যা হবে না।

— শুক্র

এগুলি সম্পূর্ণ নেতিবাচকভাবে সম্পর্কিত হতে পারে না ( $\rho=-1$ ), তবে সাধারণভাবে কিছু নেতিবাচক পারস্পরিক সম্পর্ক হতে পারে, আবার অন্যান্য সম্পর্কগুলির দ্বারা সেট করা সীমানা।

— করাকফা

@ শুভ আপনার মন্তব্য হাইকি পুল্ককিনেনের উত্তরের বিরোধী বলে মনে হচ্ছে, যা দাবি করে যে এটি বিমানের ভেক্টরদের পক্ষে অসম্ভব। আপনি যদি এর পাশে দাঁড়িয়ে থাকেন তবে আপনার মন্তব্যটি একটি উত্তরে পরিণত করা উচিত।

— আরএম

@ আরএম হ'ল হুইকি এবং হাইকির মধ্যে কোনও দ্বন্দ্ব নেই। এই প্রশ্নের তথ্য ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে জিজ্ঞেস করে $X$ এর $n\times 3$ আকার। সাধারণত আমরা 3 টি মাত্রায় $n$ ডাটা পয়েন্ট সম্পর্কে কথা বলব , তবে এই প্রশ্নটি $n$ মাত্রায় তিনটি "ভেক্টর" সম্পর্কে কথা বলছে । Heikki বলছেন যে সমস্ত নেতিবাচক সম্পর্কযুক্তরূপে যদি ঘটতে পারে না $n=2$ (প্রকৃতপক্ষে, কেঁদ্রীকরণ পর দুই পয়েন্ট সবসময় পুরোপুরি সম্পর্কিত, তাই সম্পর্কযুক্তরূপে হওয়া আবশ্যক $\pm 1$ এবং সব হতে পারে না $-1$ )। হুবার বলে যে $n$ মাত্রায় 3 টি ভেক্টর কার্যকরভাবে 2-মাত্রিক উপ-স্পেসে থাকতে পারে (যেমন $X$র‌্যাঙ্ক 2) এবং কোনও মার্সিডিজ লোগো কল্পনা করার পরামর্শ দেয়।

— অ্যামিবা

সম্পর্কিত: তিনটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের পারস্পরিক সম্পর্কের জন্য সীমাবদ্ধ । (সিসি, @ অ্যামিবা)

— মনিকা

Answer 1

ভেক্টরের আকার 3 বা তার বেশি হলে এটি সম্ভব। উদাহরণ স্বরূপ

$$\begin{align} a &= (-1, 1, 1)\\ b &= (1, -9, -3)\\ c &= (2, 3, -1)\\ \end{align}$$

পারস্পরিক সম্পর্কগুলি

$$\begin{equation} \text{cor}(a,b) = -0.80...\\ \text{cor}(a,c) = -0.27...\\ \text{cor}(b,c) = -0.34... \end{equation}$$

আমরা প্রমাণ করতে পারি যে আকার 2 এর ভেক্টরগুলির পক্ষে এটি সম্ভব নয়:

$$\begin{align} \text{cor}(a,b) &< 0\\[5pt] 2\Big(\sum_i a_i b_i\Big) - \Big(\sum_i a_i\Big)\Big(\sum_i b_i\Big) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 + a_2)(b_1 b_2) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 + a_2)(b_1 b_2) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_2 b_2 &< 0\\[5pt] a_1 b_1 + a_2 b_2 - a_1 b_2 + a_2 b_1 &< 0\\[5pt] a_1 (b_1-b_2) + a_2 (b_2-b_1) &< 0\\[5pt] (a_1-a_2)(b_1-b_2) &< 0 \end{align}$$

সূত্র জ্ঞান করে তোলে যদি চেয়ে বড় একটি 2 , খ 1 চেয়ে বড় হতে হয়েছে খ 1 পারস্পরিক সম্পর্ক নেতিবাচক করা।$a_1$$a_2$$b_1$$b_1$

একইভাবে (ক, গ) এবং (খ, সি) এর মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে

$$\begin{equation} (a_1-a_2)(c_1-c_2) < 0\\ (b_1-b_2)(c_1-c_2) < 0\\ \end{equation}$$

স্পষ্টতই, এই তিনটি সূত্র একই সময়ে ধরে রাখতে পারে না।

Comments

Another example of something unexpected that only happens in dimension three or higher.

— nth

With vectors of size $2$, correlations are usually $\pm1$ (straight line through two points), and you cannot have three correlations of $-1$ with three vectors of any size

— Henry

Answer 2

Yes, they can.

Suppose you have a multivariate normal distribution $X\in R^3, X\sim N(0,\Sigma)$. The only restriction on $\Sigma$ is that it has to be positive semi-definite.

So take the following example $\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & -0.2 & -0.2 \\ -0.2 & 1 & -0.2 \\ -0.2 & -0.2 & 1 \end{pmatrix}$

Its eigenvalues are all positive (1.2, 1.2, 0.6), and you can create vectors with negative correlation.

Answer 3

let's start with a correlation matrix for 3 variables

$\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & p & q \\ p & 1 & r \\ q & r & 1 \end{pmatrix}$

non-negative definiteness creates constraints for pairwise correlations $p,q,r$ which can be written as

$$pqr \ge \frac{p^2+q^2+r^2-1}2$$

For example, if $p=q=-1$, the values of $r$ is restricted by $2r \ge r^2+1$, which forces $r=1$. On the other hand if $p=q=-\frac12$, $r$ can be within $\frac{2 \pm \sqrt{3}}4$ range.

Answering the interesting follow up question by @amoeba: "what is the lowest possible correlation that all three pairs can simultaneously have?"

Let $p=q=r=x < 0$, Find the smallest root of $2x^3-3x^2+1$, which will give you $-\frac12$. Perhaps not surprising for some.

A stronger argument can be made if one of the correlations, say $r=-1$. From the same equation $-2pq \ge p^2+q^2$, we can deduce that $p=-q$. Therefore if two correlations are $-1$, third one should be $1$.

Comments

See stats.stackexchange.com/questions/72790/…, inter alia.

— whuber

Answer 4

A simple R function to explore this:

f <- function(n,trials = 10000){
  count <- 0
  for(i in 1:trials){
    a <- runif(n)
    b <- runif(n)
    c <- runif(n)
    if(cor(a,b) < 0 & cor(a,c) < 0 & cor(b,c) < 0){
      count <- count + 1
    }
  }
  count/trials
}

As a function of n, f(n) starts at 0, becomes nonzero at n = 3 (with typical values around 0.06), then increases to around 0.11 by n = 15, after which it seems to stabilize:

So, not only is it possible to have all three correlations negative, it doesn't seem to be terribly uncommon (at least for uniform distributions).