শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্রের পিছনে অন্তর্দৃষ্টি কী?

Question

জন্য সূত্র শর্তাধীন সম্ভাব্যতা এর $\text{A}$ প্রদত্ত ঘটছে যে $\text{B}$ ঘটেছে হল:

$$P\left(\text{A}~\middle|~\text{B}\right)=\frac{P\left(\text{A} \cap \text{B}\right)}{P\left(\text{B}\right)}.$$

আমার পাঠ্যপুস্তক ভেন চিত্রের নিরিখে এর পেছনের স্বজ্ঞাততা ব্যাখ্যা করে।

প্রদত্ত যে ঘটেছে, এর জন্য একমাত্র উপায় জন্য ইভেন্ট ছেদ পড়া ঘটতে হয় এবং ।এ এ $\text{B}$$\text{A}$$\text{A}$$\text{B}$

সেক্ষেত্রে, সম্ভাবনা না কেবল সম্ভাবনা সমান হতে ছেদ , যেহেতু এই ঘটনা ঘটতে পারে যে একমাত্র উপায়? আমি কী মিস করছি? ক $P\left(\text{A} \middle| \text{B}\right)$$\text{A}$$\text{B}$

Comments

"শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা" কী তা সম্পর্কে আপনার কোন অন্তর্বাহী ধারণা আছে, যদি আমরা কিছুক্ষণের জন্য এটি কীভাবে গণনা করতে পারি?

— জুহো কোক্কালা

বি (ঘটনা যে কন্ডিশনার দ্বারা করেনি ঘটেছে), আপনি আপনার থেকে ফলাফল স্থান সীমিত বি কেবল (পুরো সমতল)। আপনি বি এর বাইরে যা কিছু ভুলে গেছেন তা ঘটনার সম্ভাবনাটি খ এর সাথে শ্রদ্ধার সাথে পরিমাপ করতে হবে, যেহেতু সম্ভাবনা 0 এবং 1 এর মধ্যে রয়েছে$\Omega$

— ভ্লাদিসালভস ডভগ্যালিক্স

আপনি এই ঘটনাটি মিস করছেন যে ইভেন্ট বি ঘটেছে একবার আপনি জানেন যে ইভেন্টের চেনাশোনা অংশের সাদা অংশটি আর জনসংখ্যার অংশ নয়।

— মন্টি হার্ড

অন্তর্দৃষ্টি সঠিক নয়, না তারা একক, তাই কেন (একবচন) সঠিক অন্তর্দৃষ্টি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা? একটি দরকারী অন্তর্দৃষ্টি যথেষ্ট, কিন্তু সমস্ত পরামর্শ সমস্ত লোকের জন্য কার্যকর হবে না।

— জন কোলম্যান

Answer 1

একটি ভাল অন্তর্দৃষ্টি দেওয়া হয় যে বি ঘটেছিল A A এর সাথে বা ছাড়া A এ এর ​​সম্ভাবনা কত? অর্থাৎ, আমরা এখন মহাবিশ্বে রয়েছি যেখানে খ ঘটেছিল — পুরো ডান বৃত্ত। সেই বৃত্তে, A এর সম্ভাবনা হ'ল বৃত্তের ক্ষেত্রফল দ্বারা বিভাজিত A ছেদক B এর অঞ্চল।

Comments

অন্য কথায় - আমি আপনাকে বলি ঘটেছে যার অর্থ আমরা বি বৃত্তে থাকি । এই পৃথিবীর মধ্যে, লেন্সে ( এ ∩ বি ) কতগুলি ইভেন্ট রয়েছে ? $B$$B$$A\cap B$

— মাইকেলচিরিকো

Answer 2

আমি এটি এরকমভাবে ভাবব: আমি স্বীকার করি যে আপনি অন্তর্দৃষ্টিটি বোঝেন অবধি:

বিটি ঘটেছে তা প্রদত্ত, A হওয়ার একমাত্র উপায় হ'ল এ এবং বি এর ছেদটি পর্যন্ত পড়তে for

এবং আমি আপনাকে পোস্ট করা দ্বিতীয় চিত্রটি মন্তব্য করতে চলেছি:

1. কল্পনা করুন যে সমগ্র সাদা আয়তক্ষেত্র আপনার নমুনা স্থান ।$\Omega$

   কোনও সংকেতে সম্ভাব্যতা অর্পণ করার অর্থ আপনি সেটটিকে কিছুটা অর্থে পরিমাপ করছেন। এটি একইরকম যেমন আপনি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রটি পরিমাপ করেছেন তবে সম্ভাবনা হ'ল আলাদা ধরণের পরিমাপের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে (আমি এ সম্পর্কে আরও কিছু বলব না)।

2. আপনি জানেন যে এবং এটি এর অর্থ ব্যাখ্যা করা হয়:$P(\Omega) = 1$

   সমস্ত ইভেন্টের প্রতিনিধিত্ব করে যা ঘটতে পারে এবং কিছু ঘটেছিল তাই আমাদের মধ্যে কিছু ঘটে যাওয়ার 100% সম্ভাবনা রয়েছে।$\Omega$

3. অনুরূপভাবে সেট একটি সম্ভাবনা আছে পি ( একটি ) যে আনুপাতিক নমুনা স্থান সম্ভাবনা থেকে Ω । গ্রাফিক্যালি ভাষী আপনি দেখতে যে একজন ⊂ -এর সাথে Ω অত: পর পরিমাপ একটি (তার সম্ভাব্যতা পি ( একটি ) ) চেয়ে ক্ষুদ্রতর হতে হয়েছে পি ( Ω ) । একই যুক্তি সেট এ ∩ বি সেট বৈধ । এই সেট পরিমাপ করা যায় এবং তার পরিমাপ পি ( একটি ∩ বি ) ।$A$$P(A)$$\Omega$$A \subset \Omega$$A$$P(A)$$P(\Omega)$$A \cap B$$P(A \cap B)$

4. তোমাকে বলেছিলাম এখন যে ঘটেছে আপনি চিন্তা করতে হবে যেন বি আপনার "নতুন" ছিল Ω । তাহলে বি আপনার "নতুন" হয় Ω সবকিছু সেট ঘটে যে নিশ্চিত তারপর আপনি হতে পারেন 100% বি ।$B$$B$$\Omega$$B$$\Omega$$B$

   এবং এর অর্থ কী? এর অর্থ হ'ল, এখন "নতুন" প্রতিযোগিতায় এবং আপনাকে "নতুন" নমুনা স্পেস বি এর শর্তে প্রকাশ করতে হবে তা বিবেচনায় নিয়ে সমস্ত সম্ভাব্য পদক্ষেপগুলি পুনরুদ্ধার করতে হবে । এটি একটি সাধারণ অনুপাত।$P(B \mid B) =1$$B$

   আপনার স্বজ্ঞাততা প্রায় সঠিক যখন আপনি এটি বলেন:

পি (এ | বি) এর সম্ভাবনা কেবল এ ছেদ বি এর সম্ভাবনার সমান হবে

এবং "প্রায়" এর কারণেই এখন আপনার নমুনার স্থান পরিবর্তিত হয়েছে (এটি এখন ) এবং আপনি সেই অনুযায়ী পি ( এ ∩ বি ) পুনরুদ্ধার করতে চান ।$B$$P(A \cap B)$

5. নতুন পৃথিবীতে পি ( এ ∣ বি ) আপনার পি ( এ ∩ বি ) যেখানে নমুনার স্থান এখন বি । কথায় কথায় আপনি এটিকে বলবেন (এবং দয়া করে সেটগুলি সহ চিত্রটিতে এটি দেখার চেষ্টা করুন):$P(A \mid B)$$P(A \cap B)$$B$

   নতুন জগতে পরিমাপ মধ্যে অনুপাত এবং পরিমাপ একটি ∩ বি পরিমাপ মধ্যে অনুপাত হিসাবে একই হতে হবে Ω এবং পরিমাপ একটি | $B$$A\cap B$$\Omega$$A \mid B$

6. শেষ পর্যন্ত গাণিতিক ভাষায় এটি অনুবাদ করুন (একটি সাধারণ অনুপাত):

$$P(B):P(A \cap B) = P(\Omega):P(A \mid B)$$

এবং যেহেতু এটি অনুসরণ করে:$P(\Omega)=1$

$$P(A \mid B)= P(A \cap B):P(B)$$

Answer 3

আপনি নীচের সমস্যাটি সম্পর্কে সহজেই চিন্তাভাবনা দেখবেন।

ধরুন, আপনার 10 টি বল রয়েছে: 6 কালো এবং 4 টি লাল। কালো বলগুলির মধ্যে 3 টি দুর্দান্ত এবং লাল বলগুলির মধ্যে 1 টি দুর্দান্ত। এএ ব্ল্যাক বলটি কী দুর্দান্ত?

উত্তরটি খুব সহজ: এটি 50%, কারণ মোট 6 টি কালো বলের মধ্যে আমাদের কাছে 3 টি দুর্দান্ত বল রয়েছে।

আপনি আমাদের সমস্যার সম্ভাবনাগুলি এইভাবে ম্যাপ করুন:

• কালো এবং অসাধারণ যে 3 টি বল $P(A \cap B)$
• 6 টি কালো যা $P(B)$
• সম্ভাবনাটি যে কোনও বলটি দুর্দান্ত যখন আমরা জানি যে এটি কালো: $P(A\mid B)$

Comments

Would it not make more sense to write $n(B)=6$ rather than $P(B)=6$?

— Silverfish

@Silverfish It would be more accurate, but I was after the intuition in this case

— Aksakal

Answer 4

For a basic intuition of the conditional probability formula, I always like using a two way table. Let's say there are 150 students in a yeargroup, of whom 80 are female and 70 male, each of whom must study exactly one language course. The two-way table of students taking different courses is:

        | French   German   Italian  | Total
-------- --------------------------- -------
Male    |     30       20        20  |    70
Female  |     25       15        40  |    80
-------- --------------------------- -------
Total   |     55       35        60  |   150

Given that a student takes the Italian course, what is the probability they are female? Well the Italian course has 60 students, of whom 40 are females studying Italian, so the probability must be:

$$P(\text{F|Italian})=\frac{n(\text{F} \cap \text{Italian})}{n(\text{Italian})}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$$

where $n(A)$ is the cardinality of the set $A$, i.e. the number of items it contains. Note that we needed to use $n(\text{F} \cap \text{Italian})$ in the numerator and not just $n(\text{F})$, because the latter would have included all 80 females, including the other 40 who do not study Italian.

But if the question were flipped around, what is the probability that a student takes the Italian course, given that they are female? Then 40 of the 80 female students take the Italian course, so we have:

$$P(\text{Italian|F})=\frac{n(\text{Italian} \cap \text{F})}{n(\text{F})}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$

I hope this provides intuition for why

$$P(A|B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}$$

Understanding why the fraction can be written with probabilities instead of cardinalities is a matter of equivalent fractions. For example, let us return to the probability a student is female given that they are studying Italian. There are 150 students in total, so the probability that a student is female and studies Italian is 40/150 (this is a "joint" probability) and the probability a student studies Italian is 60/150 (this is a "marginal" probability). Note that dividing the joint probability by the marginal probability gives:

$$\frac{P(\text{F} \cap \text{Italian})}{P(\text{Italian})}=\frac{40/150}{60/150}=\frac{40}{60}=\frac{n(\text{F} \cap \text{Italian})}{n(\text{Italian})}=P(\text{F|Italian})$$

(To see that the fractions are equivalent, multiplying numerator and denominator by 150 removes the "/150" in each.)

$\Omega$$n(\Omega)$

$$P(A|B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}=\frac{n(A \cap B)/n(\Omega)}{n(B)/n(\Omega)}=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Answer 5

I would reverse the logic. The probability that both $A$ and $B$ is either:

1. The probability $B$ happened, and that given that $A$ happened.
2. Same but reverse roles for $A$ and $B$

This will give you

$p(A\cap B)=p(B)p(A\mid B)$

If you're looking for a negative to your suggestion, it's while it's true the probability of $A$ given $B$ is contained in the probability of the product, the space you're rolling the dice in is smaller than your original probability space - you know for sure you're "in" $B$, hence you divide by the size of the new space.

Answer 6

The Venn diagram doesn't represent probability, it represents the measure of subsets of the event space. A probability is the ratio between two measures; the probability of X is the size of "everything that constitutes X" divided the size of "all the events being considered". Any time you're calculating a probability, you need both a "success space" and a "population space". You can't calculated a probability based just on "how big" the success space is. For instance, the probability of rolling a seven with two dice is the number of ways of rolling a seven divided by the total number of ways of rolling two dice. Just knowing the number of ways of rolling a seven is not enough to calculate the probability. P(A|B) is the ratio of the measure of the "both A and B happen" space and the measure of the "B happens" space. That's what the "|" means: it means "make what comes after this the population space".

Answer 7

আমি মনে করি এটি সম্পর্কে সর্বোত্তম উপায় হ'ল ধাপে ধাপে পথ আঁকানো।

আসুন ইভেন্ট বি বর্ণনা হিসাবে রোলিং একটি $4$ ন্যায্য ডাই - এটি সহজেই সম্ভাবনা রয়েছে তা দেখানো যেতে পারে $\frac{1}{6}$। এখন আসুন ইভেন্ট এটিকে স্ট্যান্ডার্ড 52-কার্ড ডেক কার্ডের মাধ্যমে টেক্কা হিসাবে বর্ণনা করুন - এটি সহজেই সম্ভাব্যতা দেখানো যেতে পারে$\frac{1}{13}$।

আসুন এখন একটি পরীক্ষা চালান যেখানে আমরা একটি ডাই রোল করি এবং তারপরে একটি কার্ড বাছাই করি। সুতরাং$P\left(A \middle| B\right)$ আমরা একটি এস আঁকার সম্ভাবনা হ'ল আমরা ইতিমধ্যে একটি ঘূর্ণিত করেছি given $4$। আপনি যদি চিত্রটি দেখুন, এটি হবে would$\frac{1}{6}$ পাথ (উপরে যান) এবং তারপরে $\frac{1}{13}$ পথ (আবার উপরে যান)।

স্বজ্ঞাতভাবে, মোট সম্ভাব্যতার জায়গাটি যা আমরা ইতিমধ্যে দেওয়া হয়েছে: ঘূর্ণায়মান $4$। আমরা উপেক্ষা করতে পারেন$\frac{1}{13}$ এবং $\frac{12}{13}$ প্রাথমিক ডাউন পথটি বাড়ে, যেহেতু এটি দেওয়া হয়েছিল যে আমরা ঘূর্ণিত হয়েছিল $4$. By law of multiplication, our total space is then $\left(\frac{1}{6}{\times}\frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{6}{\times}\frac{12}{13}\right)$.

Now what's the probability we drew an Ace, GIVEN that we rolled a $4$? The answer by using the path is $\left(\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13} \right)$, which we then need to divide by the total space. So we get

$$P\left(A \middle| B\right) = \frac{\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13}}{\left(\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{6} {\times} \frac{12}{13}\right)}.$$

Comments

I was wondering what the downvote was for, because probability trees can be very instructive. Perhaps the concern is that using independent events for the illustration misses the very point of conditional probability, which is that the probability distribution can change depending on the conditioning event. Using a less-superficial illustration may help.

— whuber

Answer 8

Think of it on terms of counts. Marginal probability is how many times A occurred divided by sample size. Joint probability of A and B is how many times A occurred together with B divided by sample size. Conditional probability of A given B is how many times A occurred together with B divided by how many times B occurred, i.e. only the A's "within" B's.

You can find nice visual illustration on this blog, that shows it using Lego blocks.

Answer 9

At the time of writing there is about 10 answers which seem to all miss the most important point: you are essentially right.

In that case, wouldn't the probability of P(A | B) simply be equal to the probability of A intersection B, since that's the only way the event could happen?

This is definitely true. This explains why the quantity we to define $P(A\vert B)$ is actually $P(A \cap B)$ rescaled.

What am I missing?

You are missing that the probability of B being satisfied given that B is satisfied should be 1 since this is quite a certain event, and not $P(B\cap B) = P(B)$ which can well be less than 1. Dividing by $P(B)$ makes the conditional probability of B given B equal to 1, as expected. Actually this is even better and makes the map $A \mapsto P(A\vert B)$ a probability – so a conditional probability is actually a probability.

Answer 10

I feel it is more intuitive when we have a concrete data to estimate the probabilities.

Let's use mtcars data as an example, the data looks like this (we only use number of cylinders and transmission type.)

> mtcars[,c("am","cyl")]
                    am cyl
Mazda RX4            1   6
Mazda RX4 Wag        1   6
Datsun 710           1   4
Hornet 4 Drive       0   6
...  
...
Ford Pantera L       1   8
Ferrari Dino         1   6
Maserati Bora        1   8
Volvo 142E           1   4

We can calculate the joint distribution on two variables by doing a cross table:

> prop.table(table(mtcars$cyl,mtcars$am))

          0       1
  4 0.09375 0.25000
  6 0.12500 0.09375
  8 0.37500 0.06250

The joint probability means we want to consider two variables at the same time. For example, we will ask how many cars are 4 cylinder and manual transmission.

Now, we come to conditional probability. I found the most intuitive way to explain conditional probability is using the term filtering on data.

Suppose we want to get $P(am=1|cyl=4)$, we will do following estimations:

> cyl_4_cars=subset(mtcars, cyl==4)
> prop.table(table(cyl_4_cars$am))

        0         1 
0.2727273 0.7272727 

This means, we only care cars have 4 cylinder. So we filter data on that. After filtering, we check how many of them are manual transmission.

You can compare conditional this with joint I mentioned earlier to feel the differences.

Answer 11

If A were a superset of B the probability that A happens is always 1 given that B happened, i.e. P(A|B) = 1. However, B itself may have a probability much smaller than 1.

Consider the following example:

• given x is a natural number in 1..100,
• A is 'x is an even number'
• B is 'x is divisible by 10'

we then have:

• P(A) is 0.5
• P(B) is 0.1

If we know that x is divisible by 10 (i.e.x is in B) we know that it is also an even number (i.e. x is in A) so P(A|B) = 1.

From Bayes' rule we have:

$$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

note that in our (special) case $P(A \cap B)$, i.e. the probability that x is both an even number and a number divisible by 10 is equal to the probability that x is a number divisible by 10. Therefore we have $P(A \cap B) = P(B)$ and plugging this back into Bayes' rule we get $P(A|B) = P(B) / P(B) = 1$.

---

For a non-degenerate example consider e.g. A is 'x is divisible by 7' and B is 'x is divisible by 3'. Then P(A|B) is equivalent to 'given that we know that x is divisible by 3 what is the probability that it is (also) divisible by 7 ?'. Or equivalently 'What fraction of the numbers 3, 6, ..., 99 are divisible by 7' ?

Answer 12

I think your initial statement may be a misunderstanding.

You wrote:

The formula for conditional probability of A happening, once B has happened is:

From your phrasing, it may sound as if there are 2 events "First B happened, and then we want to calculate the probability that A will happen".

This is not the case. (The following is valid whether there was a misunderstanding or not).

We have just 1 event, which is described by one of 4 possibilities:

1. neither $\text{A}$ nor $\text{B}$;

2. just $\text{A}$, not $\text{B}$;

3. just $\text{B}$, not $\text{A}$;

4. both $\text{A}$ and $\text{B}$.

Putting some example numbers on it, let's say

$$\begin{array}{ccccccc} P\left(\text{A}\right) = 0.5, & & P\left(\text{B}\right) = 0.5, & & \text{and} & & \text{A and B are independent}. \end{array}$$

It follows that

$$\begin{array}{ccccc} P\left(\text{A and B}\right)=0.25 & & \text{and} & & P\left(\text{neither A nor B}\right)=0.25. \end{array}$$

Initially (with no knowledge of the event), we knew $P\left(\text{AB}\right) = 0.25$.

But once we know that $\text{B}$ has happened, we are in a different space. $P\left(\text{AB}\right)$ is half of $P\left(\text{B}\right)$ so the probability of $\text{A}$ given $\text{B}$, $P\left(\text{A} \middle| \text{B}\right)$, is $0.5$. It is not $0.25$, knowing that $\text{B}$ has happened.

Answer 13

The conditioning probability is NOT equal to the probability of intersection. Here is an intuitive answer:

1) $P(B \mid A)$: "We know that $A$ happened. What is the probability that $B$ will happen?"

2: $P(A \cap B)$ : "We don't know if $A$ or $B$ did happen. What is the probability that both will happen?

The difference is that in the first one, we have extra information (we know that $A$ occurs first). In the second one we do not know anything.

Starting out with the probability of the second one, we can deduce the probability of the first one.

The event that both $A$ and $B$ will occur can happen in two ways:

1) The probability of $A$ AND the probability of $B$ given that $A$ happened.

2) The probability of $B$ AND the probability of $A$ given that $B$ happened.

It turns out that both situations are equally like to happen. (I cannot myself find out the intuitive reason). Thus we have to weight both scenarios with $0.5$

$P(A \cap B) = 1/2 * P(A \cap (B \mid A)) + 1/2*P(B \cap (A \mid B))$

Now use that $A$ and $B \mid A$ are independent and remember that both scenarios are equally likely to happen.

$P(A \cap B) = P(A) * P(B \mid A)$

Tadaaa... now isolate the probability of the conditioning!

btw. I would love if someone could explain why scenario 1 and 2 are equal. The key lies in there imo.