ফাংশন এবং বৈকল্পিক উত্পন্ন মুহুর্তের অস্তিত্ব

সীমাবদ্ধ গড় এবং অসীম বৈকল্পিক সহ কোনও বিতরণে কি মুহুর্তে উত্পন্ন কার্যকারিতা থাকতে পারে? সীমাবদ্ধ অর্থ এবং সসীম বৈকল্পিক তবে অসীম উচ্চতর মুহুর্তের সাথে বিতরণ সম্পর্কে কী বলা যায়?

variance moments mgf

— Mgf
সূত্র

ইঙ্গিত : যদি এমজিএফএফ শূন্যের কাছাকাছি ব্যবধানে উপস্থিত থাকে তবে কিছু টি-টি>> জন্য বলুন , তারপরে সমাধানটি আবিষ্কারের জন্য টেলর এবং ইন্টিগ্রালের কথা বিবেচনা করুন । :)

(- t_{0}, t_{0})

$(-t_0,t_0)$

t_{0} > 0

$t_0 > 0$

e^{x}

$e^x$

— কার্ডিনাল

একীভূতকরণের বিষয়গুলি উপেক্ষা করা (কেবলমাত্র এমজিএফএফ সম্পর্কে একটি আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজ হিসাবে চিন্তা করা), যদি কোনও মুহুর্তের অস্তিত্ব ব্যর্থ হয় তবে মিলিগ্রাম কী হতে পারে?

— whuber

কার্ডিনাল আপনি দয়া করে আমাদের সরবরাহ করা প্রস্তাব সম্পর্কে কিছু রেফারেন্স দিতে পারেন?

এই প্রশ্নটি মুহূর্ত-উত্পন্নকরণের কার্যাদি ( এমজিএফ ) সম্পর্কে কিছু তথ্য সংগ্রহ করার একটি দুর্দান্ত সুযোগ সরবরাহ করে ।

নীচের উত্তরে, আমরা নিম্নলিখিতটি করি:

দেখান যে যদি এমজিএফএফ কমপক্ষে একটি (কঠোরভাবে) ধনাত্মক মান এবং একটি নেতিবাচক মানের জন্য সসীম হয় তবে এর সমস্ত ধনাত্মক মুহুর্তগুলি সীমাবদ্ধ (নন-চারটি মুহুর্ত সহ) are $X$
প্রমাণ করুন যে উপরের প্রথম আইটেমের শর্তটি বন্টনের সমতুল্য বেঁধে থাকা লেজযুক্ত having অন্য কথায়, এর পুচ্ছগুলি কমপক্ষে তাত্পর্যপূর্ণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল (একটি ধ্রুবক পর্যন্ত) এর চেয়ে কমপক্ষে দ্রুত বন্ধ হয়ে যায় । $X$ $X$ $Z$
এর এমজিএফ দ্বারা বিতরণটির বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে একটি দ্রুত নোট সরবরাহ করুন শর্ত দেওয়া যে এটি আইটেম 1-এ শর্তটি সন্তুষ্ট করে।
আমাদের স্বজ্ঞাততাগুলিকে সহায়তা করার জন্য এবং বিশেষত, এমজিএফএফের চূড়ান্ততার অভাবের মধ্যে আমাদের অযৌক্তিক গুরুত্ব পড়তে হবে না তা দেখানোর জন্য কয়েকটি উদাহরণ এবং প্রতিবিম্বগুলি সন্ধান করুন।

এই উত্তরটি বেশ দীর্ঘ, যার জন্য আমি আগাম ক্ষমা চাই। এটি যদি আরও ভালভাবে স্থাপন করা হয়, যেমন, একটি ব্লগ পোস্ট হিসাবে বা অন্য কোথাও, দয়া করে মন্তব্যগুলিতে এই জাতীয় প্রতিক্রিয়া জানাতে নির্দ্বিধায় অনুভব করুন।

এমজিএফ মুহূর্তগুলি সম্পর্কে কী বলে?

একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের mgf হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় । নোট করুন যে সর্বদা উপস্থিত থাকে কারণ এটি একটি ননজেটিভ পরিমাপযোগ্য ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য। তবে সসীম নাও হতে পারে যদি । যদি হয় সসীম সবার জন্য (ডান স্থানে), তারপর (অগত্যা একটি পূর্ণসংখ্যা), পরম মুহূর্ত (এবং, তাই, এছাড়াও হয় সসীম)। এটি পরবর্তী প্রস্তাবের বিষয়। $X \sim F$ $m(t) = \mathbb E e^{tX}$ $m(t)$ $p > 0$ $\mathbb E |X|^p < \infty$ $\mathbb E X^p$

প্রস্তাবনা : যদি exists এবং এরকম এবং , তারপরে এর সমস্ত আদেশের মুহুর্তগুলি উপস্থিত এবং সসীমপূর্ণ। $\newcommand{\tn}{t_{n}}\newcommand{\tp}{t_{p}}\tn < 0$ $\tp > 0$ $m(\tn) < \infty$ $m(\tp) < \infty$ $X$

প্রমাণে ডুব দেওয়ার আগে এখানে দুটি দরকারী লেমমা দেওয়া আছে।

লেমা 1 : ধরুন এই জাতীয়। এবং বিদ্যমান রয়েছে। তারপরে , কোনও জন্য । প্রুফ । এটি সংলগ্নতা এবং ইন্টিগ্রালের একঘেয়েমি থেকে অনুসরণ করে । এমন কোন জন্য , অস্তিত্ব আছে যেমন যে । তবে, তারপর অতএব, অবিচ্ছেদ্য একঘেয়েত্ব দ্বারা, । $\tn$ $\tp$ $t_0 \in [\tn,\tp]$ $m(t_0) < \infty$
$e^x$ $t_0$ $\theta \in [0,1]$ $t_0 = \theta \tn + (1-\theta) \tp$

e^{t_{0} X} = e^{θ t_{n} X + (1 - θ) t_{p} X} \leq θ e^{t_{n} X} + (1 - θ) e^{t_{p} X} .

$e^{t_0 X} = e^{\theta \tn X + (1-\theta) \tp X} \leq \theta e^{\tn X} + (1-\theta) e^{\tp X} \>.$

E e^{t_{0} X} \leq θ E e^{t_{n} X} + (1 - θ) E e^{t_{p} X} < \infty

$\mathbb E e^{t_0 X} \leq \theta \mathbb E e^{\tn X} + (1-\theta) \mathbb E e^{\tp X} < \infty$

সুতরাং, যদি এমজিএফএফটি কোনও দুটি স্বতন্ত্র পয়েন্টে সসীম হয়, তবে এই পয়েন্টগুলির মধ্যে ব্যবধানে এটি সমস্ত মানের জন্য সীমাবদ্ধ।

থিম 2 ( এর পাখির স্পেস $L_p$ ): জন্য , যদি , তারপর । প্রুফ : এই উত্তর এবং সম্পর্কিত মন্তব্য দুটি পন্থা দেওয়া হয় । $0 \leq q \leq p$ $\mathbb E |X|^p < \infty$ $\mathbb E |X|^q < \infty$

এটি আমাদের প্রস্তাবের প্রমাণ সহ চালিয়ে যাওয়ার যথেষ্ট পরিমাণে সরবরাহ করে।

প্রস্তাবের প্রমাণ । প্রস্তাবনায় বর্ণিত হিসাবে যদি এবং উপস্থিত থাকে, তবে , আমরা প্রথম লেমা দ্বারা জানি যে এবং । তবে, এবং ডানদিকের দিকটি nonnegative পদগুলির সমন্বয়ে গঠিত, সুতরাং, বিশেষত, কোনও স্থির এখন, অনুমান দ্বারা । অবিচ্ছেদ্য ফলনের একঘেয়েমি । অতএব, সমস্ত $\tn < 0$ $\tp > 0$ $t_0 = \min(-\tn,\tp) > 0$ $m(-t_0) < \infty$ $m(t_0) < \infty$

e^{- t_{0} X} + e^{t_{0} X} = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{t_{0}^{2 n} X^{2 n}}{(2 n)!},

$e^{-t_0 X} + e^{t_0 X} = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{t_0^{2n} X^{2n}}{(2n)!} \>,$

k

$k$

e^{- t_{0} X} + e^{t_{0} X} \geq 2 t_{0}^{2 k} X^{2 k} / (2 k)! .

$e^{-t_0 X} + e^{t_0 X} \geq 2 t_0^{2k} X^{2k}/(2k)! \>.$

E e^{- t_{0} X} + E e^{t_{0} X} < \infty

$\mathbb E e^{-t_0 X} + \mathbb E e^{t_0 X} < \infty$

E X^{2 k} < \infty

$\mathbb E X^{2k} < \infty$ এমনকি এর মুহুর্তগুলিও সীমাবদ্ধ। লেমা 2 তত্ক্ষণাত আমাদের "শূন্যস্থান পূরণ" করতে দেয় এবং এই সিদ্ধান্তে পৌঁছে যে সমস্ত মুহুর্ত অবশ্যই সীমাবদ্ধ।

X

$X$

পরিণতি

হাতের প্রশ্নটি সম্পর্কে উত্সাহটি হ'ল এর কোনও মুহুর্ত যদি অসীম বা অস্তিত্বহীন থাকে তবে আমরা তাত্ক্ষণিকভাবে এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে এমজিএফটি উত্স সম্বলিত একটি মুক্ত ব্যবধানে সীমাবদ্ধ নয়। (এটি কেবলমাত্র প্রস্তাবের বিপরীতমুখী বক্তব্য)) $X$

সুতরাং, উপরের প্রস্তাবটি এর এমজিএফ এর উপর ভিত্তি করে এর মুহুর্তগুলি সম্পর্কে কিছু বলতে "ডান" শর্ত সরবরাহ করে । $X$

তাত্পর্যপূর্ণভাবে সীমাবদ্ধ লেজ এবং এমজিএফ

প্রোপজিসন : mgf একটি খোলা ব্যবধান সসীম হয় উৎপত্তি ধারণকারী যদি এবং কেবল যদি এর মুদ্রার উলটা পিঠ হয় ব্যাখ্যা মূলকভাবে বেষ্টিত , অর্থাত্, some কিছু এবং । $m(t)$ $(\tn,\tp)$ $F$ $\mathbb P( |X| > x) \leq C e^{-t_0 x}$ $C > 0$ $t_0 > 0$

প্রুফ । আমরা ডান লেজকে আলাদাভাবে ডিল করব। বাম লেজ সম্পূর্ণ অ্যানালগ্যালি পরিচালনা করা হয়।

$(\Rightarrow)$ ধরুন some কিছু জন্য । এর পরে, ডান লেজ হয় ব্যাখ্যা মূলকভাবে বেষ্টিত ; অন্য কথায়, এখানে এবং রয়েছে যা। এটি দেখতে, নোট করুন যে কোনও , মার্কভের অসমতার দ্বারা, নিন এবং প্রমাণ এই দিক সম্পন্ন করতে। $m(t_0) < \infty$ $t_0 > 0$ $F$ $C > 0$ $b > 0$

P (X > x) \leq C e^{- b x} .

$\mathbb P(X > x) \leq C e^{-b x} \>.$

t > 0

$t > 0$

P (X > x) = P (e^{t X} > e^{t x}) \leq e^{- t x} E e^{t X} = m (t) e^{- t x} .

$\mathbb P(X > x) = \mathbb P(e^{tX} > e^{tx}) \leq e^{-tx} \mathbb E e^{t X} = m(t) e^{-t x} \>.$

C = m (t_{0})

$C = m(t_0)$

b = t_{0}

$b = t_0$

$(\Leftarrow)$ ধরুন অস্তিত্ব আছে এবং যেমন যে । তারপরে, , যেখানে প্রথম সমতা একটি থেকে অনুসরণ করে nonnegative র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা সম্পর্কে স্ট্যান্ডার্ড ফ্যাক্ট । যে কোনও চয়ন করুন যে ; তারপরে, ডানদিকে অবিচ্ছেদ্য সীমাবদ্ধ। $C >0$ $t_0 > 0$ $\mathbb P(X > x) \leq C e^{-t_0 x}$ $t > 0$

E e^{t X} = \int_{0}^{\infty} P (e^{t X} > y) d y \leq 1 + \int_{1}^{\infty} P (e^{t X} > y) d y \leq 1 + \int_{1}^{\infty} C y^{- t_{0} / t} d y,

$\mathbb E e^{t X} = \int_0^\infty \mathbb P( e^{t X} > y)\,\mathrm dy \leq 1 + \int_1^\infty \mathbb P( e^{t X} > y)\,\mathrm dy \leq 1 + \int_1^\infty C y^{-t_0/t} \, \mathrm dy \>,$

t

$t$

0 < t < t_{0}

$0 < t < t_0$

এটি প্রমাণ সম্পূর্ণ করে।

এর এমজিএফ প্রদত্ত কোনও বিতরণের স্বতন্ত্রতার উপর একটি নোট

যদি এমজিএফএফ শূন্যযুক্ত একটি উন্মুক্ত ব্যবধানে সীমাবদ্ধ হয়, তবে সম্পর্কিত বিতরণটি তার মুহুর্তগুলি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় , অর্থাত্‍ মুহুর্তগুলির সাথে এটি কেবলমাত্র বিতরণ । চরিত্রগত কার্যাবলী সম্পর্কে কিছু (তুলনামূলকভাবে সোজাসাপ্টা) তথ্য হাতে পাওয়ার পরে একটি প্রমাণ প্রমাণ সংক্ষিপ্ত হয় । বিশদগুলি বেশিরভাগ আধুনিক সম্ভাব্য পাঠ্যগুলিতে পাওয়া যায় (যেমন, বিলিংসলে বা ডুরেট)। এ সম্পর্কিত কয়েকটি দম্পতি সম্পর্কিত আলোচনা করা হয়েছে । $\mu_n = \mathbb E X^n$

উদাহরণ এবং পাল্টা উদাহরণ

( একটি ) Lognormal বন্টন : lognormal হলে কিছু স্বাভাবিক দৈব চলক জন্য । সুতরাং সম্ভাব্যতার সাথে । কারণ সবার জন্য , এই অবিলম্বে আমাদের যে বলে জন্য সব । সুতরাং, mgf নন-নেগেটিভ অর্ধ লাইনে সসীম হয় (। বিশেষ দ্রষ্টব্য আমরা কেবলমাত্র এর nonnegativity ব্যবহার করেছি , এই সত্য প্রতিষ্ঠা করতে তাই এই থেকে সত্য সব নন-নেগেটিভ র্যান্ডম ভেরিয়েবল)। $X$ $X = e^Y$ $Y$ $X \geq 0$ $e^{-x} \leq 1$ $x \geq 0$ $m(t) = \mathbb E e^{t X} \leq 1$ $t < 0$ $(-\infty,0]$ $X$

তবে সকল জন্য । আমরা ক্যানোনিকাল কেস হিসাবে স্ট্যান্ডার্ড লগনারামাল নেব। যদি , তবে । ভেরিয়েবল পরিবর্তন করে আমাদের জন্য এবং বৃহৎ যথেষ্ট , আমরা দেওয়া উপরোক্ত সীমার দ্বারা। তবে, any যে কোনও জন্য , এবং তাই mgf সমস্ত জন্য অসীম । $m(t) = \infty$ $t > 0$ $x > 0$ $e^{x} \geq 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3$

E e^{t X} = (2 π)^{- 1 / 2} \int_{- \infty}^{\infty} e^{t e^{u} - u^{2} / 2} d u .

$\mathbb E e^{t X} = (2\pi)^{-1/2} \int_{-\infty}^\infty e^{t e^u - u^2/2} \,\mathrm d u \>.$

t > 0

$t > 0$

u

$u$

t e^{u} - u^{2} / 2 \geq t + t u

$t e^u - u^2/2 \geq t+tu$

\int_{K}^{\infty} e^{t + t u} d u = \infty

$\int_{K}^\infty e^{t + tu} \,\mathrm du = \infty$

K

$K$

t > 0

$t > 0$

অন্যদিকে, লগনরমাল বিতরণের সমস্ত মুহুর্ত সীমাবদ্ধ। সুতরাং, শূন্য সম্পর্কে একটি ব্যবধান mgf এর অস্তিত্ব না উপরে প্রতিজ্ঞা শেষে প্রয়োজনীয় ।

( খ ) প্রতিসম লগন্যর্মাল : লগন্যরমাল ডিস্ট্রিবিউশনকে "সমমিতকরণ" করে আমরা আরও চরম কেস পেতে পারি। ঘনত্ব বিবেচনা জন্য যেমন যে পূর্ববর্তী উদাহরণের আলোকে দেখা খুব কঠিন নয় যে এমগ্রিফ কেবলমাত্র জন্য সীমাবদ্ধ । তবুও, এমনকি লঘনের মুহুর্তগুলি হ'ল লগনরমালের মতো এবং বিজোড় মুহুর্তগুলি সমস্ত শূন্য! সুতরাং, এমজিএফএফ কোথাও বিদ্যমান নেই (যেখানে এটি সর্বদা উপস্থিত থাকে সেগুলি ব্যতীত) এবং তবুও আমরা সমস্ত আদেশের সীমাবদ্ধ মুহুর্তের গ্যারান্টি দিতে পারি। $f(x)$ $x \in \mathbb R$

f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{2 π} | x |} e^{- \frac{1}{2} (\log | x |)^{2}} .

$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}|x|} e^{-\frac{1}{2} (\log |x|)^2} \>.$

t = 0

$t = 0$

( গ ) কচী বিতরণ : এই বিতরণে একটি এমজিএফও রয়েছে যা সমস্ত জন্য অসীম তবে কোনও নিখুঁত মুহুর্ত এর সীমাবদ্ধ নয় । Mgf জন্য ফলাফলের জন্য নিম্নরূপ যেহেতু জন্য এবং তাই এর প্রমাণ অভিন্ন। (সম্ভবত কিছুটা কম সুপরিচিত যে জন্য মুহূর্ত হয় না কোশি জন্য বিদ্যমান। এই উত্তরটি দেখুন $t \neq 0$ $\mathbb E|X|^p$ $p \geq 1$ $t > 0$ $e^x \geq x^3 / 6$ $x > 0$

E e^{t X} \geq \int_{1}^{\infty} \frac{t^{3} x^{3}}{6 π (1 + x^{2})} d x \geq \frac{t^{3}}{12 π} \int_{1}^{\infty} x d x = \infty .

$\mathbb E e^{tX} \geq \int_1^\infty \frac{t^3 x^3}{6\pi(1+x^2)} \,\mathrm dx \geq \frac{t^3}{12\pi} \int_1^\infty x \,\mathrm dx = \infty \>.$

t < 0

$t < 0$

0 < p < 1

$0 < p < 1$ ।)

( d ) অর্ধ-কচী বিতরণ : যদি (মানক) কচচি হয় তবে কল করুন একটি অর্ধ-কচী এলোমেলো পরিবর্তনশীল। তারপরে, পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে এটি সহজেই পাওয়া যায় যে all all সমস্ত জন্য ; তবুও, জন্য সীমাবদ্ধ । $X$ $Y = |X|$ $\mathbb E Y^p = \infty$ $p \geq 1$ $\mathbb E e^{tY}$ $t \in (-\infty,0]$

— অঙ্কবাচক
সূত্র

এটি পোস্ট করার জন্য ধন্যবাদ - এটি কতটা প্রযুক্তিগত তা বিবেচনা করে - এটি আশ্চর্যজনকভাবে বোঝা সহজ well

— ম্যাক্রো

আপনি কি হিলবার্ট স্পেসের এমজিএফ সম্পর্কে কোনও ফলাফল জানেন?

— Badatmath