এলোমেলো অর্থ কি তার নিজস্ব পিডিএফ বা সিডিএফ এলোমেলো ভেরিয়েবল যুক্ত করার পিছনে?

একটি PDF সাধারণত যেমন লেখা আছে , যেখানে ছোট হাতের একটি আদায় বা দৈব চলক ফলাফল হিসাবে গণ্য হবে যা পিডিএফ হয়েছে। একইভাবে, একটি সিডিএফ হিসাবে লেখা হয় , যার অর্থ । যাইহোক, কিছু পরিস্থিতিতে যেমন স্কোর ফাংশনটির সংজ্ঞা এবং সিডিএফটি সমানভাবে বিতরণ করা হয়েছে এমন ডাইরিভিশন , এটি প্রদর্শিত হয় যে এলোমেলো ভেরিয়েবল এর নিজস্ব পিডিএফ / সিডিএফ প্লাগ ইন করা হচ্ছে; এটি করার মাধ্যমে আমরা একটি নতুন এলোমেলো পরিবর্তনশীল বা $f(x|\theta)$ $x$ $X$ $F_X(x)$ $P(X<x)$ $X$ $Y=f(X|\theta)$ $Z=F_X(X)$ । আমি মনে করি না যে আমরা এটিকে আর পিডিএফ বা সিডিএফ বলতে পারি কারণ এটি এখন নিজেই এলোমেলো পরিবর্তনশীল, এবং পরবর্তী ক্ষেত্রে "ব্যাখ্যা" আমার কাছে মতো বলে মনে হয়। $F_X(X)=P(X<X)$

অতিরিক্ত হিসাবে, উপরের পরবর্তী ক্ষেত্রে, আমি নিশ্চিত "আমি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সিডিএফ একটি অভিন্ন বন্টন অনুসরণ করে" উক্তিটি বুঝতে পেরেছি বলে আমি নিশ্চিত নই। সিডিএফ একটি ফাংশন, এলোমেলো পরিবর্তনশীল নয়, এবং এর ফলে কোনও বিতরণ নেই। বরং, যা অভিন্ন বিতরণ রয়েছে তা হল নিজস্ব সিডিএফ উপস্থাপন করে এমন ফাংশনটি ব্যবহার করে এলোমেলো পরিবর্তনশীল রূপান্তরিত, তবে কেন এই রূপান্তরটি অর্থবহ তা আমি দেখতে পাচ্ছি না। স্কোর ফাংশনের ক্ষেত্রেও এটি একই রকম হয়, যেখানে আমরা ফাংশনে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল প্লাগ করছি যা তার নিজস্ব লগ-সম্ভাবনা উপস্থাপন করে।

আমি এই রূপান্তরগুলির পিছনে একটি স্বজ্ঞাত অর্থের চেষ্টা করার জন্য কয়েক সপ্তাহ ধরে আমার মস্তিষ্ককে টেনে নিয়ে যাচ্ছি, তবে আমি আটকে আছি। কোন অন্তর্দৃষ্টি ব্যাপকভাবে প্রশংসা হবে!

— মাই
সূত্র

স্বরলিপি আপনাকে বিভ্রান্ত করতে পারে। যেমন, ঠিক প্রয়োগের মতো অর্থপূর্ণ কোনো থেকে পরিমাপযোগ্য ফাংশন হবে। সঠিক ব্যাখ্যার জন্য আপনাকে এলোমেলো পরিবর্তনশীল কী তা সম্পর্কে খুব পরিষ্কার হওয়া দরকার । কোনো দৈব চলক জন্য ফাংশন জন্য পরিষ্কারভাবে একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এবং সেইজন্য রয়েছে বন্টন( " " " চিহ্নের দুটি স্বতন্ত্র অর্থ দ্রষ্টব্য ।") এর ক্রমাগত বিতরণ থাকলে এবং কেবলমাত্র যদি অভিন্ন হয় ।

F_{X} (X)

$F_X(X)$

X

$X$

X : Ω \to R,

$X:\Omega\to\mathbb{R},$

Y : ω \to F_{X} (X (ω))

$Y:\omega\to F_X(X(\omega))$

ω \in Ω

$\omega\in\Omega$

F_{Y} .

$F_Y.$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

F_{Y}

$F_Y$

X

$X$

— whuber

এটি আসলে কোনও পরিমাপ-তাত্ত্বিক সমস্যা নয়: এটি বোঝার জন্য আপনি "পরিমাপযোগ্যতা" -এর সমস্ত তথ্য নিরাপদে উপেক্ষা করতে পারেন। আপনার স্নাতক ক্যারিয়ারের প্রথম দিকে কিছুটা সেট তত্ত্ব অধ্যয়ন করার মাধ্যমে আপনি উপকৃত হতে পারেন: এদিকেই বেশিরভাগ লোকেরা এই মৌলিক (এবং সর্বব্যাপী) গাণিতিক পরিভাষা এবং স্বরলিপিটি কী বোঝায় তা শিখেন, তাই এটি শেখা বন্ধ না করাই ভাল।

— শুক্র

কেন একটি পাগল জিনিসটি এইরকম করা উচিত তার একটি শব্দ: নিজের ঘনত্বের মধ্যে একটি আরভি ?োকানো হয় !! ?! একটি উদাহরণ: আপনি X এর ঘনত্ব অনুমান করতে চান তবে আপনি সংহত করে আপনি কতটা ভাল তা মাপতে পারবেন তবে এটি "অন্যায়": আপনি কখনই ভাল আনুমানিকতা অর্জন করতে পারবেন না অনেকগুলি ডেটা উদাহরণ (সত্যিকারের ঘনত্বটি ছোট)। সুতরাং, একটি "ন্যায্য" মূল্যায়ন সত্য ঘনত্ব দ্বারা শব্দটি ওজন করা হবে। আরভি তাদের নিজস্ব ঘনত্বের মধ্যে ofোকানোর প্রভাব এটি কমবেশি ...

f (x) - f_{X} (x)

$f(x)-f_X(x)$

— ফ্যাবিয়ান ওয়ার্নার

এছাড়াও দেখুন stats.stackexchange.com/questions/324768/…

— ফ্যাবিয়ান ওয়ার্নার

উত্তর:

আপনি যেমনটি বলেছেন, এলোমেলো ভেরিয়েবলের কোনও (পরিমাপযোগ্য) ফাংশন নিজেই একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল। এবং কে "যে কোনও পুরানো ফাংশন" হিসাবে ভাবা সহজ । তাদের কেবল কিছু দুর্দান্ত সম্পত্তি রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি মানক ঘনিষ্ঠ আরভি হয়, তবে এলোমেলো পরিবর্তনশীল about সম্পর্কে বিশেষত বিস্ময়ের কিছু নেই এটি ঠিক তাই ঘটে যে । সত্য যে একটি ইউনিফর্ম বন্টন (প্রদত্ত যে হয়েছে একটি ক্রমাগত আরভি হয়) এর সিডিএফ আহরিত দ্বারা সাধারণ ক্ষেত্রে জন্য দেখা যেতে পারে । $f(x)$ $F(x)$ $X$

Y = 1 - e^{- X}

$Y = 1 - e^{-X}$

Y = F_{X} (X)

$Y=F_X(X)$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

\begin{aligned} F_{Y} (y) & = P (Y \leq y) \\ = P (F_{X} (X) \leq y) \\ = P (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) \\ = F_{X} (F_{X}^{- 1} (y)) \\ = y \end{aligned}

$\begin{align*} F_Y(y) &= P(Y \leq y) \\ &= P(F_X(X) \leq y) \\ &= P(X \leq F^{-1}_X(y)) \\ &= F_X(F^{-1}_X(y)) \\ &= y \end{align*}$

যা স্পষ্টভাবে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সিডিএফ । দ্রষ্টব্য: প্রমাণের এই সংস্করণটি ধরে নিয়েছে যে কঠোরভাবে বৃদ্ধি এবং অবিচ্ছিন্ন, তবে আরও সাধারণ সংস্করণ দেখানো খুব বেশি কঠিন নয় not $U(0,1)$ $F_X(x)$

— knrumsey
সূত্র

সর্বাধিক কঠোরভাবে বৃদ্ধি করার জন্য আপনার উপসংহারটি ভুল : আপনি the পরিচয়টি ধরে - তবে এটি সর্বদা ক্ষেত্রে হয় না।

F_{X}

$F_X$

F_{X} \circ F_{X}^{- 1}

$F_X\circ F_X^{-1}$

— whuber

হ্যাঁ, আপনাকে ধন্যবাদ. এলোমেলো ভেরিয়েবল স্পষ্টভাবে একটানা হতে হবে। আমি কি এখন কিছু মিস করছি?

X

$X$

— নরমসে

F_{X}

$F_X$ হওয়ার দরকার নেই। উদাহরণস্বরূপ, যেখানে নিজেই অভিন্ন বিতরণ রয়েছে! এর চিত্রটি বন্ধ করার জন্য পুরো ব্যবধানটি এটি মূলত একটি অবিচ্ছিন্ন বিতরণের সংজ্ঞা।

X

$X$

F_{X}

$F_X$

[0, 1] .

$[0,1].$

— whuber

একটি রুপান্তর একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন দ্বারা অন্য র্যান্ডম পরিবর্তনশীল রুপান্তর যা বন্টন বিপরীত সম্ভাবনা দেওয়া হয় sets সমস্ত সেটের জন্য এমন যে বিতরণে পরিমাপযোগ্য । $X$ $T:\mathcal{X}\longrightarrow\mathcal{Y}$ $Y=T(X)$

P (Y \in A) = P (X \in {x; T (x) \in A}) \overset{def}{=} P (X \in T^{- 1} (A))

$\mathbb{P}(Y\in A) = \mathbb{P}(X\in\{x;\,T(x)\in A\})\stackrel{\text{def}}{=} \mathbb{P}(X\in T^{-1}(A))$

A

$A$

{x; T (x) \in A}

$\{x;\,T(x)\in A\}$

X

$X$

এই সম্পত্তিটি বিশেষ ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যখন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর সিডিএফ : একটি নতুন এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা এ তার উপলব্ধি গ্রহণ করছে । ঘটনাচক্রে, একটি অভিন্ন হিসাবে বিতরণ করা হয় যখন একটানা নয়। (যদি সান্তার হয়, পরিসীমা আর নেই । কি ক্ষেত্রে দেখা যায় সবসময় যে যখন একটি অভিন্ন হয় , তারপর এর বিতরণ রয়েছে , যেখানে $F_X:\mathcal{X}\longrightarrow[0,1]$ $X$ $Y=F_X(X)$ $[0,1]$ $Y$ $\mathcal{U}([0,1])$ $F_X$ $F_X$ $Y=F_X(X)$ $[0,1]$ $U$ $\mathcal{U}([0,1])$ $F_X^{-}(U)$ $X$ $F_X^{-}$ এর সাধারণীকরণের বোঝায় । যা একটি আনুষ্ঠানিক উপায় (ক) একটি মৌলিক এর পরিমাপযোগ্য রূপান্তরগুলির হিসাবে র্যান্ডম ভেরিয়েবল বুঝতে যেহেতু সিডিএফ সঙ্গে একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এবং (খ ) সিডিএফ সাথে প্রদত্ত বিতরণ থেকে এলোমেলো পরিবর্তনগুলি উত্পন্ন করুন ) $F_X$ $\omega\in\Omega$ $X(\omega)=F_X^{-}(\omega)$ $F_X$ $F_X$

এর প্যারাডক্সটি বুঝতে , যদি প্রাসঙ্গিক পরিমাপ এবং সংশ্লিষ্ট ঘনত্বের হয়। তারপরে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল কারণ উপরের সীমানা অবিচ্ছেদ্য এলোমেলো। (এটি প্রকাশের একমাত্র এলোমেলো অংশ।) এ আপাত স্ববিরোধিতা মধ্যে বিভ্রান্তির কারণে। সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা, এক এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের দুটি স্বাধীন সংস্করণ প্রয়োজন , এবং $\mathbb{P}(X\le X)$

F_{X} (x) = P (X \leq x) = \int_{0}^{x} d F_{X} (x) = \int_{0}^{x} f_{X} (x) d λ (x)

$F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_0^x \text{d}F_X(x) = \int_0^x f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$

d λ

$\text{d}\lambda$

f_{X}

$f_X$

F_{X} (X) = \int_{0}^{X} d F_{X} (x) = \int_{0}^{X} f_{X} (x) d λ (x)

$F_X(X)=\int_0^X \text{d}F_X(x) = \int_0^X f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$

P (X \leq X)

$\mathbb{P}(X\le X)$

X

$X$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$ , যে ক্ষেত্রে দৈব চলক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় সম্ভাবনা বিতরণের জন্য নির্ণিত হচ্ছে ।

F_{X} (X_{1})

$F_X(X_1)$

F_{X} (X_{1}) = P^{X_{2}} (X_{2} \leq X_{1})

$F_X(X_1)=\mathbb{P}^{X_2}(X_2\le X_1)$

X_{2}

$X_2$

একই মন্তব্যটি ঘনত্ব (পিডিএফ), দ্বারা রূপান্তরিত ক্ষেত্রে প্রযোজ্য , যা একটি নতুন র্যান্ডম ভেরিয়েবল, পরিবর্তিত হওয়ার সাথে সাথে এর কোনও স্থির বিতরণ নেইউদাহরণস্বরূপ সম্ভাবনা অনুপাত বিবেচনা করার সময় এটি পরিসংখ্যানগত উদ্দেশ্যে কার্যকর তবে 2 x আনুমানিক একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল কিছু শর্ত। $f_X(X)$ $f_X$ $f_X(X|\hat{\theta}(X))/f_X(X|\theta_0)$ $\chi^2$

এবং একই স্কোর ফাংশন যা প্যারামিটারের সত্যিকারের মান হিসাবে নেওয়া হলে এটির প্রত্যাশা শূন্য হয় , অর্থাত্,

\frac{\partial \log f_{X} (X | θ)}{\partial θ}

$\dfrac{\partial \log f_X(X|\theta)}{\partial \theta}$

θ

$\theta$

E_{θ_{0}} [\frac{\partial \log f_{X} (X | θ_{0})}{\partial θ}] = \int \frac{\partial \log f_{X} (x | θ_{0})}{\partial θ} f_{X} (x | θ_{0}) d λ (x) = 0

$\mathbb{E}_{\theta_0}\left[ \dfrac{\partial \log f_X(X|\theta_0)}{\partial \theta}\right]=\int \dfrac{\partial \log f_X(x|\theta_0)}{\partial \theta}f_X(x|\theta_0)\,\text{d}\lambda(x)=0$

[উত্তরগুলি টাইপ করার সময় @ হুবহু এবং @ ক্রনরামসি তাদের নিজ নিজ উত্তর লিখছেন!]

— সিয়ান
সূত্র

আপনি কী কথায় কথায় ব্যাখ্যা করতে পারবেন বিবৃতিটির অর্থ / ব্যাখ্যা কী? এটি এখনও আমার কাছে মনে হয় যে "একটি আরভির সিডিএফ একটি অভিন্ন বিতরণ আছে" বলার কোনও মানে হয় না।

F_{X} (X_{1}) = P (X_{2} \leq X_{1})

$F_X(X_1)=P(X_2 \leq X_1)$

— মাই

একটি আরভি এর সিডিএফ একই জিনিস একটি আরভি এর রুপান্তর যেমন নয় এই আরভি এর সিডিএফ দ্বারা যথা ।

F_{X}

$F_X$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— শি'ান

হ্যাঁ, আমি একমত যে তারা একই জিনিস নয়। প্রথম ক্ষেত্রে এটি আরভি নয়, যখন দ্বিতীয় ক্ষেত্রে এটি আরভি হয় আমি কি সঠিক?

— মাই

যার ভিন্ন অর্থ সম্পর্কিত হ্যাঁ, মধ্যে

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— সিয়ান

"প্রত্যাশা শূন্য যখন প্যারামিটারের সত্য মূল্য গ্রহণ করা হয় তার দ্বারা আপনি কী বোঝাতে পারেন? মনে হয় এখানে ভেরিয়েবল হিসাবে বিবেচনা করা হচ্ছে যদি তার" সত্যিকারের মান "না হয় তবে কী পরিবর্তন হয়?

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— মাই