যদি এবং পৃথক পৃথক প্রতিটি ভেরিয়েবলের গড় শূন্য হয়, তবে also এছাড়াও একটি স্বাভাবিক পরিবর্তনশীল

আমি বিবৃতিটি প্রমাণ করার চেষ্টা করছি:

যদি এবং স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়, $X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$ $Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

তারপরে also এছাড়াও একটি সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল। $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

বিশেষ ক্ষেত্রে (বলুন), আমাদের সুপরিচিত ফলাফল রয়েছে যে যখনই এবং স্বাধীন ভেরিয়েবল হয়। প্রকৃতপক্ষে, এটি আরও সাধারণভাবে জানা যায় যে স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল। $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$ $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ $\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$

সর্বশেষ ফলাফলের একটি প্রমাণ রূপান্তর $(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$ যেখানে $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ এবং $u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$ । প্রকৃতপক্ষে, এখানে $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ এবং $V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ । আমি সমস্যাটির জন্য এই প্রমাণটি নকল করার চেষ্টা করেছি তবে এটি অগোছালো বলে মনে হচ্ছে।

আমি যেকোনো ত্রুটি, প্রণীত না করে থাকেন $(u,v)\in\mathbb{R}^2$ আমি যুগ্ম ঘনত্ব দিয়ে শেষ $(U,V)$ হিসাবে

f_{U, V} (u, v) = \frac{2}{σ_{1} σ_{2} π} \exp [- \sqrt{u^{2} + v^{2}} (\frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + v}{σ_{1}^{2}} + \frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} - v}{σ_{2}^{2}})]

$f_{U,V}(u,v)=\frac{2}{\sigma_1\sigma_2\pi}\exp\left[-\sqrt{u^2+v^2}\left(\frac{\sqrt{u^2+v^2}+v}{\sigma_1^2}+\frac{\sqrt{u^2+v^2}-v}{\sigma_2^2}\right)\right]$

রূপান্তরটি ওয়ান-টু-ওয়ান না হওয়ায় আমার উপরের গুণক । $2$

সুতরাং ঘনত্ব দ্বারা দেওয়া হবে , যা নির্দ্ধিধায় মূল্যায়ন করা হয় না। $U$ $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

এখন আমি জানতে আগ্রহী যে এখানে এমন কোনও প্রমাণ রয়েছে কিনা যেখানে আমি কেবলমাত্র সাথে কাজ করতে পারি এবং সাধারণভাবে দেখানোর জন্য কিছু বিবেচনা করার দরকার নেই । এর সিডিএফ সন্ধান করা এই মুহুর্তে আমার কাছে এত প্রতিশ্রুতিবদ্ধ দেখাচ্ছে না। আমি ক্ষেত্রেও একই কাজ করতে চাই । $U$ $V$ $U$ $U$ $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

তা হল, যদি এবং স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল হয় তবে আমি ভেরিয়েবল পরিবর্তন না করে । যদি আমি কোনওভাবে তর্ক করতে পারি যে , তবে আমার কাজ শেষ হয়েছে। সুতরাং এখানে দুটি প্রশ্ন, সাধারণ মামলা এবং তারপরে নির্দিষ্ট কেস। $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $Z\stackrel{d}{=}X$

ম্যাথ.এসই সম্পর্কিত পোস্টসমূহ:

$X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$ যখন স্বাধীনভাবে $X,Y\sim N(0,1)$ ।

এই আইড দেখান যে আইড $X,Y$ $N(0,1)$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ $N(0,\frac{1}{4})$ ।

সম্পাদনা করুন।

এই সমস্যাটি আসলে এল। শেপের কারণে যেমন আমি একটি সম্ভাব্য ইঙ্গিত সহ ফিলার দ্বারা প্রবর্তন তত্ত্ব এবং এর অ্যাপ্লিকেশনগুলির (দ্বিতীয় খণ্ড) অনুশীলনগুলিতে জানতে পেরেছিলাম :

অবশ্যই, এবং আমার হাতে এর ঘনত্ব রয়েছে । $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$ $\frac{1}{X^2}$

আসুন দেখি আমি এখন কী করতে পারি। এগুলি ছাড়াও, উপরের অবিচ্ছেদ্য সাথে সামান্য সহায়তাও স্বাগত।

— StubbornAtom
সূত্র

একইরকম, যৌথ জন্য এমজিএফের পদ্ধতিটি কিছুটা সহজ। এর শেষ উত্তরটি দেখুন: math.stackexchange.com/a/2665178/22064 এবং: math.stackexchange.com/Qestions/2664469/…

(U, V)

$(U,V)$

— অ্যালেক্স আর

@AlexR। হ্যাঁ আমি যৌথ মিলিগ্রাফের পদ্ধতিকে দেখেছি, যা সমান বৈকল্পিক ক্ষেত্রে আমি যৌথ বন্টন খুঁজে পেতে চাইলে এটি বেশ ভাল কাজ করে। তবে আমার কাছে ইতিমধ্যে সেই ক্ষেত্রে ভেরিয়েবল পরিবর্তন করে প্রমাণ রয়েছে, যা আমার মনে সহজ। আমি যা করার চেষ্টা করছি তা হ'ল সাথে কাজ করা , যেহেতু আমার পরে এই বিতরণ।

U

$U$

— জেদীআটম

কৌশলটি হ'ল এবং of এর যোগফল , যা বিপরীত চি-স্কোয়ার ডিস্ট্রিবিউশনে স্কেল করা হয়, এটিও একটি স্কেলড বিপরীত চি-স্কোয়ার্ড বিতরণ (এটি হ'ল স্থিতিশীল বিতরণের সম্পত্তি)। সুতরাং যাদুটি নিম্নলিখিতগুলির তৃতীয় সমীকরণে ঘটে:

\frac{1}{X^{2}}

$\frac{1}{X^2}$

\frac{1}{Y^{2}}

$\frac{1}{Y^2}$

U = \frac{X Y}{X^{2} + Y^{2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^{2}} + \frac{1}{Y^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^{2}}}} = Z

$U = \frac{XY}{X^2+Y^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^2}}} = Z$

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

@ মার্তিজজন ওয়েটারিংস স্পষ্টতই শেপ প্রদত্ত আসল প্রমাণ।

— জেদীআটম

আপনি যদি শেপের ভাষ্যটি উল্লেখ না করে থাকেন তবে আমি নিজেই এটি নিয়ে আসতে পারতাম না। তবে, আমার ধারণা ছিল যে আপনি এই প্রমাণটি পান নি। বা কমপক্ষে এটি পরিষ্কার ছিল না যে এটি ছিল কিনা।

— সেক্সটাস এম্পিরিকাস

উত্তর:

শেপ দ্বারা সমস্যার মূল সমাধানটি স্থিতিশীল আইন সম্পত্তির ধারণাটি ব্যবহার করে, যা এই মুহুর্তে আমার জন্য কিছুটা অগ্রসর বলে মনে হচ্ছে। সুতরাং আমি আমার পোস্টে উদ্ধৃত অনুশীলনে প্রদত্ত ইঙ্গিতটি বুঝতে পারি না। আমি অনুমান করি যে কেবলমাত্র একক ভেরিয়েবল সাথে জড়িত এবং ভেরিয়েবলগুলির পরিবর্তন ব্যবহার না করেই । সুতরাং আমি তিনটি ওপেন অ্যাক্সেসের কাগজপত্রগুলি ভাগ করে নিয়েছি যা দেখেছি যে সমস্যার একটি বিকল্প সমাধান সরবরাহ করে: $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

প্রথমটি আমাকে বুঝিয়ে দিয়েছে যে এর ঘনত্ব অর্জনের জন্য ভেরিয়েবল এর সেই পছন্দটি দিয়ে আমি যে সংহতকরণের পথটি নিলাম তা না নামতে হবে । এটি এমন তৃতীয় কাগজ যা দেখে আমি অনুসরণ করতে পারি like আমি এখানে প্রমাণের একটি সংক্ষিপ্ত স্কেচ দিচ্ছি: $V$ $U$

আমরা সাধারণত্ব ক্ষতি ছাড়া অনুমান , এবং সেট । এখন লক্ষ্য করে দেখুন যে এবং স্বতন্ত্র, আমাদের এর যৌথ ঘনত্ব রয়েছে । আমরা তা বোঝাতে । $\sigma_1^2=1$ $\sigma_2^2=\sigma^2$ $X^2\sim\chi^2_1$ $\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$ $(X^2,Y^2)$ $f_{X^2,Y^2}$

রূপান্তরটি বিবেচনা করুন যেমন এবং । সুতরাং আমাদের এর যৌথ ঘনত্ব রয়েছে । আমাদের দ্বারা এটা বোঝাতে যাক । প্রমিত পদ্ধতি অনুসরণ করে আমরা সংহত থেকে wrt প্রান্তিক ঘনত্ব পেতে এর । $(X^2,Y^2)\to(W,Z)$ $W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$ $Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$ $(W,Z)$ $f_{W,Z}$ $f_{W,Z}$ $z$ $f_W$ $W$

আমরা দেখতে পাই যে হ'ল একটি গামা পার্থক্য with এবং , যাতে । আমরা লক্ষ করি যে এর ঘনত্ব প্রায় প্রতিসম হয় । এটি বোঝায় যে , এবং তাই । $W=U^2$ $\frac{1}{2}$ $2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$ $(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$ $U$ $0$ $(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$ $U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

— StubbornAtom
সূত্র

এটা অনুসারে

দুটি সাধারণ এলোমেলো ভেরিয়েবলের রূপান্তর করা

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$ ।
$X$ এবং $Y$ স্বতন্ত্র $\Leftrightarrow$ $\theta$ এবং $r$ স্বতন্ত্র।

এছাড়াও $\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$ যে $f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$ যেহেতু $z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

অন্যদের জন্য একই।

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

যাতে আমরা প্রদর্শন করতে পারি:

$X= \sigma r \cos(\theta)$ এবং $Y=\sigma r \sin(\theta)$

সুতরাং

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

স্বতন্ত্র দেখাতে

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$ এবং এগুলি সহজেই বলা যায় যে তারা স্বাধীন।

— মাসউদ
সূত্র

যদি

σ_{X} \neq σ_{Y}

$\sigma_X \neq \sigma_Y$

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

আমি এটি সম্পর্কে চিন্তা না। কিন্তু কিছু হিসাব সমস্যার ঘটতে

s q r t (X^{2} + Y^{2})

$sqrt(X^2+Y^2)$

— মাসউদ