এলোমেলো গ্রাফে কাউন্টের কাউন্টের বিতরণ এবং প্রকরণ

Question

একটি এরদোস-রেনিই র্যান্ডম গ্রাফ । সেট ছেদচিহ্ন দ্বারা লেবেল করা । প্রান্ত সেটটি একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া দ্বারা নির্মিত হয়।এন ভি ভি = { 1 , 2 , … , n } $G=(V(n),E(p))$$n$$V$$V = \{1,2,\ldots,n\}$$E$

যাক একটি সম্ভাব্যতা হতে , তারপর প্রতিটি unordered যুগল ছেদচিহ্ন এর ( ) একটি প্রান্ত যেমন ঘটে সম্ভাব্যতা সঙ্গে স্বাধীনভাবে অন্যান্য যুগলের।0 < p < 1 { i , j } i ≠ j E $p$$0<p<1$$\{i,j\}$$i \neq j$$E$$p$

একটি ত্রিভুজটি একটি নিরক্ষিত ত্রিভুজ distin স্বতন্ত্র কোণে যেমন such , , এবং in এর প্রান্তে রয়েছে ।{ আই , জে , কে } { আই , জে } { $G$$\{i,j,k\}$$\{i,j\}${ ট , আমি } $\{j,k\}$$\{k,i\}$$G$

সম্ভব ত্রিভুজ সর্বোচ্চ সংখ্যা হল $\binom{n}{3}$ । গ্রাফ জি-তে ত্রিভুজগুলির পর্যবেক্ষণ গণনা হিসাবে এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সকে সংজ্ঞায়িত করুন ।$X$$G$

তিনটি লিঙ্ক একসাথে উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনা হ'ল $p^3$ । অতএব, এর প্রত্যাশিত মান $X$ দেওয়া হয় $E(X) = \binom{n}{3} p^3$ । নিঃসন্দেহে, কেউ অনুমান করতে পারেন যে বৈকল্পিকটি $E(X^2) =\binom{n}{3} p^3 (1-p^3)$ , তবে এটি তেমন নয়।

নিম্নলিখিত গণিত কোড সমস্যার অনুকরণ করে:

n=50;
p=0.6;
t=100;
myCounts=Table[Length[FindCycle[RandomGraph[BernoulliGraphDistribution[n,p]],3,All]],{tt,1,t}];
N[Mean[myCounts]] // 4216. > similar to expected mean
Binomial[n,3]p^3 // 4233.6
N[StandardDeviation[myCounts]] // 262.078 > not similar to "expected" std
Sqrt[Binomial[n,3](p^3)(1-p^3)] // 57.612
Histogram[myCounts]

এক্স এর প্রকরণ কি $X$?

Answer 1

যাক iff একটি ত্রিভুজ গঠন করে। তারপরে এবং প্রতিটি । আপনি প্রত্যাশিত মান গণনা করতে এটি ব্যবহার করেছেন।$Y_{ijk}=1$$\{i, j, k\}$$X=\sum_{i, j, k}Y_{ijk}$$Y_{ijk}\sim Bernoulli(p^3)$

বৈকল্পিকতার জন্য, সমস্যাটি হ'ল independent স্বতন্ত্র নয়। প্রকৃতপক্ষে, আমাদের গণনা করা দরকার , যা উভয় ত্রিভুজ উপস্থিত থাকার সম্ভাবনা। বেশ কয়েকটি মামলা রয়েছে:$Y_{ijk}$

$$X^2=\sum_{i, j, k}\sum_{i', j', k'}Y_{ijk}Y_{i'j'k'}.$$ $E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]$

• যদি (একই 3 টি উল্লম্ব) হয় তবে । থাকবে যেমন ডবল সমষ্টি পদ।$\{i,j,k\}=\{i',j',k'\}$$E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]=p^3$$\binom{n}{3}$
• যদি সেটগুলিতে এবং ঠিক 2 টি উপাদান অভিন্ন থাকে তবে দুটি ত্রিভুজ পেতে আমাদের 5 টি , যাতে । সেখানে থাকবে সমষ্টি এই ধরনের শর্তাবলী।$\{i,j,k\}$$\{i',j',k'\}$$E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]=p^5$$12 \binom{n}{4}$
• যদি সেটগুলিতে এবং 1 টি উপাদান অভিন্ন থাকে তবে আমাদের 6 প্রান্ত উপস্থিত থাকতে হবে, যাতে । থাকবে সমষ্টি এই ধরনের শর্তাবলী।$\{i,j,k\}$$\{i',j',k'\}$$E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]=p^6$$30 \binom{n}{5}$
• যদি সেটগুলিতে এবং 0 0 টি উপাদান অভিন্ন থাকে তবে আমাদের 6 প্রান্ত উপস্থিত থাকতে হবে, যাতে । থাকবে সমষ্টি এই ধরনের শর্তাবলী।$\{i,j,k\}$$\{i',j',k'\}$$E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]=p^6$$20 \binom{n}{6}$

তা যাচাই করতে আমরা সব ক্ষেত্রেই আবৃত করেছি, দয়া করে মনে রাখবেন সমষ্টি পর্যন্ত যোগ ।$\binom{n}{3}^{2}$

$$\binom{n}{3} + 12 \binom{n}{4} + 30 \binom{n}{5} + 20 \binom{n}{6} = \binom{n}{3}^{2}$$

প্রত্যাশিত গড়ের বর্গক্ষেত্রকে বিয়োগ করা স্মরণ করে, এগুলি একসাথে রেখে দেওয়া:

$$E[X^2] - E[X]^2 = \binom{n}{3} p^3 + 12 \binom{n}{4} p^5 + 30 \binom{n}{5} p^6 + 20 \binom{n}{6} p^6 - \binom{n}{3}^2 p^6$$

আপনার উদাহরণের মতো একই সংখ্যাসূচক মানগুলি ব্যবহার করে, নিম্নলিখিত আর কোডটি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি গণনা করে, যা আপনার সিমুলেশন থেকে 262 এর মানের নিকটে যুক্তিযুক্ত।

n=50
p=0.6
sqrt(choose(n, 3)*p^3+choose(n, 2)*(n-2)*(n-3)*p^5+(choose(n, 3)*choose(n-3, 3)+n*choose(n-1, 2)*choose(n-3, 2))*p^6-4233.6^2)
298.7945

নিম্নলিখিত গণিতের কোডটি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিও গণনা করে, যা একই ফলাফল দেয়।

mySTD[n_,p_]:=Sqrt[Binomial[n,3]p^3+12Binomial[n,4]p^5+30 Binomial[n,5]p^6+20Binomial[n,6]p^6-(Binomial[n,3]p^3)^2]
mySTD[50,0.6] // gives 298.795

Comments

আসলে মোটামুটি সোজা। সাবাশ! আমি আপনার উত্তরটি সামান্য আপডেট করেছি, অভিব্যক্তিগুলি সহজ করে এবং গাণিতিক কোড যুক্ত করেছি। আমি আমার সিমুলেশনটি 10k বারও চালিয়েছি এবং 295.37 স্টাড্ড পেয়েছি, প্রত্যাশিত মানটির খুব কাছাকাছি।

— এলবোগার্ড্ট

সম্পাদনার জন্য ধন্যবাদ। আমি আনন্দিত যে 10 কে পুনরাবৃত্তি সহ সিমুলেশন উত্তরটি নিশ্চিত করে!

— রবিন রাইডার

নির্দেশিত গ্রাফগুলির জন্য আমি মূল রেফারেন্সটি পেয়েছি: হল্যান্ড (1970)। সোসিয়োমেট্রিক ডেটাতে কাঠামো সনাক্তকরণের একটি পদ্ধতি।

— এলবোগার্ড

Answer 2

আমি আহরণ করার সামান্য ভিন্ন পদ্ধতি প্রদান ।$\mathrm{X}^{2}$

রবিন রাইডার যেমন করেছিলেন তেমন কেস পার্থক্য সহ:

• যদি অর্থাৎ 3 টি উল্লম্ব একই হয়, সুতরাং আমাদের অবশ্যই n টি সম্ভাব্য বাইরে 3 টি শীর্ষবিন্দু বেছে নিতে হবে । আমরা 3 প্রান্ত উপস্থিত থাকা আবশ্যক । সংযুক্ত:$\{i, j, k\} = \{i', j', k'\}$$\Rightarrow \binom{n}{3}$$\Rightarrow \mathrm{p}^{3}$$\binom{n}{3}\mathrm{p}^{3}$

• যদি এবং two এর দুটি উল্লম্ব মিল অর্থ জন্য এবং বিপরীত (প্রতিটি ত্রিভুজের একটি ভার্টেক্স রয়েছে যা অন্য ত্রিভুজের অংশ নয়)। ব্লগ কল্পনা করা এবং উল্লিখিত বিভাজক কোণটি এবং = , = । অর্জন = , = , আমরা একই দু'রকমের এন সম্ভব হইতে বাছাই করতে হবে । জন্য$\{i, j, k\}$$\{i', j', k'\}$$\exists v \in \{i, j, k\}$$v \notin \{i', j', k'\}$$v = k$$v' = k'$$i$$i'$$j$$j'$$i$$i'$$j$$j'$$\Rightarrow \binom{n}{2}$$k \neq k'$যে শিখরটি বাকি রয়েছে তার থেকে আমাদের আরও দুটি বাছাই করতে হবে। প্রথমটি: এবং দ্বিতীয়টি: । প্রান্ত কারণ এবং একই, আমরা 5 প্রান্ত উপস্থিত থাকা আবশ্যক । সংযুক্ত:$(n-2)$$(n-3)$$\{i, j\}$$\{i', j'\}$$\Rightarrow \mathrm{p}^{5}$$\binom{n}{2}(n-2)(n-3)\mathrm{p}^{5}$

• যদি এবং মাত্র একটি ভার্টেক্স মিল থাকে তবে 4 টি বিভাজক হয়। কল্পনা করুন, ব্লগ করুন যে = । তার মানে, n সম্ভাব্য শীর্ষগুলিগুলির মধ্যে, আমাদের অবশ্যই 1 বেছে নিতে হবে । ত্রিভুজ জন্য আমরা এর বাইরে 2 ছেদচিহ্ন বাছাই অবশিষ্ট । ত্রিভুজ জন্য আমরা অবশিষ্ট বাইরে 2 বাছাই , এই ধৃষ্টতা কারণে যে এবং । যেহেতু আমাদের কেবল একটি ভার্টেক্স সমান, আমাদের অবশ্যই 6 টি কিনারা উপস্থিত থাকতে হবে$\{i, j, k\}$$\{i', j', k'\}$$i$$i'$$\Rightarrow n$$\{i, j, k\}$$(n-1) \Rightarrow \binom{n-1}{2}$$\{i', j', k'\}$$(n-3) \Rightarrow \binom{n-3}{2}$$j'\notin\{i, j, k\}$$k'\notin\{i, j, k\}$$\Rightarrow \mathrm{p}^{6}$ । :$n\binom{n-1}{2}\binom{n-3}{2}\mathrm{p}^{6}$

• শেষ কেসটির জন্য: যদি এবং no এর কোনও মিল নেই, তবে দুটি ত্রিভুজ বিভাজক। আমরা এন সম্ভব বাইরে প্রথম ত্রিভুজ বাছাই, 3 ছেদচিহ্ন । আর দ্বিতীয় ত্রিভুজ, খুঁজে 3 ছেদচিহ্ন অবশিষ্ট । ত্রিভুজ বিচ্ছিন্ন, অর্থাৎ তাদের কোন প্রান্ত এবং ছেদচিহ্ন, এইভাবে 6 প্রান্ত উপস্থিত থাকতে হবে ভাগ । সংযুক্ত:$\{i, j, k\}$$\{i', j', k'\}$$\Rightarrow \binom{n}{3}$$(n-3)$$\Rightarrow \binom{n-3}{3}$$\Rightarrow \mathrm{p}^{6}$$\binom{n}{3}\binom{n-3}{3}\mathrm{p}^{6}$

রবিন রাইডারের পদ্ধতির মতো আমরা এটিও যাচাই করতে পারি:

$\binom{n}{3} + \binom{n}{2}(n-2)(n-3) + n\binom{n-1}{2}\binom{n-3}{2} + \binom{n}{3}\binom{n-3}{3} = \mathrm{\binom{n}{3}}^{2}$ ধারণ করে।

এটাও বিশালাকার:

$Var[X] = E[\mathrm{X}^{2}] - \mathrm{E[X]}^{2} = \binom{n}{3}\mathrm{p}^{3} + \binom{n}{2}(n-2)(n-3)\mathrm{p}^{5} + n\binom{n-1}{2}\binom{n-3}{2}\mathrm{p}^{6} + \binom{n}{3}\binom{n-3}{3}\mathrm{p}^{6} - \mathrm{\binom{n}{3}}^{2}\mathrm{p}^{6}.$