আমি এমন একটি সময় সিরিজ মডেল করার এবং পূর্বাভাস দেওয়ার চেষ্টা করছি যা মরসুমের চেয়ে চক্রীয় (যেমন মৌসুমের মতো প্যাটার্নগুলি রয়েছে তবে নির্দিষ্ট সময়ের সাথে নয়)। পূর্বাভাসের নং 8.5 বিভাগে বর্ণিত একটি আরিমা মডেল ব্যবহার করে এটি করা সম্ভব হবে : নীতি ও অনুশীলন :

ডেটার চক্রটি দেখায় এর মান গুরুত্বপূর্ণ। চক্রীয় পূর্বাভাস পেতে, প্যারামিটারগুলিতে কিছু অতিরিক্ত শর্তের সাথে থাকা দরকার। একটি এআর (2) মডেলের জন্য, হলে চক্রীয় আচরণ ঘটে । $p$ $p\geq 2$ $\phi^2_1+4\phi_2<0$

সাধারণ আরিমা (পি, ডি, কিউ) ক্ষেত্রে প্যারামিটারগুলিতে এই অতিরিক্ত শর্তগুলি কী ? আমি তাদের কোথাও খুঁজে পেলাম না।

— MånsT
সূত্র

আপনি কি আদৌ বহুবর্ষীয়- এর জটিল শিকড়গুলি দেখেছেন ? দেখে মনে হচ্ছে উদ্ধৃতিটি যা উল্লেখ করছে এটি হতে পারে।

ϕ (B)

$\phi(B)$

— জেসন

কিছু গ্রাফিকাল স্বজ্ঞাত

ইন শিরোণামে মডেল , আবর্তনশীল আচরণ চরিত্রগত বহুপদী জটিল অনুবন্ধী শিকড় থেকে আসে। প্রথমে অন্তর্দৃষ্টি দেওয়ার জন্য, আমি নীচে দুটি উদাহরণ এআর (2) মডেলগুলিতে প্রতিক্রিয়া প্রতিক্রিয়া ফাংশন প্লট করেছি।

জটিল শিকড় সহ একটি অবিরাম প্রক্রিয়া।
আসল শিকড় সহ একটি অবিরাম প্রক্রিয়া।

জন্য চরিত্রগত বহুপদী এর শিকড় আছে যেখানে এর eigenvalues হয় ম্যাট্রিক্স আমি নিচে নির্ধারণ করুন। একটি জটিল সংঘবদ্ধ ইগেনুয়ালুয়েসস এবং , স্যাঁতসেঁতে নিয়ন্ত্রণ করে (যেখানে ) এবং কোসাইন ওয়েভের ফ্রিকোয়েন্সি নিয়ন্ত্রণ করে। $j=1\,\ldots, p$ $\frac{1}{\lambda_j}$ $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$ $A$ $\lambda = r e^{i \omega t}$ $\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$ $r$ $r \in [0, 1)$ $\omega$

বিস্তারিত এআর (2) উদাহরণ

ধরা যাক আমাদের কাছে এআর (2) রয়েছে:

y_{t} = ϕ_{1} y_{t - 1} + ϕ_{2} y_{t - 2} + ϵ_{t}

$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$

আপনি কোনও এআর (পি) একটি ভিএআর (1) হিসাবে লিখতে পারেন । এই ক্ষেত্রে, ভিএআর (1) উপস্থাপনাটি হ'ল:

\underset{X_{t}}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} y_{t} \\ y_{t - 1} \end{matrix}]}} = \underset{A}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} ϕ_{1} & ϕ_{2} \\ 1 & 0 \end{matrix}]}} \underset{X_{t - 1}}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} y_{t - 1} \\ y_{t - 2} \end{matrix}]}} + \underset{U_{t}}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} ϵ_{t} \\ 0 \end{matrix}]}}

$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$ ম্যাট্রিক্স গতিবিদ্যা নিয়ন্ত্রণ তাই । ম্যাট্রিক্স চারিত্রিক সমীকরণ হল: এর eigenvalues আছেন: এর eigenvectors আছেন:

A

$A$

X_{t}

$X_t$

y_{t}

$y_t$

A

$A$

λ^{2} - ϕ_{1} λ - ϕ_{2} = 0

$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$

A

$A$

λ_{1} = \frac{ϕ_{1} + \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{2} λ_{2} = \frac{ϕ_{1} - \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{2}

$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$

A

$A$

v_{1} = [\begin{matrix} λ_{1} \\ 1 \end{matrix}] v_{2} = [\begin{matrix} λ_{2} \\ 1 \end{matrix}]

$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$

মনে রাখবেন যে । Eigenvalue পচানি গঠন এবং উত্থাপন থেকে ম শক্তি। $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$ $A$ $k$

A^{k} = [\begin{matrix} λ_{1} & λ_{2} \\ 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} λ_{1}^{k} & 0 \\ 0 & λ_{2}^{k} \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{1}{λ_{1} - λ_{2}} & \frac{- λ_{2}}{λ_{1} - λ_{2}} \\ \frac{- 1}{λ_{1} - λ_{2}} & \frac{λ_{1}}{λ_{1} - λ_{2}} \end{matrix}]

$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$

Real বাড়ানোর সাথে সাথে একটি আসল ইগেনভ্যালু ক্ষয় হয় । অ-শূন্য-কাল্পনিক উপাদানগুলির সাথে আইজেনভ্যালুগুলি চক্রীয় আচরণের দিকে পরিচালিত করে। $\lambda$ $\lambda^k$

কাল্পনিক উপাদান কেসের সাথে : $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

এআর (2) প্রসঙ্গে, আমাদের কাছে হলে জটিল থাকে । যেহেতু আসল, তাই তাদের অবশ্যই এমন জোড়ায় আসতে হবে যা একে অপরের জটিল সংঘবদ্ধ । $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$ $A$

প্রাদো এবং পশ্চিমের অধ্যায় 2 অনুসরণ করে (2010), আসুন

c_{t} = \frac{λ}{λ - \bar{λ}} y_{t} - \frac{λ \bar{λ}}{λ - \bar{λ}} y_{t - 1}

$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$

আপনি পূর্বাভাসটি দেখাতে পারেন দ্বারা প্রদত্ত: $\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$

\begin{aligned} E [y_{t + k} ∣ y_{t}, y_{t - 1}, \dots] & = c_{t} λ^{k} + {\bar{c}}_{t} {\bar{λ}}^{k} \\ = a_{t} r^{k} \cos (ω k + θ_{t}) \end{aligned}

$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$

আলগাভাবে কথা বলার সাথে, জটিল কনজুগেটগুলি যুক্ত করে তাদের কল্পিত উপাদানটিকে বাতিল করে দেয় যা আপনাকে আসল সংখ্যার ফাঁকে একক স্যাঁতসেঁতে কোসাইন তরঙ্গ রেখে দেয়। (দ্রষ্টব্যর জন্য আমাদের অবশ্যই ) $0 \leq r < 1$

আপনি যদি , , , করতে চান তবে ইউলারের সূত্রটি ব্যবহার করে শুরু করুন যা that , আমরা লিখতে পারি: $r$ $\omega$ $a_t$ $\theta_t$ $re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$

λ = r e^{i ω} \bar{λ} = r e^{- i ω} r = | λ | = \sqrt{- ϕ_{2}}

$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$

ω = atan2 (imag λ, real λ) = atan2 (\frac{1}{2} \sqrt{- ϕ_{1}^{2} - 4 ϕ_{2}}, \frac{1}{2} ϕ_{1})

$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$

a_{t} = 2 | c_{t} | θ_{t} = atan2 (imag c_{t}, real c_{t})

$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$

উপাঙ্গ

নোট বিভ্রান্তিকর পরিভাষা সতর্কতা! এ এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদীকে এআর (পি) এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদী থেকে সম্পর্কিত করা

আর টাইম-সিরিজের কৌশলটি এআর (পি) লিখতে ল্যাগ অপারেটরটি ব্যবহার করে:

(1 - ϕ_{1} L - ϕ_{2} L^{2} - \dots - ϕ_{p} L^{p}) y_{t} = ϵ_{t}

$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$

ল্যাগ অপারেটর কিছু পরিবর্তনশীল দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন এবং লোকেরা প্রায়শই কে এআর (পি) মডেলের বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদী হিসাবে উল্লেখ করেন। যেহেতু এই উত্তর আলোচনা , এই ঠিক চারিত্রিক বহুপদী হয় যেখানে । শিকড় হল ইগেনভ্যালুগুলির পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপ। (দ্রষ্টব্য: মডেলটি স্থির হয়ে উঠতে চাইলে আপনি চান ল্যাম্বদা , এটি ইউনিট সর্লির অভ্যন্তরে বা সমতুল্য , যা ইউনিট বৃত্তের বাইরে)) $L$ $z$ $1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$ $A$ $z = \frac{1}{\lambda}$ $z$ $|\lambda| < 1$ $|z|>1$

তথ্যসূত্র

প্রাদো, রাকেল এবং মাইক ওয়েস্ট, টাইম সিরিজ: মডেলিং, গণনা এবং অনুমান , ২০১০

— ম্যাথু গন
সূত্র

আমি অবাক হয়েছি আমি এই মুহূর্তে একমাত্র ভোট ভাল উত্তর!

— টেলর

@ টেলর এটি একটি পুরানো, নিষ্ক্রিয় প্রশ্ন। :)

— ম্যাথু গুন

আরিমা মডেলের চক্রীয় আচরণের শর্তাদি

কিছু গ্রাফিকাল স্বজ্ঞাত

বিস্তারিত এআর (2) উদাহরণ

কাল্পনিক উপাদান কেসের সাথে :ϕ21+4ϕ2<0ϕ12+4ϕ2<0\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0

উপাঙ্গ

তথ্যসূত্র

কাল্পনিক উপাদান কেসের সাথে : $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$