চতুষ্কোণ রূপের এ্যাসিম্পোটিক স্বাভাবিকতা

$\mathbf{x}$ থেকে আঁকা এলোমেলো ভেক্টর হতে দিন । একটি নমুনা বিবেচনা করুন । নির্ধারণ করুন $P$ $\{ \mathbf{x}_i \}_{i=1}^n \stackrel{i.i.d.}{\sim} P$ $\bar{\mathbf{x}}_n := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{x}_i$ , আর $\hat{C} := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (\mathbf{x}_i - \bar{\mathbf{x}}_n) (\mathbf{x}_i - \bar{\mathbf{x}}_n)^\top$ । আসুন $\boldsymbol{\mu} := \mathbb{E}_{\mathbf{x}\sim P}[\mathbf{x}]$ এবং $C:=\mathrm{cov}_{\mathbf{x} \sim P}[\mathbf{x}, \mathbf{x}]$ ।

কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য দ্বারা, ধরে নিই

\sqrt{n} ({\bar{x}}_{n} - μ) \overset{d}{\to} N (0, C),

$\sqrt{n} \big( \bar{\mathbf{x}}_n - \boldsymbol{\mu} \big) \stackrel{d}{\to} \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, C),$

যেখানে $C$ একটি সম্পূর্ণ র‌্যাঙ্কের কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স।

প্রশ্ন : আমি কীভাবে প্রমাণ করব (বা অস্বীকার করব)

\sqrt{n} ({\bar{x}}_{n}^{⊤} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} {\bar{x}}_{n} - μ^{⊤} C^{- 1} μ) \overset{d}{\to} N (0, v^{2}),

$\sqrt{n} \big( \bar{\mathbf{x}}_n^\top (\hat{C} + \gamma_n I)^{-1} \bar{\mathbf{x}}_n - \boldsymbol{\mu}^\top C^{-1} \boldsymbol{\mu} \big) \stackrel{d}{\to} \mathcal{N}(0, v^2),$

$v>0$ $\gamma_n \ge 0$ $\lim_{n\to \infty} \gamma_n =0$

আমার বোধগম্যতা হল ডেল্টা পদ্ধতিটি আমাদের সহজেই উপসংহারে আসতে দেয়

\sqrt{n} ({\bar{x}}_{n}^{⊤} C^{- 1} {\bar{x}}_{n} - μ^{⊤} C^{- 1} μ) \overset{d}{\to} N (0, v^{2}),

$\sqrt{n} \big( \bar{\mathbf{x}}_n^\top C^{-1} \bar{\mathbf{x}}_n - \boldsymbol{\mu}^\top C^{-1} \boldsymbol{\mu} \big) \stackrel{d}{\to} \mathcal{N}(0, v^2),$

অথবা

\sqrt{n} ({\bar{x}}_{n}^{⊤} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} {\bar{x}}_{n} - μ^{⊤} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} μ) \overset{d}{\to} N (0, v^{2}) .

$\sqrt{n} \big( \bar{\mathbf{x}}_n^\top (\hat{C} + \gamma_n I)^{-1} \bar{\mathbf{x}}_n - \boldsymbol{\mu}^\top (\hat{C} + \gamma_n I)^{-1} \boldsymbol{\mu} \big) \stackrel{d}{\to} \mathcal{N}(0, v^2).$

এগুলি আমি যা চাই তার থেকে কিছুটা আলাদা। দুটি পদে কোভেরিয়েন্সের ম্যাট্রিকগুলি লক্ষ করুন। আমি অনুভব করি যে আমি এখানে খুব তুচ্ছ কিছু মিস করছি। বিকল্পভাবে, যদি এটি জিনিসগুলি সহজ করে তোলে, আমরা অর্থাত্, সেট পারি এবং ধরে নিতে পারি যে । ধন্যবাদ। $\gamma_n$ $\gamma_n =0$ $\hat{C}$

— wij
সূত্র

0 যায় সে সম্পর্কে আমাদের কিছু জানতে হবে এটি কি ধ্রুবকের ক্রম? আমি মনে করি যে আপনাকে প্রথমে যা আমার মনে হয় স্লুটস্কির ফলাফল। তারপর আমি লিখতে হবে যেমন । এর একটি সীমাবদ্ধ বিতরণ রয়েছে যা পদ্ধতিতে পাওয়া যাবে । অবশেষে আপনি দেখানোর চেষ্টা করতে পারেন যে সম্ভাবনা 0 এ চলে যায়। যদিও এটি নিশ্চিত কিনা আমি নিশ্চিত নই ...

γ_{n}

$\gamma_n$

{\bar{x}}_{n}^{T} γ_{n} I {\bar{x}}_{n} \to_{p} 0

$\bar{x}_n^T \gamma_n I \bar{x}_n \rightarrow_p 0$

\hat{C}

$\hat{C}$

C + bias (\hat{C})

$C + \text{bias}(\hat{C})$

{\bar{x}}_{n}^{T} C {\bar{x}}_{n}

$\bar{x}_n^T C \bar{x}_n$

δ

$\delta$

{\bar{x}}_{n}^{T} bias (\hat{C}) {\bar{x}}_{n}

$\bar{x}_n^T \text{bias}(\hat{C}) \bar{x}_n$

— আদমো

γ_{n}

$\gamma_n$ ধ্রুবকের ক্রম (এলোমেলো নয়)। সিকোয়েন্সটি এমন কোনও কিছুতে সেট করা যেতে পারে যা কনভার্জেন্সকে কাজ করে (যদি এই ধরণের ক্রম বিদ্যমান থাকে)। আমি মনে করি সত্য। আমাদের প্রথমে এটি কেন প্রয়োজন তা আমি অনুসরণ করি নি। তবে আমাকে এ সম্পর্কে আরও কিছু ভাবতে দিন। :)

{\bar{x}}_{n}^{⊤} I {\bar{x}}_{n} \overset{p}{\to} 0

$\bar{x}_n^\top I \bar{x}_n \stackrel{p}{\to} 0$

— wiz

আমি উল্লেখ করতে ব্যর্থ হয়েছি: thodতিহ্যকে সরাসরি প্রয়োগ করতে এবং এটি সম্পন্ন করতে কল করতে আপনার দ্বিধা ভালভাবে প্রমাণিত। আমি মনে করি আপনি এটি যত্ন সহকারে লিখতে পারেন। এই ধরণের প্রমাণের জন্য দরকারী উপপাদ্য হলেন স্লুটস্কি, মান-ওয়াল্ড অবিচ্ছিন্ন ম্যাপিং উপপাদক এবং ক্র্যামার-ওয়াল্ড উপপাদ্য।

δ

$\delta$

— আদমো

আমি সম্মত হই যে আপনি যে ফলাফলগুলি উল্লেখ করেছেন তা কার্যকর হতে পারে। আমি এখনও দেখতে না যদিও কিভাবে। আসলে আমিও ভাবতে শুরু করি যে অ্যাসিম্পটোটিক বিতরণ কোনও সাধারণ বিতরণ নাও হতে পারে।

— wij

এটি দেখে মনে হচ্ছে এটি আরও জটিল। ArXiv কাগজ এখানে বর্ণনা করে কি উচ্চ মাত্রা ঘটে। আমি একটি স্থির মাত্রা অ্যানালগটি খুঁজে পাচ্ছি না তবে বিভাগ 3-এ তাদের একটি চূড়ান্ত-মাত্রিক যুক্তি রয়েছে

— গ্রিনপার্কার

ডেল্টা পদ্ধতি ব্যবহার করার সময় কিছুটা সমস্যা আছে। এটি হাত দ্বারা প্রাপ্ত আরও সুবিধাজনক।

প্রচুর সংখ্যক আইন অনুসারে, । অতএব । স্লুটস্কির উপপাদ্য প্রয়োগ করুন, আমাদের কাছে অবিচ্ছিন্ন উপপাদ্যকে ম্যাপিংয়ের মাধ্যমে, আমাদের অতএব স্লুটস্কির উপপাদ্য অনুসারে, আমাদের কাছে উপরোক্ত দুটি সমতা ফলনের সংমিশ্রণ $\hat{C}\xrightarrow{P} C$ $\hat{C} +\gamma_n I\xrightarrow{P} C$

\sqrt{n} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1 / 2} (\bar{X} - μ) \overset{d}{\to} N (0, C^{- 1}) .

$\sqrt{n}(\hat{C} +\gamma_n I)^{-1/2}(\bar{X}-\mu)\xrightarrow{d}\mathcal{N} (0,C^{-1}).$

n (\bar{X} - μ)^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} (\bar{X} - μ) \overset{d}{\to} \sum_{i = 1}^{p} λ_{i}^{- 1} (C) χ_{1}^{2} .

${n}(\bar{X}-\mu)^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}(\bar{X}-\mu)\xrightarrow{d}\sum_{i=1}^p \lambda_i^{-1}(C)\chi^2_1.$

\sqrt{n} (\bar{X} - μ)^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} (\bar{X} - μ) \overset{P}{\to} 0.

$\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}(\bar{X}-\mu)\xrightarrow{P}0.$

\sqrt{n} μ^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} (\bar{X} - μ) \overset{d}{\to} N (0, μ^{T} C^{- 2} μ) .

$\sqrt{n}\mu^T(\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}(\bar{X}-\mu)\xrightarrow{d}\mathcal{N} (0,\mu^T C^{-2}\mu).$

\begin{aligned} \sqrt{n} ({\bar{X}}^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} \bar{X} - μ^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} μ) \\ = & \sqrt{n} ((\bar{X} - μ)^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} (\bar{X} - μ) - 2 μ^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} (\bar{X} - μ)) \\ = & - 2 \sqrt{n} μ^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} (\bar{X} - μ) + o_{P} (1) \\ \overset{d}{\to} & N (0, 4 μ^{T} C^{- 2} μ) . \end{aligned}

$\begin{align} &\sqrt{n}\big(\bar{X}^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}\bar{X}-\mu^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}\mu\big) \\ = &\sqrt{n}\Big((\bar{X}-\mu)^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}(\bar{X}-\mu)-2\mu^T(\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}(\bar{X}-\mu)\Big) \\ =&-2\sqrt{n}\mu^T(\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}(\bar{X}-\mu)+o_P(1) \\ \xrightarrow{d}&\mathcal{N} (0,4\mu^T C^{-2}\mu). \end{align}$ বাকী কাজটি হ'ল দুর্ভাগ্যক্রমে, এই টার্ম ডোজটি রূপান্তর করে না । আচরণটি জটিল হয়ে ওঠে এবং তৃতীয় এবং চতুর্থ মুহুর্তের উপর নির্ভর করে।

\sqrt{n} (μ^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} μ - μ^{T} (C)^{- 1} μ) .

$\sqrt{n} \Big( \mu^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}\mu-\mu^T (C)^{-1}\mu \Big).$

0

$0$

নিচে আমরা অনুমান, সহজ হবে স্বাভাবিক বিতরণ এবং হয় । এটা একটা মান ফলাফলের যে যেখানে যেমন তির্যক উপাদানের সঙ্গে একটি প্রতিসম র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স হয় এবং তির্যক উপাদানগুলি off হিসাবে বন্ধ রয়েছে । সুতরাং, ম্যাট্রিক্স টেলর সম্প্রসারণ দ্বারা , আমাদের আছে $X_i$ $\gamma_n=o(n^{-1/2})$

\sqrt{n} (\hat{C} - C) \overset{d}{\to} C^{1 / 2} W C^{1 / 2},

$\sqrt{n}(\hat{C}-C)\xrightarrow{d}C^{1/2} W C^{1/2},$

W

$W$

N (0, 2)

$\mathcal{N}(0,2)$

N (0, 1)

$\mathcal{N}(0,1)$

\sqrt{n} (\hat{C} + γ_{n} I - C) \overset{d}{\to} C^{1 / 2} W C^{1 / 2},

$\sqrt{n}(\hat{C}+\gamma_n I-C)\xrightarrow{d}C^{1/2} W C^{1/2},$

(I + A)^{- 1} \sim I - A + A^{2}

$(I+A)^{-1}\sim I-A+A^2$

\begin{aligned} \sqrt{n} ((\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} - C^{- 1}) = \sqrt{n} C^{- 1 / 2} ((C^{- 1 / 2} (\hat{C} + γ_{n} I) C^{- 1 / 2})^{- 1} - I) C^{- 1 / 2} \\ = & \sqrt{n} C^{- 1} (\hat{C} + γ_{n} I - C) C^{- 1} + O_{P} (n^{- 1 / 2}) \overset{d}{\to} C^{- 1 / 2} W C^{- 1 / 2} . \end{aligned}

$\begin{align} &\sqrt{n}\Big((\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}- C^{-1}\Big)= \sqrt{n}C^{-1/2}\Big(\big(C^{-1/2}(\hat{C} +\gamma_n I)C^{-1/2}\big)^{-1}-I\Big)C^{-1/2}\\ =&\sqrt{n}C^{-1}\Big(\hat{C} +\gamma_n I-C\Big)C^{-1}+O_P(n^{-1/2}) \xrightarrow{d}C^{-1/2} W C^{-1/2}. \end{align}$ সুতরাং,

\sqrt{n} (μ^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} μ - μ^{T} (C)^{- 1} μ) \overset{d}{\to} μ^{T} C^{- 1 / 2} W C^{- 1 / 2} μ \sim N (0, (μ^{T} C^{- 1} μ)^{2}) .

$\sqrt{n} \Big( \mu^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}\mu-\mu^T (C)^{-1}\mu \Big)\xrightarrow{d}\mu^T C^{-1/2} W C^{-1/2}\mu \sim N(0,(\mu^T C^{-1}\mu)^2).$

সুতরাং,

\begin{aligned} \sqrt{n} ({\bar{X}}^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} \bar{X} - μ^{T} C^{- 1} μ) \overset{d}{\to} N (0, 4 μ^{T} C^{- 2} μ + (μ^{T} C^{- 1} μ)^{2}) . \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{n}\big(\bar{X}^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}\bar{X}-\mu^T C^{-1}\mu\big) \xrightarrow{d}\mathcal{N} (0,4\mu^T C^{-2}\mu+(\mu^T C^{-1}\mu)^2). \end{align}$

— kfeng123
সূত্র

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ. এটি ঠিক সেই শব্দটি যা 0 তে রূপান্তর করে না যা পুরো জিনিসটিকে কঠিন করে তোলে। দুর্ভাগ্যক্রমে আমি ধরে নিতে পারি না যে সাধারণত বিতরণ করা হয়। তবে আমি এখনও উত্তরটি প্রশংসা করি। এটি কীভাবে তৃতীয় এবং চতুর্থ মুহূর্তের উপর নির্ভর করে (সম্ভবত রেফারেন্স সহ) আপনি যদি মন্তব্য করতে পারেন তবে তা সহায়ক হবে। এছাড়াও আমি এই মুহূর্তে ব্যাখ্যা করতে পারি না। তবে আমি অনুভব করি যে এটি এর চেয়ে ধীরে ধীরে ক্ষয় হয় । আমাকে আরও মনোযোগ সহকারে চিন্তা করতে হবে।

X_{i}

$X_i$

g a m m a_{n}

$gamma_n$

o (n^{- 1 / 2})

$o(n^{-1/2})$

— wij

আমি যুক্ত করতে ভুলে গেছি যে আমার ক্ষেত্রে একটি কমপ্যাক্ট সেটে বসবাসের জন্য ধরে নেওয়া যেতে পারে (যদি প্রয়োজন হয়)। এটি মুহুর্তের পরিস্থিতিতে সাহায্য করতে পারে।

X_{i}

$X_i$

— wij