কোয়ান্টাইলগুলির জন্য ফর্ম এক্সপ্রেশন বন্ধ রয়েছে

আমার দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবল রয়েছে, যেখানে হয় 0-1 বন্টন uniform $\alpha_i\sim \text{iid }U(0,1),\;\;i=1,2$ $U(0,1)$

তারপরে, এগুলি একটি প্রক্রিয়া দেয়, বলুন:

পি (এক্স) = α_{1} পাপ (এক্স) + + α_{2} কোসাইন্ (এক্স), এক্স \in (0, 2 π)

$P(x)=\alpha_1\sin(x)+\alpha_2\cos(x), \;\;\;x\in (0,2\pi)$

এখন, আমি ভাবছিলাম যে জন্য প্রদত্ত তাত্ত্বিক 75 শতাংশ কোয়ান্টিলিটি কোনও বন্ধ ফর্ম এক্সপ্রেশন রয়েছে কিনা? - আমি মনে করি আমি এটি কম্পিউটার এবং অনেক উপলব্ধি দিয়ে করতে পারি তবে আমি বন্ধ ফর্মটি পছন্দ করি - $F^{-1}(P(x);0.75)$ $P(x)$ $x\in(0,2\pi)$ $P(x)$

distributions probability stochastic-processes

— user603
সূত্র

আমার মনে হয় আপনি অনুমান করা α চান

_{1}

$_1$ এবং α

_{2}

$_2$ পরিসংখ্যানগত স্বাধীন।

— মাইকেল আর চেরনিক

@ প্রিলিটিনেটর: আপনি কি উত্তর হিসাবে এটি লিখতে পারেন?

— ব্যবহারকারী 603

(+1) "প্রক্রিয়া" দৃষ্টিকোণটি এখানে কিছুটা লাল রঙের হেরিং মনে হচ্ছে। লিখন যেখানে । তারপরে, প্রতিটি নির্দিষ্ট , প্রথম দুটি পদ একটি ট্র্যাপিজয়েডাল ঘনত্বের ক্রিয়া নির্ধারণ করে এবং শেষ শব্দটি কেবল একটি গড় অফসেট। ট্র্যাপিজয়েডাল ঘনত্ব নির্ধারণের জন্য, আমাদের কেবলমাত্র consider বিবেচনা করা উচিত ।

P (x) = β_{1} \sin x + β_{2} \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$P(x) = \beta_1 \sin x + \beta_2 \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>,$

β_{i} = α_{i} - 1 / 2 \sim U (- 1 / 2, 1 / 2)

$\beta_i = \alpha_i - 1/2 \sim \mathcal U(-1/2,1/2)$

x

$x$

x \in [0, π / 2)

$x \in [0,\pi/2)$

— কার্ডিনাল

সংখ্যাগতভাবে এটি ব্যবহার করে quant = function(n,p,x) return( quantile(runif(n)*sin(x)+runif(n)*cos(x),p) )এবং সহজেই করা যায় quant(100000,0.75,1)।

এই সমস্যাটি দ্রুত ট্র্যাপিজয়েডাল বিতরণের পরিমাণ নির্ধারণের একটিকে হ্রাস করা যেতে পারে ।

আসুন আমরা হিসাবে প্রক্রিয়াটি আবার যেখানে এবং আইআইড এলোমেলো পরিবর্তনশীল; এবং, প্রতিসম দ্বারা,এটি প্রক্রিয়া হিসাবেএকইপ্রান্তিকবিতরণ আছে

P (x) = U_{1} \cdot \frac{1}{2} \sin x + U_{2} \cdot \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$P(x) = U_1 \cdot \frac12 \sin x + U_2 \cdot \frac12 \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>,$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

U (- 1, 1)

$\mathcal U(-1,1)$

প্রথম দুটি পদ একটি প্রতিসমট্র্যাপিজয়েডাল ঘনত্বনির্ধারণ করেযেহেতু এটি দুটি গড়-শূন্য ইউনিফর্ম র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল (সাধারণভাবে, বিভিন্ন অর্ধ-প্রস্থের সাথে)। শেষ শব্দটি কেবল এই ঘনত্বের অনুবাদে ফলাফল করে এবং কোয়ান্টাইলটি এই অনুবাদটির সাথে সমান হয় (অর্থাত্, স্থানান্তরিত বিতরণের পরিমাণটি কেন্দ্রিক বিতরণের স্থানান্তরিত কোয়ান্টাইল)।

\bar{P} (x) = U_{1} \cdot | \frac{1}{2} \sin x | + U_{2} \cdot | \frac{1}{2} \cos x | + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) .

$\overline P(x) = U_1 \cdot \left|\frac12 \sin x\right| + U_2 \cdot \left|\frac12 \cos x\right| + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>.$

ট্র্যাপিজয়েডাল বিতরণের পরিমাণ

যাক যেখানে এবং স্বাধীন এবং ডিস্ট্রিবিউশন। সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই ধরে নিন যে । তারপর, ঘনত্ব এর ঘনত্ব convolving দ্বারা গঠিত এবং । এটি সহজেই শীর্ষে দিয়ে ট্র্যাপিজয়েড হিসাবে দেখা যায় $Y = X_1 + X_2$ $X_1$ $X_2$ $\mathcal U(-a,a)$ $\mathcal U(-b,b)$ $a \geq b$ $Y$ $X_1$ $X_2$ , , এবং । $(-a-b,0)$ $(-a+b,1/2a)$ $(a-b,1/2a)$ $(a+b,0)$

বিতরণের সমাংশক কোন জন্য এইভাবে হয়, $Y$ $p < 1/2$ প্রতিসাম্য দ্বারা, জন্য, আমরা।

q (p) := q (p; a, b) = {\begin{cases} \sqrt{8 a b p} - (a + b), & p < b / 2 a \\ (2 p - 1) a, & b / 2 a \leq p \leq 1 / 2 . \end{cases}

$q(p) := q(p\,; a,b) = \begin{cases} \sqrt{8abp} - (a+b) \,, & p < b/2a \\ (2p - 1) a \,, & b/2a \leq p \leq 1/2 \>. \end{cases}$

p > 1 / 2

$p > 1/2$

q (p) = - q (1 - p)

$q(p) = - q(1-p)$

কেস হাতে ফিরে

q_{x} (p) = q (p; a, b) + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$q_x(p) = q(p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$

| \sin x | < | \cos x |

$|\sin x| < |\cos x|$

p \geq 1 / 2

$p \geq 1/2$

q_{x} (p) = - q (1 - p; a, b) + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$q_x(p) = -q(1-p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$

কোয়ান্টাইলস

$P(x)$ $x$ $0$ $2\pi$ $y$ $p$ $P(x)$

এক্স এর ক্রিয়া হিসাবে কোয়ান্টাইলস tiles

$p = 1/2$ $p=0$ $p=1$ $p=1/4$ $p=3/4$

কোয়ান্টাইল প্লট

কিছু নমুনা Rকোড

qproc $P(x)$ $x$ qtrap

# Pointwise quantiles of a random process: 
# P(x) = a_1 sin(x) + a_2 cos(x)

# Trapezoidal distribution quantile
# Assumes X = U + V where U~Uni(-a,a), V~Uni(-b,b) and a >= b
qtrap <- function(p, a, b)
{
    if( a < b) stop("I need a >= b.")
    s <- 2*(p<=1/2) - 1
    p <- ifelse(p<= 1/2, p, 1-p)
    s * ifelse( p < b/2/a, sqrt(8*a*b*p)-a-b, (2*p-1)*a )
}

# Now, here is the process's quantile function.
qproc <- function(p, x)
{
    s <- abs(sin(x))
    c <- abs(cos(x))
    a <- ifelse(s>c, s, c)
    b <- ifelse(s<c, s, c)
    qtrap(p,a/2, b/2) + 0.5*(sin(x)+cos(x))
}

নীচে সম্পর্কিত আউটপুট সহ একটি পরীক্ষা করা হয়।

# Test case
set.seed(17)
n <- 1e4
x <- -pi/8
r <- runif(n) * sin(x) + runif(n) * cos(x)

# Sample quantiles, then actual.
> round(quantile(r,(0:10)/10),3)
    0%    10%    20%    30%    40%    50%    60%    70%    80%    90%   100%
-0.380 -0.111 -0.002  0.093  0.186  0.275  0.365  0.453  0.550  0.659  0.917
> round(qproc((0:10)/10, x),3)
 [1] -0.383 -0.117 -0.007  0.086  0.178  0.271  0.363  0.455  0.548
[10]  0.658  0.924

— মৌলিক
সূত্র

আমি আশা করি আমি আরও upvote করতে পারে। এই হল বিশেষজ্ঞতা শক্তি: REASON আমি এই ওয়েবসাইট ভালোবাসি। আমি ট্র্যাপিজয়েড বিতরণ সম্পর্কে জানতাম না। এটি বের করতে আমার কিছুটা সময় লাগত। অথবা ইউনিফর্মগুলির পরিবর্তে গাউসিয়ানদের ব্যবহারের জন্য আমাকে নিষ্পত্তি করতে হবে। যাইহোক, এটা দুর্দান্ত।

— ব্যবহারকারী 60