ডি ফিনেটির প্রতিনিধিত্বের উপপাদ্যটি সম্পর্কে এত দুর্দান্ত কী?

মার্ক জে শেরভিশ (পৃষ্ঠা 12) দ্বারা পরিসংখ্যানের তত্ত্ব থেকে :

যদিও ডিফিনেটির উপস্থাপনা উপপাদ্য 1.49 প্যারামেট্রিক মডেলগুলিকে অনুপ্রাণিত করার কেন্দ্রস্থল, এটি বাস্তবে তাদের প্রয়োগে ব্যবহৃত হয় না।

প্যারামেট্রিক মডেলগুলির উপপাদ্যটি কীভাবে কেন্দ্রীয়?

— gui11aume
সূত্র

আমি মনে করি এটি বেইশিয়ান মডেলগুলির কেন্দ্রীয়। আমি কেবল সিঙ্গলটনের সাথে এটি নিয়ে আলোচনা করছিলাম। বাইশিয়ান পরিসংখ্যানগুলিতে এর গুরুত্ব সেই বায়েশিয়ানরা বাদ দিয়েছিল যারা ডিফিনিটির অনুসারী ছিল except 1980 থেকে ডায়াকনিস এবং ফ্রিডম্যানের

— মাইকেল চেরনিক

@ কার্ডিনাল: পৃষ্ঠা 12 (আমি প্রশ্নটি আপডেট করেছি)।

— gui11aume

নোট করুন যে শেরভিশ বলেছিলেন "... প্যারামেট্রিক মডেলগুলিকে

কেন্দ্রে

motivating

$\textbf{motivating}$ ..."।

— জেন

আমি প্রায়শই ভাবতাম যে উপস্থাপনার কতটা "আসল" এবং তাত্ত্বিকের নির্দিষ্ট ব্যাখ্যার উপর ভিত্তি করে কতটা। কোনও মডেল বর্ণনা করার মতো পূর্বের বন্টন বর্ণনা করার জন্য এটি কেবল সহজেই ব্যবহার করা যেতে পারে।

— সম্ভাব্যতাব্লোগিক

উত্তর:

ডি ফিন্তির প্রতিনিধিত্বমূলক উপপাদ্য সম্ভাব্যতার সাবজেক্টিভিস্টিক ব্যাখ্যার মধ্যে, পরিসংখ্যানের মডেলগুলির রেসন ডি'ট্রে এবং পরামিতিগুলির অর্থ এবং তাদের পূর্ববর্তী বিতরণগুলির মধ্যে এককভাবে গ্রহণ করে ।

মনে করুন যে এলোমেলো ভেরিয়েবল যথাক্রমে "হেডস" এবং "লেজ" এর ফলাফলের সাথে মিল রেখে এবং মান সহ একটি মুদ্রার ক্রমাগত টসেসের ফলাফল উপস্থাপন করে । সম্ভাবনা ক্যালকুলাসের সাবজেক্টিভিস্টিক ব্যাখ্যার প্রেক্ষাপটে বিশ্লেষণ করা হচ্ছে, সাধারণ ঘনত্ববাদী মডেলের অর্থ যার অধীনে স্বাধীন এবং অভিন্নরূপে বিতরণ করেছি, ডি ফিনেটি পর্যবেক্ষণ করেছেন যে স্বাধীনতার শর্তটি বোঝায়, উদাহরণস্বরূপ, $X_1,\dots,X_n$ $1$ $0$ $X_i$ এবং, সুতরাং, প্রথম টসসের ফলাফল টাসেরফলাফল সম্পর্কে আমার অনিশ্চয়তা পরিবর্তন করবে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমি বিশ্বাস করিযে এটি একটি ভারসাম্যযুক্ত মুদ্রা, তবে, প্রথম টসগুলি "হেডস" হিসাবে প্রমাণিত হয়েছিল এমন তথ্য পাওয়ার পরেও আমি শর্তসাপেক্ষে সেই তথ্যটিতে বিশ্বাস করব যে "পাওয়ার সম্ভাবনা" টসে 1000 উপর নেতৃবৃন্দ "সমান । কার্যকরভাবে, এর স্বাধীনতার অনুমানটিবোঝায় যে মুদ্রার টাসসগুলির ফলাফলগুলি পর্যবেক্ষণ করে মুদ্রা সম্পর্কে কিছু শেখা অসম্ভব।

P {X_{n} = x_{n} ∣ X_{1} = x_{1}, \dots, X_{n - 1} = x_{n - 1}} = P {X_{n} = x_{n}},

$P\{X_n=x_n\mid X_1=x_1,\dots,X_{n-1}=x_{n-1}\} = P\{X_n=x_n\} \, ,$

n - 1

$n-1$

n

$n$

a priori

$\textit{a priori}$

999

$999$

1 / 2

$1/2$

X_{i}

$X_i$

এই পর্যবেক্ষণটি ডি ফিন্ত্তিকে স্বাধীনতার চেয়ে দুর্বল শর্ত প্রবর্তনের দিকে পরিচালিত করে যা এই আপাত দ্বন্দ্বের সমাধান করে। ডি ফিনেটির সমাধানের মূল কী একধরনের বিতরণ প্রতিসাম্য যা বিনিময়যোগ্যতা নামে পরিচিত।

$\textbf{Definition.}$ $\{X_i\}_{i=1}^n$ $\mu_{X_1,\dots,X_n}$ $\mu_{X_1,\dots,X_n} = \mu_{X_{\pi(1)},\dots,X_{\pi(n)}}$ $\pi:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\}$ $\{X_i\}_{i=1}^\infty$

$\{X_i\}_{i=1}^\infty$ $X_i$ $0$ $1$ $\{X_i\}_{i=1}^\infty$ $\Theta:\Omega\to[0,1]$ $\mu_\Theta$

P {X_{1} = x_{1}, \dots, X_{n} = x_{n}} = \int_{[0, 1]} θ^{s} (1 - θ)^{n - s} d μ_{Θ} (θ),

$P\{X_1=x_1,\dots,X_n=x_n\} = \int_{[0,1]} \theta^s(1-\theta)^{n-s}\,d\mu_\Theta(\theta) \, ,$

s = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

$s=\sum_{i=1}^n x_i$

{\bar{X}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \to_{n \to \infty}^{} Θ almost surely,

$\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow[n\to\infty]{} \Theta \qquad \textrm{almost surely},$

$\{X_i\}_{i=1}^\infty$ $\textbf{there is}$ $\textit{parameter}$ $\Theta$ $\Theta$ $\textit{conditionally}$ $\Theta$ $\mu_\Theta$ $\bar{X}_n$ $X_i$ $\Theta$

P {X_{n} = 1 ∣ X_{1} = x_{1}, \dots, X_{n - 1} = x_{n - 1}} = E [Θ ∣ X_{1} = x_{1}, \dots, X_{n - 1} = x_{n - 1}] .

$P\{X_n=1\mid X_1=x_1,\dots,X_{n-1}=x_{n-1}\} = \mathrm{E}\left[\Theta\mid X_1=x_1,\dots,X_{n-1}=x_{n-1}\right] \, .$

— জেন
সূত্র

এই অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ উত্তরের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! স্বাধীনতা সম্পর্কে আপনার বক্তব্যটি আমি খুব প্রথমবারের মতো উপলব্ধি করি।

— gui11aume

("একটি দরকারী" আরও ভাল ছিল :))

— নীল জি

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

X_{i}

$X_i$

E [θ^{s} (1 - θ)^{s}] = E [P (X_{i} = x_{i} \forall i | θ)]

$E [\theta^s (1-\theta)^s] = E[P(X_i = x_i \, \forall \, i | \theta) ]$

θ

$\theta$

Pr {X_{1} = x_{1}, \dots, X_{n} = x_{n} ∣ Θ = θ}

$\Pr\{X_1=x_1,\dots,X_n=x_n\mid\Theta=\theta\}$

\prod_{i = 1}^{n} Pr {X_{i} = x_{i} ∣ Θ = θ} = \prod_{i = 1}^{n} θ^{x_{i}} (1 - θ)^{1 - x_{i}}

$\prod_{i=1}^n \Pr\{X_i=x_i\mid\Theta=\theta\}=\prod_{i=1}^n \theta^{x_i}(1-\theta)^{1-x_i}$

X_{i}

$X_i$

Θ = θ

$\Theta=\theta$

@ জেন ধন্যবাদ! আমি প্রথম বাক্যটি বুঝতে পারি, তবে অংশটি "যেহেতু এটি "এখনও আমার কাছে অস্পষ্ট। আপনি কীভাবে এটি জানেন যে এটির কারণগুলি? দেখে মনে হচ্ছে আপনি আমার আগের মন্তব্যে যে পরিচয় লিখেছিলেন তা থেকে আপনি প্রত্যাশিত মানটি ফেলে দিচ্ছেন, তবে কীভাবে এটি ন্যায়সঙ্গত তা আমি নিশ্চিত নই।

\prod_{i = 1}^{n} Pr {X_{i} = x_{i} ∣ Θ = θ} = \prod_{i = 1}^{n} θ^{x_{i}} (1 - θ)^{1 - x_{i}}

$\prod_{i=1}^n \Pr\{X_i=x_i\mid\Theta=\theta\}=\prod_{i=1}^n \theta^{x_i}(1-\theta)^{1-x_i}$

— ব্যবহারকারী795305

জেনের উত্তরে সবকিছু গাণিতিকভাবে সঠিক। তবে আমি কিছু বিষয় নিয়ে একমত নই। দয়া করে সচেতন থাকুন যে আমি আমার দৃষ্টিভঙ্গিটি ভাল / তা দাবী / বিশ্বাস করি না; বিপরীতে আমি মনে করি এই পয়েন্টগুলি এখনও আমার পক্ষে সম্পূর্ণ পরিষ্কার নয়। এগুলি কিছুটা দার্শনিক প্রশ্ন যা সম্পর্কে আমি আলোচনা করতে পছন্দ করি (এবং আমার জন্য একটি ভাল ইংরেজি অনুশীলন), এবং আমি কোনও পরামর্শে আগ্রহী।

"হেডস" সহ উদাহরণ সম্পর্কে জেন মন্তব্য করেছেন: " এর স্বাধীনতার অনুমানটি বোঝায় যে মুদ্রার টাসসের ফলাফলগুলি পর্যবেক্ষণ করে এটি সম্পর্কে কিছু শেখা অসম্ভব।" এই frequentist দৃষ্টিকোণ থেকে সত্য নয়: মুদ্রা সম্পর্কে জানতে সম্পর্কে জানতে মানে , যা আনুমানিক হিসাব (পয়েন্ট-অনুমান বা আস্থা ব্যবধান) দ্বারা সম্ভব পূর্ববর্তী থেকে ফলাফল নেই। যদি ঘন ঘনবাদী "হেডস" অবলম্বন করেন তবে তিনি / তিনি এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছেন যে সম্ভবত কাছাকাছি এবং ফলস্বরূপ । $999$ $X_i$ $\theta$ $\theta$ $999$ $999$ $\theta$ $1$ $\Pr(X_n=1)$
যাইহোক, এই মুদ্রা-টসিং উদাহরণে, এলোমেলো কী? দু'জনের মধ্যে একটি করে মুদ্রা-টসিং গেমটি একই মুদ্রার সাথে অসীম সংখ্যক বার খেললে তারা কেন আলাদা ? আমার মনে আছে যে মুদ্রা-টসিংয়ের বৈশিষ্ট্য হ'ল স্থির যা কোনও গেমারের জন্য প্রযুক্তিগত গাণিতিক কারণে "প্রায় কোনও গেমার") সাধারণ মূল্য value এর থেকে আরও দৃ concrete় উদাহরণ যার জন্য ব্যাখ্যাযোগ্য এলোমেলো ঘটনা নেই হ'ল এবং এর সীমাবদ্ধ জনগোষ্ঠীতে প্রতিস্থাপন সহ একটি এলোমেলো নমুনার ঘটনা । $\Theta$ $\theta = \bar X_\infty$ $\theta$ $\bar X_\infty$ $\Theta$ $0$ $1$
শের্ভিশের বই এবং ওপি কর্তৃক উত্থাপিত প্রশ্ন সম্পর্কে আমি মনে করি (দ্রুত কথা বলছি) শেরভিশ অর্থ হ'ল বিনিময়যোগ্যতা একটি "দুর্দান্ত" ধারণা এবং তারপরে ডিফিনেটির উপপাদ্যটি "দুর্দান্ত" কারণ এটি বলে যে প্রতিটি বিনিময়যোগ্য মডেলের একটি প্যারামেট্রিক প্রতিনিধিত্ব থাকে has অবশ্যই আমি পুরোপুরি একমত। তবে আমি যদি এবং মত বিনিময়যোগ্য মডেলটি ধরে নিই তারপর আমি সম্পর্কে অনুমান করণ আগ্রহী হবে এবং , এর উপলব্ধি সম্পর্কে না । আমি যদি কেবলমাত্র আদায় করতে আগ্রহী তবে আমি বিনিময়যোগ্যতা ধরে নেওয়ার আগ্রহ দেখছি না। $(X_i\mid\Theta=\theta)\sim_\text{iid} \text{Bernoulli}(\theta)$ $\Theta \sim \text{Beta}(a,b)$ $a$ $b$ $\Theta$ $\Theta$

এটা দেরি হয়ে গেছে...

— স্টাফেন লরেন্ট
সূত্র

হাই স্টাফেন! আমার উত্তর সম্পর্কে আপনার মন্তব্যের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আপনার প্রথম বক্তব্য সম্পর্কে যে my, আমার উত্তরে সমস্ত কিছু বায়েশীয় প্রসঙ্গে বর্ণিত হয়েছে। অন্যান্য অনুমানের দৃষ্টান্তগুলির সাথে বৈসাদৃশ্য স্থাপনের সত্যিকার চেষ্টা নেই। সংক্ষেপে, আমি বায়েশিয়ান হিসাবে ডি ফিনেটির উপপাদ্যটি আমার কাছে কী বোঝাতে চেষ্টা করেছি।

"this is not true from the frequentist perspective"

$\textbf{"this is not true from the frequentist perspective"}$

— জেন

আপনার দ্বিতীয় বুলেট সম্পর্কে: র্যান্ডম (আঃ) মাত্রা হল যেমন ডি Finetti এর LLN বিবৃত। সুতরাং যখন কিছু Bayesian বলছেন যে জন্য আমার পূর্বে হয় তিনি এর অর্থ হল এই বন্টন, এই সীমা তার অনিশ্চয়তা প্রতিনিধিত্ব করে ডেটাতে অ্যাক্সেস থাকার আগে। বিভিন্ন বায়েশিয়ানদের আলাদা আলাদা প্রিয়ার থাকতে পারে তবে উপযুক্ত নিয়মিততার শর্তগুলির সাথে তাদের (একই ধরণের পোস্টারিয়র) সম্পর্কে চুক্তি হবে, কারণ তারা ফলাফল সম্পর্কে আরও এবং বেশি তথ্য পেয়ে থাকে।

Θ

$\Theta$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

Θ

$\Theta$

μ_{Θ}

$\mu_\Theta$

a posteriori

$\textit{a posteriori}$

Θ

$\Theta$

— জেন

স্থির তবে অজানা কোনও বায়েশিয়ান ধারণা নয়।

θ

$\theta$

— জেন

আপনার তৃতীয় বুলেট সম্পর্কে, প্রদত্ত: 1) যে শের্ভিশ একজন বেইশিয়ান পরিসংখ্যানবিদ; 2) তিনি তাঁর বইয়ে বিনিময়যোগ্যতা আলোচনায় সময় এবং শক্তি ব্যয় করেন; আমি বিশ্বাস করি যে তাঁর কাছে ডি ফিনেটির উপপাদকের ভূমিকা খুব গভীর, শীতলতার বাইরেও going তবে আমি সম্মতি জানাই যে এটি যাইহোক!

— জেন

আমার দৃষ্টিভঙ্গি স্পষ্ট করার জন্য: আমি বিশ্বাস করি না যে "বেসিক" (ননক্রমিক) বায়েসিয়ান মডেলটিতে একটি এলোমেলো রয়েছে। একটি নির্দিষ্ট অজানা আছে , এবং পূর্ববর্তী বিতরণটি এটি সম্পর্কে বিশ্বাসকে বর্ণনা করে। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ভূমিকা কেবল বায়েশিয়ান অনুমানের গাণিতিক চিকিত্সা, পরীক্ষায় এর কোনও ব্যাখ্যা নেই। আপনি কি সত্যিই এই ধরনের আমার তৃতীয় বুলেট উদাহরণ হিসাবে বিনিময়যোগ্য কিন্তু স্বাধীন না পর্যবেক্ষণ, অনুমান, তাহলে আপনি উপর hyperpriors দিতে হবে এবং ।

θ

$\theta$

θ

$\theta$

Θ

$\Theta$

a

$a$

b

$b$

— স্টাফেন লরেন্ট

আপনারা এই বিষয়টির কোনও কাগজে আগ্রহী হতে পারেন (অ্যাক্সেসের জন্য জার্নাল সাবস্ক্রিপশন - এটি আপনার বিশ্ববিদ্যালয় থেকে অ্যাক্সেস করার চেষ্টা করুন):

ও'নিল, বি। (2011) বিনিময়যোগ্যতা, পারস্পরিক সম্পর্ক এবং বেয়েস এর প্রভাব। আন্তর্জাতিক পরিসংখ্যান পর্যালোচনা 77 (2), পৃষ্ঠা 241-250।

এই কাগজটি বয়েশিয়ান এবং ঘন ঘন ঘন আইআইডি মডেল উভয়েরই ভিত্তি হিসাবে উপস্থাপনের উপপাদ্যটি নিয়ে আলোচনা করেছে এবং এটি মুদ্রা-টসিং উদাহরণে প্রয়োগ করে। এটি ঘনঘনবাদী দৃষ্টান্তের অনুমানের আলোচনাটি পরিষ্কার করতে হবে। এটি আসলে দ্বিপদী মডেলকে ছাড়িয়ে উপস্থাপনের উপপাদকের বিস্তৃত প্রসারকে ব্যবহার করে তবে এটি এখনও কার্যকর হবে।

— পরিসংখ্যান
সূত্র

আপনার কাছে এটির কোনও কার্যকরী কাগজের সংস্করণ থাকতে পারে? আমার atm অ্যাক্সেস নেই :-(

— আইএমএ

@ উত্তরগুলি পরে আপনার উত্তরটি দেখার পরে আমি সেই কাগজটি পড়েছি। আমার বলতে হবে, আমি ইস্যুটি দেখেছি সেই বিষয়ে বায়েশিয়ান এবং ফ্রিকোয়ালিস্টকে চিত্রিত করার সেরা কাগজ। আমি আশা করি আমি এই কাগজটি অনেক আগে পড়তে পারতাম। (+1)

— কেভিনকিম