কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদ্যটি ধারণ করে না এমন কোনও উদাহরণ রয়েছে কি?

32

উইকিপিডিয়া বলেছে -

সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য (সিএলটি) প্রতিষ্ঠিত করে যে, বেশিরভাগ পরিস্থিতিতে যখন স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি যুক্ত করা হয় , তখন তাদের সঠিকভাবে স্বাভাবিক অঙ্কটি একটি সাধারণ বিতরণ (অনানুষ্ঠানিকভাবে একটি "বেল কার্ভ") দিকে ঝোঁক দেয় এমনকি মূল ভেরিয়েবলগুলি না হলেও themselves সাধারণভাবে বন্টনকৃত...

যখন এটি "বেশিরভাগ পরিস্থিতিতে" বলে থাকে, কোন পরিস্থিতিতে কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বটি কাজ করে না?

— রায়ান ম্যাককলে
সূত্র

33

এটি বুঝতে, আপনাকে প্রথমে কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদ্যের একটি সংস্করণ লিখতে হবে। কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যের "সাধারণ" বিবৃতিটি এখানে:

লিন্ডবার্গ – ল্যাভি সিএলটি। ধরুন এবং সহ আইআইডি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির একটি ক্রম । যাক। তারপরে অসীমের কাছে যাওয়ার সাথে সাথে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি একটি সাধারণ এ বিতরণে রূপান্তর করে অর্থাৎ ${X_1, X_2, \dots}$ $E[X_i] = \mu$ $Var[X_i] = \sigma^2 < \infty$ $S_{n}:={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}$ $n$ $\sqrt{n}(S_n − \mu)$ $N(0,\sigma^2)$

$\sqrt{n} ((\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) - μ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2}) .$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}\left(\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)-\mu \right)\ {\xrightarrow {d}}\ N\left(0,\sigma ^{2}\right).}$

সুতরাং, কীভাবে এটি অনানুষ্ঠানিক বর্ণনার থেকে পৃথক হয় এবং ফাঁকগুলি কী কী? আপনার অনানুষ্ঠানিক বর্ণনা এবং এই বর্ণনার মধ্যে বেশ কয়েকটি পার্থক্য রয়েছে, যার কয়েকটি অন্যান্য উত্তরে আলোচনা করা হয়েছে, তবে সম্পূর্ণ নয়। সুতরাং, আমরা এটিকে তিনটি নির্দিষ্ট প্রশ্নে রূপান্তর করতে পারি:

ভেরিয়েবলগুলি অভিন্নভাবে বিতরণ না করা হলে কী হবে?
ভেরিয়েবলগুলির অসীম বৈকল্পিকতা বা অসীমের অর্থ কী হবে?
স্বাধীনতা কতটা গুরুত্বপূর্ণ?

এই একবারে গ্রহণ করা,

অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয়নি , সেরা সাধারণ ফলাফলগুলি হ'ল কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদ্যের লিন্ডবার্গ এবং লায়াপোনভ সংস্করণ। মূলত, যতক্ষণ না স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিগুলি খুব বেশি বর্বরভাবে বৃদ্ধি পায় না, আপনি এগুলি থেকে একটি শালীন কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বটি পেতে পারেন।

লায়াপুনভ সিএলটি। [৫] ধরুন independent একটি স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রম, প্রতিটি সীমাবদ্ধ প্রত্যাশিত মান এবং বৈকল্পিক সংজ্ঞায়িত করুন: ${X_1, X_2, \dots}$ $\mu_i$ $\sigma^2$ $s_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}$

যদি কিছু এর জন্য থাকে তবে লায়াপুনভের অবস্থা ডিসপ্লেস্টাইল satisfied সন্তুষ্ট, তারপরে যোগফল ডিস্ট্রিবিউশনকে একটি স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলে রূপান্তরিত করে, যেমন এন অসীমের দিকে যায়: $\delta > 0$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2+\delta }}}\sum_{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[|X_{i}-\mu _{i}|^{2+\delta }\right]=0$ $X_i − \mu_i / s_n$

${{\frac {1}{s_{n}}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu_{i}\right)\ {\xrightarrow {d}}\ N(0,1).}$

কেন্দ্রীয় সীমার উপপাদ্যের অনুরূপ অসীম ভেরিয়েন্স উপপাদাগুলি অসীম বৈকল্পিক সহ ভেরিয়েবলগুলির জন্য বিদ্যমান তবে শর্তগুলি সাধারণ কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বের তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে আরও সংকীর্ণ। মূলত সম্ভাব্যতা বিতরণের লেজ থেকে asymptotic হওয়া আবশ্যক জন্য । এই ক্ষেত্রে, উপযুক্ত আকারযুক্ত সমষ্টিগুলি লেভি-আলফা স্থিতিশীল বিতরণে রূপান্তর করে । $|x|^{-\alpha-1}$ $0 < \alpha < 2$

স্বাধীনতার গুরুত্ব স্বতন্ত্র সিকোয়েন্সগুলির জন্য অনেকগুলি বিভিন্ন কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্ব রয়েছে । তারা সব অত্যন্ত প্রাসঙ্গিক। ব্যাটম্যান যেমন উল্লেখ করেছেন, মার্টিংসলেসগুলির জন্য একটি আছে । এই প্রশ্নটি গবেষণার একটি চলমান ক্ষেত্র, আগ্রহের নির্দিষ্ট প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে অনেক, বিভিন্ন বিচিত্রতা রয়েছে। ম্যাথ এক্সচেঞ্জের এই প্রশ্নটি এই প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত আরেকটি পোস্ট। $X_i$

— জন
সূত্র

2

উদ্ধৃতি পদ্ধতির কারণে যে সূত্রটি আমার মনে হয়েছিল যে আমি তার থেকে একটি বিপথগামী ">" মুছে ফেলেছি - যদি ইচ্ছাকৃত হয় তবে আমার সম্পাদনাটি বিপর্যস্ত মনে করুন!

— সিলভারফিশ

ত্রিভুজাকার অ্যারে সিএলটি সম্ভবত বর্ণিত চেয়ে বেশি প্রতিনিধি সিএলটি। স্বতন্ত্র নয়, মার্টিংলে সিএলটি যুক্তিসঙ্গতভাবে ব্যবহৃত হয়।

— ব্যাটম্যান

@ ব্যাটম্যান, ত্রিভুজাকার অ্যারে সিএলটি-র উদাহরণ কী? আমার প্রতিক্রিয়াটি সম্পাদন করতে, এটি যুক্ত করতে নির্দ্বিধায় আমি তার সাথে পরিচিত নই।

— জন 20

সেকেন্ডের মতো কিছু। 4.2.3 in personal.psu.edu/drh20/asymp/lectures/p93to100.pdf

— ব্যাটম্যান

1

"যতক্ষণ না স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিগুলি খুব বেশি বৃদ্ধি পায় না" বা সঙ্কুচিত করুন (যেমন:

σ_{i}^{2} = σ_{i - 1}^{2} / 2

$\sigma_i^2 = \sigma_{i-1}^2/2$

— 2/2

21

যদিও আমি যথেষ্ট নিশ্চিত যে এর আগে এর জবাব দেওয়া হয়েছে, এখানে আরও একটি রয়েছে:

কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বের বেশ কয়েকটি সংস্করণ রয়েছে, সর্বাধিক সাধারণ যে স্বেচ্ছাসেবী সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন প্রদান করে, ভেরিয়েবলগুলির যোগফলকে গড় মানগুলির সমান গড় গড় মানের সাথে বিতরণ করা হবে, পাশাপাশি তফাতটি যোগফল হবে স্বতন্ত্র রূপের।

একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ এবং প্রাসঙ্গিক প্রতিবন্ধকতা হল যে প্রদত্ত পিডিএফগুলির গড় এবং তারতম্য থাকতে হবে এবং অবশ্যই সীমাবদ্ধ হতে হবে।

সুতরাং, কোনও গড় মান বা বৈকল্পিকতা ছাড়াই কোনও পিডিএফ নিন - এবং কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বটি আর ধরে রাখবে না। সুতরাং উদাহরণস্বরূপ একটি লরেন্টজিয়ান বিতরণ নিন।

— স্বর্গীয় দূত
সূত্র

+1 বা এলোমেলো হাঁটার বিতরণের মতো অসীম বৈকল্পিকতার সাথে বিতরণ করুন।

— অ্যালেক্সিস

2

@Alexis - অভিমানী সময় একটি সসীম সময়ে একটি র্যান্ডম হাঁটার এ খুঁজছেন, আমি এটা একটি নির্দিষ্ট ভ্যারিয়েন্স হবে চিন্তা করে, এর সমষ্টি হচ্ছে IID পদক্ষেপ সসীম ভ্যারিয়েন্স সঙ্গে প্রতিটি

n

$n$

— হেনরি

1

@ হেনরি: না, সময় মতো এক মুহুর্তে আমি ধরে নিচ্ছি না, তবে অসীম দৈর্ঘ্যের সমস্ত সম্ভাব্য এলোমেলো পদক্ষেপের বিতরণের বিভিন্নতা।

— অ্যালেক্সিস

1

@Alexis যদি প্রতিটি পদক্ষেপ এলোমেলো হাটা হয় বা সমান সম্ভাবনা থাকে IID এবং অবস্থানের হয় তারপর কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য সঠিকভাবে বোঝা হিসাবে আপনি বিতরণের আছে distribution বিতরণে রূপান্তর

X_{i}

$X_i$

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

Y_{n} = \sum_{1}^{n} X_{i}

$Y_n =\sum_1^n X_i$

n \to \infty

$n \to \infty$

\sqrt{n} (\frac{1}{n} Y_{n}) = \frac{Y_{n}}{\sqrt{n}}

$\sqrt{n}\left(\frac1n Y_n\right) = \frac{Y_n}{\sqrt{n}}$

N (0, 1)

$\mathcal N(0,1)$

— হেনরি

1

@ অ্যালেক্সিস সিএলটি-র জন্য কিছু যায় আসে না, কারণ প্রতিটি পৃথক বিতরণের এখনও একটি সীমাবদ্ধ বৈকল্পিকতা রয়েছে।

— কিউবিক

15

না, সিএলটি সর্বদা ধারণ করে যখন এর অনুমানগুলি ধরে থাকে। "বেশিরভাগ পরিস্থিতিতে" এর মতো যোগ্যতা হ'ল সিএলটি প্রয়োগ করা উচিত সেই অবস্থার অনানুষ্ঠানিক উল্লেখ।

উদাহরণস্বরূপ, কচী বিতরণ থেকে স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের একটি লিনিয়ার সংমিশ্রণ সাধারণ বিতরণযোগ্য ভেরিয়েবল যোগ করবে না । এর অন্যতম কারণ হ'ল বৈচিত্রটি কচী বিতরণের জন্য অপরিজ্ঞাত , যখন সিএলটি বৈকল্পিকতার উপর কিছু শর্ত রাখে, যেমন এটি সীমাবদ্ধ হতে হবে। একটি আকর্ষণীয় প্রভাব হ'ল যেহেতু মন্টি কার্লো সিমুলেশনগুলি সিএলটি দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছে, তাই কৌচির মতো চর্বিযুক্ত লেজযুক্ত বিতরণগুলি মোকাবেলা করার সময় আপনাকে মন্টি কার্লো সিমুলেশনগুলির সাথে যত্নবান হতে হবে।

দ্রষ্টব্য, এখানে সিএলটি-র একটি সাধারণ সংস্করণ রয়েছে। এটি অসীম বা অপরিজ্ঞাত বৈকল্পিকের জন্য কাজ করে যেমন কাচী বিতরণ। অনেকগুলি ভাল আচরণের বিতরণের থেকে পৃথক, কচির সংখ্যার যথাযথভাবে সাধারনত যোগটি কচী থেকে যায়। এটি গাউসিতে রূপান্তরিত হয় না।

যাইহোক, কেবল গাউসিয়ান নয় অন্যান্য অনেক বিতরণে বেল আকারের পিডিএফ রয়েছে, যেমন শিক্ষার্থী টি। এজন্য আপনি যে বর্ণনাটি উদ্ধৃত করেছেন তা সম্ভবত উদার এবং অসম্পূর্ণ, সম্ভবত উদ্দেশ্য।

— Aksakal
সূত্র

7

এখানে করূবের উত্তরের একটি চিত্রণ দেওয়া হয়েছে, 1e5 এর একটি হিস্টোগ্রাম দুটি ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে টি-বিতরণের নমুনা মাধ্যম থেকে স্কেলড ( ) থেকে অঙ্কিত হয়েছে , যেমন বৈকল্পিকতা বিদ্যমান নেই । $\sqrt{n}$

তাহলে CLT প্রয়োগ করেছেন, জন্য হিস্টোগ্রাম মত বৃহৎ একটি আদর্শ সাধারন বন্টনের ঘনত্ব অনুরূপ করা উচিত (যা, যেমন, ঘনত্ব আছে এর শিখর), এটি স্পষ্টতই তা করে না। $n$ $n=1000$ $1/\sqrt{2\pi}\approx0.4$

library(MASS)
n <- 1000
samples.from.t <- replicate(1e5, sqrt(n)*mean(rt(n, df = 2)))
truehist(samples.from.t, xlim = c(-10,10), col="salmon")

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক
সূত্র

3

আপনাকে এখানে কিছুটা সাবধানতা অবলম্বন করতে হবে যেমন আপনি ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে ডিসট্রিবিউশনের মাধ্যমে এটি করেছিলেন তবে কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বটি প্রয়োগ হবে তবে আপনার গ্রাফটি কাছাকাছি না হলেও পরিবর্তে কারণ আসল রূপটি হবে না

t

$t$

3

$3$

0.4

$0.4$

\frac{1}{\sqrt{6 π}} \approx 0.23

$\frac1{\sqrt{6\pi}}\approx 0.23$

1

$1$

— হেনরি

এটি একটি ভাল বিষয়, কেউ সিএলটি কাজ করলে স্লুটজকির উপপাদ্যকে এন (0,1) রূপান্তরিত করে sd(x)এমন কিছু পাওয়ার মাধ্যমে গড়কে মানিক করে তুলতে পারে। আমি উদাহরণটি সহজ রাখতে চেয়েছিলাম, তবে আপনি অবশ্যই সঠিক।

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক

6

একটি সহজ ক্ষেত্রে যেখানে সিএলটি খুব ব্যবহারিক কারণে ধরে রাখতে পারে না, তা হল যখন এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রমটি একদিকে থেকে কঠোরভাবে তার সম্ভাবনার সীমাতে পৌঁছায় । এটি উদাহরণস্বরূপ উদাহরণস্বরূপ সম্মুখীন হয়েছে যা একটি সীমানার মধ্যে রয়েছে এমন কিছু অনুমান করে।

এখানে আদর্শ উদাহরণটি সম্ভবত আইআইডি ইউনিফর্ম এর একটি নমুনায় অনুমান । সর্বাধিক সম্ভাবনা মূল্নির্ধারক সর্বাধিক অর্ডার পরিসংখ্যাত হতে হবে, এবং এটি এগিয়ে যাব অগত্যা কেবল নীচের থেকে: naively চিন্তা যেহেতু তার সম্ভাব্যতা সীমা হতে হবে , মূল্নির্ধারক একটি বিতরণ "প্রায়" থাকতে পারে না - এবং CLT হয় সর্বস্বান্ত. $\theta$ $U(0,\theta)$ $\theta$ $\theta$ $\theta$

যথাযথভাবে স্কেল করা এস্টিমেটারটির সীমিত বন্টন থাকে - তবে "সিএলটি বিভিন্ন" নয় of

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

3

আপনি এখানে একটি দ্রুত সমাধান খুঁজে পেতে পারেন ।

কেন্দ্রীয়-সীমাবদ্ধ উপপাদ্যের ব্যতিক্রম উঠে আসে

যখন একই উচ্চতার একাধিক ম্যাক্সিমা থাকে এবং
যেখানে দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভ সর্বাধিক অদৃশ্য হয়ে যায়।

কিছু অন্যান্য ব্যতিক্রম রয়েছে যা @চেরুব এর উত্তরে বর্ণিত হয়েছে।

একই প্রশ্নটি ইতিমধ্যে গণিত.স্ট্যাকেক্সচেঞ্জে জিজ্ঞাসা করা হয়েছে । আপনি উত্তরগুলি এখানে পরীক্ষা করতে পারেন।

— Ferdi
সূত্র

5

"ম্যাক্সিমা" দ্বারা, আপনি মোডগুলি বোঝাতে চান? বিএমোডাল হওয়ার কারণে সিএলটি সন্তুষ্ট করতে ব্যর্থ হওয়ার কোনও সম্পর্ক নেই।

— আহরণ

@ অ্যাক্যাকিউমুলেশন: এখানে শব্দবন্ধগুলি বিভ্রান্তিকর কারণ এটি আসলে একটি বিচ্ছিন্ন আরভি

M (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} P (X = n) z^{n}

$M(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty P(X=n)z^n$

— অ্যালেক্স আর।

@AlexR। লিঙ্কটি না পড়েই উত্তরটি মোটেও বোঝা যায় না এবং লিঙ্কটি দিয়েও পরিষ্কার far আমি ডাউনভোটিংয়ের দিকে ঝুঁকছি কেবলমাত্র একটি লিঙ্ক-উত্তরের চেয়েও খারাপ।

— সংগৃহীত