Θ এর UMVUE

যাক $(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ ঘনত্ব থেকে একটি র্যান্ডম নমুনা হতে
$f_{θ} (x) = θ x^{θ - 1} 1_{0 < x < 1}, θ > 0$ $f_{\theta}(x)=\theta x^{\theta-1}\mathbf1_{0<x<1}\quad,\,\theta>0$

আমি M এর UMVUE সন্ধান করার চেষ্টা করছি $\frac{\theta}{1+\theta}$ ।

যুগ্ম ঘনত্ব $(X_1,\ldots,X_n)$ হয়

\begin{aligned} f_{θ} (x_{1}, \dots, x_{n}) & = θ^{n} {(\prod_{i = 1}^{n} x_{i})}^{θ - 1} 1_{0 < x_{1}, \dots, x_{n} < 1} \\ = \exp [(θ - 1) \sum_{i = 1}^{n} \ln x_{i} + n \ln θ + \ln (1_{0 < x_{1}, \dots, x_{n} < 1})], θ > 0 \end{aligned}

$\begin{align} f_{\theta}(x_1,\cdots,x_n)&=\theta^n\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta-1}\mathbf1_{0<x_1,\ldots,x_n<1} \\&=\exp\left[(\theta-1)\sum_{i=1}^n\ln x_i+n\ln\theta+\ln (\mathbf1_{0<x_1,\ldots,x_n<1})\right],\,\theta>0 \end{align}$

জনসংখ্যা PDF হিসেবে $f_{\theta}$ এক প্যারামিটার সূচকীয় পরিবারের জন্যে, এই শো জন্য একটি সম্পূর্ণ যথেষ্ট পরিসংখ্যাত যে $\theta$ হল

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \ln X_{i}

$T(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^n\ln X_i$

যেহেতু $E(X_1)=\frac{\theta}{1+\theta}$ , প্রথমভাবাতে, $E(X_1\mid T)$ আমাকেএর UMVUE দেবে $\frac{\theta}{1+\theta}$ লেহম্যান-Scheffe উপপাদ্য দ্বারা। না নিশ্চিত এই শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা সরাসরি পাওয়া যাবে যদি বা এক শর্তাধীন বিতরণ খুঁজে পেতে হয়েছে $X_1\mid \sum_{i=1}^n\ln X_i$ ।

অন্যদিকে, আমি নিম্নলিখিত পদ্ধতির বিষয়টি বিবেচনা করেছি:

আমাদের $X_i\stackrel{\text{i.i.d}}{\sim}\text{Beta}(\theta,1)\implies -2\theta\ln X_i\stackrel{\text{i.i.d}}{\sim}\chi^2_2$ , যাতে $-2\theta\, T\sim\chi^2_{2n}$ ।

তাই $r$ ম অর্ডার কাঁচা মুহুর্ত $-2\theta\,T$ প্রায় শূন্য, চি-স্কোয়ার পিডিএফ ব্যবহার করে গণনা করা হয়

E (- 2 θ T)^{r} = 2^{r} \frac{Γ (n + r)}{Γ (n)}, n + r > 0

$E(-2\theta\,T)^r=2^r\frac{\Gamma\left(n+r\right)}{\Gamma\left(n\right)}\qquad ,\,n+r>0$

তাই মনে হচ্ছে যে বিভিন্ন পূর্ণসংখ্যা পছন্দ জন্য $r$ , আমি বিভিন্ন পূর্ণসংখ্যা ক্ষমতা পক্ষপাতিত্বহীন estimators (এবং UMVUEs) পেতে হবে $\theta$ । উদাহরণস্বরূপ, $E\left(-\frac{T}{n}\right)=\frac{1}{\theta}$ এবং $E\left(\frac{1-n}{T}\right)=\theta$ আমাকে সরাসরিএর ইউএমভিউ দেয় $\frac{1}{\theta}$ এবং $\theta$ যথাক্রমে।

এখন, যখন $\theta>1$ আমাদের থাকে $\frac{\theta}{1+\theta}=\left(1+\frac{1}{\theta}\right)^{-1}=1-\frac{1}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^3}+\cdots$ ।

আমি অবশ্যই এর UMVUE পেতে পারি $\frac{1}{\theta},\frac{1}{\theta^2},\frac{1}{\theta^3}$ এবং আরও। মিশ্রন তাই এই UMVUE আমি প্রয়োজনীয় UMVUE পেতে পারেন $\frac{\theta}{1+\theta}$ । এই পদ্ধতিটি বৈধ নাকি আমার প্রথম পদ্ধতিটি নিয়ে এগিয়ে যাওয়া উচিত? যখন এটি উপস্থিত থাকে তখন UMVUE অনন্য, সুতরাং উভয়েরই আমাকে একই উত্তর দেওয়া উচিত।

স্পষ্টভাবে বলতে গেলে, আমি পাচ্ছি

E (1 + \frac{T}{n} + \frac{T^{2}}{n (n + 1)} + \frac{T^{3}}{n (n + 1) (n + 2)} + \dots) = 1 - \frac{1}{θ} + \frac{1}{θ^{2}} - \frac{1}{θ^{3}} + \dots

$E\left(1+\frac{T}{n}+\frac{T^2}{n(n+1)}+\frac{T^3}{n(n+1)(n+2)}+\cdots\right)=1-\frac{1}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^3}+\cdots$

অর্থাৎ

E (\sum_{r = 0}^{\infty} \frac{T^{r}}{n (n + 1) . . . (n + r - 1)}) = \frac{θ}{1 + θ}

$E\left(\sum_{r=0}^\infty \frac{T^r}{n(n+1)...(n+r-1)}\right)=\frac{\theta}{1+\theta}$

এটা কি সম্ভব যে আমার প্রয়োজনীয় UMVUE হ'ল $\displaystyle\sum_{r=0}^\infty \frac{T^r}{n(n+1)...(n+r-1)}$ কখন $\theta>1$ ?

জন্য $0<\theta<1$ , আমি পেতে হবে $g(\theta)=\theta(1+\theta+\theta^2+\cdots)$ , এবং UMVUE ভিন্ন হবে তাই।

প্রথম দৃষ্টিভঙ্গিতে শর্তাধীন প্রত্যাশা সরাসরি খুঁজে পাওয়া যায়নি এবং $E(X_1\mid \sum\ln X_i=t)=E(X_1\mid \prod X_i=e^t)$ , আমি এটি অগ্রসর ছিল শর্তাধীন বিতরণ $X_1\mid \prod X_i$ । যে জন্য, আমি যুগ্ম ঘনত্ব প্রয়োজন $(X_1,\prod X_i)$ ।

আমি ভেরিয়েবলের পরিবর্তন ব্যবহার করেছি $(X_1,\cdots,X_n)\to (Y_1,\cdots,Y_n)$ যেমন $Y_i=\prod_{j=1}^i X_j$ সবার জন্য। যুগ্ম সমর্থন এই নেতৃত্বহচ্ছে $i=1,2,\cdots,n$ $(Y_1,\cdots,Y_n)$ $S=\{(y_1,\cdots,y_n): 0<y_1<1, 0<y_j<y_{j-1} \text{ for } j=2,3,\cdots,n\}$ ।

জ্যাকোবিয়ান নির্ধারকটি $J=\left(\prod_{i=1}^{n-1}y_i\right)^{-1}$ ।

সুতরাং আমি $(Y_1,\cdots,Y_n)$ এর যৌথ ঘনত্বটি হিসাবে পেয়েছি

f_{Y} (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) = \frac{θ^{n} y_{n}^{θ - 1}}{\prod_{i = 1}^{n - 1} y_{i}} 1_{S}

$f_Y(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\frac{\theta^n\, y_n^{\theta-1}}{\prod_{i=1}^{n-1}y_i}\mathbf1_S$

$(Y_1,Y_n)$ এর যৌথ ঘনত্ব তাই

f_{Y_{1}, Y_{n}} (y_{1}, y_{n}) = \frac{θ^{n} y_{n}^{θ - 1}}{y_{1}} \int_{0}^{y_{n - 2}} \int_{0}^{y_{n - 3}} \dots \int_{0}^{y_{1}} \frac{1}{y_{3} y_{4} . . . y_{n - 1}} \frac{d y_{2}}{y_{2}} \dots d y_{n - 2} d y_{n - 1}

$f_{Y_1,Y_n}(y_1,y_n)=\frac{\theta^n\,y_n^{\theta-1}}{y_1}\int_0^{y_{n-2}}\int_0^{y_{n-3}}\cdots\int_0^{y_1}\frac{1}{y_3y_4...y_{n-1}}\frac{\mathrm{d}y_2}{y_2}\cdots\mathrm{d}y_{n-2}\,\mathrm{d}y_{n-1}$

আমি এখানে আলাদা আলাদা রূপান্তর ব্যবহার করতে পারি যা যৌথ ঘনত্বের উত্সকে কম জটিল করে তুলবে? আমি এখানে সঠিক রূপান্তর গ্রহণ করেছি কিনা তা নিশ্চিত নই।

মন্তব্য বিভাগে কয়েকটি দুর্দান্ত পরামর্শের ভিত্তিতে, আমি যৌথ ঘনত্বের পরিবর্তে $(U,U+V)$ এর যৌথ ঘনত্ব $(X_1,\prod X_i)$ পেয়েছি যেখানে $U=-\ln X_1$ এবং $V=-\sum_{i=2}^n\ln X_i$ ।

তাত্ক্ষণিকভাবে দেখা যায় যে $U\sim\text{Exp}(\theta)$ এবং $V\sim\text{Gamma}(n-1,\theta)$ স্বতন্ত্র।

এবং প্রকৃতপক্ষে, $U+V\sim\text{Gamma}(n,\theta)$ ।

জন্য $n>1$ , যুগ্ম ঘনত্ব $(U,V)$ হয়

f_{U, V} (u, v) = θ e^{- θ u} 1_{u > 0} \frac{θ^{n - 1}}{Γ (n - 1)} e^{- θ v} v^{n - 2} 1_{v > 0}

$f_{U,V}(u,v)=\theta e^{-\theta u}\mathbf1_{u>0}\frac{\theta^{n-1}}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta v}v^{n-2}\mathbf1_{v>0}$

ভেরিয়েবল পরিবর্তন, আমি যুগ্ম ঘনত্ব পেয়েছিলাম $(U,U+V)$ হিসাবে

f_{U, U + V} (u, z) = \frac{θ^{n}}{Γ (n - 1)} e^{- θ z} (z - u)^{n - 2} 1_{0 < u < z}

$f_{U,U+V}(u,z)=\frac{\theta^n}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta z}(z-u)^{n-2}\mathbf1_{0<u<z}$

সুতরাং, এর শর্তাধীন ঘনত্ব $U\mid U+V=z$ হয়

f_{U ∣ U + V} (u ∣ z) = \frac{(n - 1) (z - u)^{n - 2}}{z^{n - 1}} 1_{0 < u < z}

$f_{U\mid U+V}(u\mid z)=\frac{(n-1)(z-u)^{n-2}}{z^{n-1}}\mathbf1_{0<u<z}$

এখন, আমার UMVUE হ'ল $E(e^{-U}\mid U+V=z)=E(X_1\mid \sum_{i=1}^n\ln X_i=-z)$ , যেমন আমি এই পোস্টের শুরুতে উল্লেখ করেছি।

তাই বাকি সমস্তটি হল

E (e^{- U} ∣ U + V = z) = \frac{n - 1}{z^{n - 1}} \int_{0}^{z} e^{- u} (z - u)^{n - 2} d u

$E(e^{-U}\mid U+V=z)=\frac{n-1}{z^{n-1}}\int_0^z e^{-u}(z-u)^{n-2}\,\mathrm{d}u$

তবে সেই শেষ অবিচ্ছেদ্যটি ম্যাথমেটিকা অনুসারে অসম্পূর্ণ গামা ফাংশনের ক্ষেত্রে একটি বন্ধ ফর্ম রয়েছে এবং আমি এখনই কী করব তা অবাক করি।

— StubbornAtom
সূত্র

শর্তসাপেক্ষ বিতরণ সন্ধান করে আপনার প্রথম পদ্ধতিতে এগিয়ে যাওয়া উচিত

, যা যথেষ্ট পরিসংখ্যাত ফর্ম মধ্যে এই অ্যাপ্লিকেশানটি সঙ্গে কাজ করার সহজ হতে পারে।

X_{[1]} | \prod X_{i}

$X_{[1]} | \prod X_i$

— jboman

পয়েন্ট (ভোরে) যেখানে আপনাকে পরিচয় করিয়ে এ

আপনি ভেরিয়েবল পরিপ্রেক্ষিতে কাজ সংস্কারমুক্ত থাকা উচিত

এটা প্রায় অবিলম্বে তারা সমানুপাতিক হয় এর

ডিস্ট্রিবিউশন, যা দ্রুত যুগ্ম বিতরণ বিবেচনা করার জন্য আপনার সমস্যা হ্রাস করা

যেখানে

এবং

T

$T$

Y_{i} = - \log X_{i} .

$Y_i=-\log X_i.$

Γ (1)

$\Gamma(1)$

(U, U + V)

$(U,U+V)$

U \sim Γ (1)

$U\sim\Gamma(1)$

V \sim Γ (n - 1) .

$V\sim\Gamma(n-1).$ এটি গণিতের বাকী দুটি পৃষ্ঠাকে শর্টকাট দেবে এবং আপনাকে সমাধানের দ্রুত পথ দেবে।

— whuber

@ স্পষ্ট করে বলতে গেলে, আপনি কি পরামর্শ দিচ্ছেন যে আমি

এর ঘনত্বটি খুঁজে পাই এবং সেখান থেকে

এর ঘনত্বটি খুঁজে

? আমি লক্ষ করেছি যে

(- \ln X_{1}, - \ln X_{1} - \sum_{i = 2}^{n} \ln X_{i})

$(-\ln X_1,-\ln X_1-\sum_{i=2}^n\ln X_i)$

(X_{1}, \prod X_{i})

$(X_1,\prod X_i)$

- \ln X_{i}

$-\ln X_i$ হ'ল রেট

সহ এক্সপেনশনাল ভেরিয়েবল (যা আপনি বলছেন তেমন গামা ভেরিয়েবলও) তবে এর সাথে কাজ করার কথা ভাবেনি।

θ

$\theta$

— জেদীআটম

@whuber কিন্তু কিভাবে আমি পেতে হবে

থেকে

সরাসরি?

E (X_{1} ∣ . . .)

$E(X_1\mid ...)$

E (\ln X_{1} ∣ . . .)

$E(\ln X_1\mid ...)$

— জেদীআটম

@ হুবার দয়া করে আমার সম্পাদনাটি একবার দেখুন। আমি প্রায় এটি সম্পন্ন করেছি তবে সেই অবিচ্ছেদ্য সাথে কী করব তা নিশ্চিত নই। আমি আমার হিসাব সঠিক বলে মোটামুটি আত্মবিশ্বাসী।

— জেদীআটম

উত্তর:

দেখা যাচ্ছে যে আমার মূল পোস্টে উভয় পন্থা (আমার প্রাথমিক প্রচেষ্টা এবং মন্তব্য বিভাগে পরামর্শের ভিত্তিতে অন্য) একই উত্তর দেয়। প্রশ্নের সম্পূর্ণ উত্তরের জন্য আমি উভয় পদ্ধতির রূপরেখা করব।

এখানে, অর্থ গামা ঘনত্ব $\text{Gamma}(n,\theta)$ যেখানে, এবংগড় সঙ্গে একটি সূচকীয় বণ্টনের উল্লেখ করে()। স্পষ্টতই, $f(y)=\frac{\theta^n}{\Gamma(n)}e^{-\theta y}y^{n-1}\mathbf1_{y>0}$ $\theta,n>0$ $\text{Exp}(\theta)$ $1/\theta$ $\theta>0$ । $\text{Exp}(\theta)\equiv\text{Gamma}(1,\theta)$

যেহেতু এবং জন্য যথেষ্ট যথেষ্ট $T=\sum_{i=1}^n\ln X_i$ $\theta$ , লেহম্যান-শেফি উপপাদক এর ইউএমভিউ $\mathbb E(X_1)=\frac{\theta}{1+\theta}$ $\mathbb E(X_1\mid T)$ । সুতরাং আমাদের এই শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা খুঁজে বের করতে হবে। $\frac{\theta}{1+\theta}$

আমরা লক্ষ করি যে । $X_i\stackrel{\text{i.i.d}}{\sim}\text{Beta}(\theta,1)\implies-\ln X_i\stackrel{\text{i.i.d}}{\sim}\text{Exp}(\theta)\implies-T\sim\text{Gamma}(n,\theta)$

পদ্ধতি আমি:

এবং , যাতে এবং স্বতন্ত্র হয় Let প্রকৃতপক্ষে, এবং , বোঝায় $U=-\ln X_1$ $V=-\sum_{i=2}^n\ln X_i$ $U$ $V$ $U\sim\text{Exp}(\theta)$ $V\sim\text{Gamma}(n-1,\theta)$ $U+V\sim\text{Gamma}(n,\theta)$ ।

সুতরাং, । $\mathbb E(X_1\mid \sum_{i=1}^n\ln X_i=t)=\mathbb E(e^{-U}\mid U+V=-t)$

এখন আমরা শর্তসাপেক্ষ বিতরণ পাই । $U\mid U+V$

জন্য এবং , যুগ্ম ঘনত্ব হয় $n>1$ $\theta>0$ $(U,V)$

\begin{aligned} f_{U, V} (u, v) & = θ e^{- θ u} 1_{u > 0} \frac{θ^{n - 1}}{Γ (n - 1)} e^{- θ v} v^{n - 2} 1_{v > 0} \\ = \frac{θ^{n}}{Γ (n - 1)} e^{- θ (u + v)} v^{n - 2} 1_{u, v > 0} \end{aligned}

$\begin{align}f_{U,V}(u,v)&=\theta e^{-\theta u}\mathbf1_{u>0}\frac{\theta^{n-1}}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta v}v^{n-2}\mathbf1_{v>0}\\&=\frac{\theta^n}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta(u+v)}v^{n-2}\mathbf1_{u,v>0}\end{align}$

ভেরিয়েবল পরিবর্তন, এটা অবিলম্বে যে যৌথ ঘনত্ব হয় $(U,U+V)$

f_{U, U + V} (u, z) = \frac{θ^{n}}{Γ (n - 1)} e^{- θ z} (z - u)^{n - 2} 1_{0 < u < z}

$f_{U,U+V}(u,z)=\frac{\theta^n}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta z}(z-u)^{n-2}\mathbf1_{0<u<z}$

যাক ঘনত্ব হতে । সুতরাং এর শর্তাধীন ঘনত্ব হয় $f_{U+V}(\cdot)$ $U+V$ $U\mid U+V=z$

\begin{aligned} f_{U ∣ U + V} (u ∣ z) & = \frac{f_{U, U + V} (u, z)}{f_{U + V} (z)} \\ = \frac{(n - 1) (z - u)^{n - 2}}{z^{n - 1}} 1_{0 < u < z} \end{aligned}

$\begin{align}f_{U\mid U+V}(u\mid z)&=\frac{f_{U,U+V}(u,z)}{f_{U+V}(z)}\\&=\frac{(n-1)(z-u)^{n-2}}{z^{n-1}}\mathbf1_{0<u<z}\end{align}$

অতএব, । $\displaystyle\mathbb E(e^{-U}\mid U+V=z)=\frac{n-1}{z^{n-1}}\int_0^z e^{-u}(z-u)^{n-2}\,\mathrm{d}u$

অর্থাৎ এর UMVUE হল $\frac{\theta}{1+\theta}$ $\displaystyle\mathbb E(X_1\mid T)=\frac{n-1}{(-T)^{n-1}}\int_0^{-T} e^{-u}(-T-u)^{n-2}\,\mathrm{d}u\tag{1}$

পদ্ধতি দ্বিতীয়:

যেহেতু জন্য সম্পূর্ণ পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান , তাই কোনও any এর নিরপেক্ষ অনুমানক $T$ $\theta$ যাএকটি ক্রিয়াকলাপহবেএর UMVUE $\frac{\theta}{1+\theta}$ $T$ লেহম্যান-Scheffe উপপাদ্য দ্বারা। সুতরাং আমরাএর মুহুর্তগুলি সন্ধান করতে এগিয়ে যাই, যার বিতরণটি আমাদের জানা। আমাদের আছে, $\frac{\theta}{1+\theta}$ $-T$

E (- T)^{r} = \int_{0}^{\infty} y^{r} θ^{n} \frac{e^{- θ y} y^{n - 1}}{Γ (n)} d y = \frac{Γ (n + r)}{θ^{r} Γ (n)}, n + r > 0

$\mathbb E(-T)^r=\int_0^\infty y^r\theta^n\frac{e^{-\theta y}y^{n-1}}{\Gamma(n)}\,\mathrm{d}y=\frac{\Gamma(n+r)}{\theta^r\,\Gamma(n)},\qquad n+r>0$

এই সমীকরণটি ব্যবহার করে আমরা প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য এর নিরপেক্ষ অনুমানক (এবং UMVUE এর) পাই । $1/\theta^r$ $r\ge1$

এখন , আমাদের কাছে have রয়েছে $\theta>1$ $\displaystyle\frac{\theta}{1+\theta}=\left(1+\frac{1}{\theta}\right)^{-1}=1-\frac{1}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^3}+\cdots$

নিরপেক্ষ অনুমানের সংমিশ্রণে আমরা পাই $1/\theta^r$

E (1 + \frac{T}{n} + \frac{T^{2}}{n (n + 1)} + \frac{T^{3}}{n (n + 1) (n + 2)} + \dots) = 1 - \frac{1}{θ} + \frac{1}{θ^{2}} - \frac{1}{θ^{3}} + \dots

$\mathbb E\left(1+\frac{T}{n}+\frac{T^2}{n(n+1)}+\frac{T^3}{n(n+1)(n+2)}+\cdots\right)=1-\frac{1}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^3}+\cdots$

অর্থাৎ

E (\sum_{r = 0}^{\infty} \frac{T^{r}}{n (n + 1) . . . (n + r - 1)}) = \frac{θ}{1 + θ}

$\mathbb E\left(\sum_{r=0}^\infty \frac{T^r}{n(n+1)...(n+r-1)}\right)=\frac{\theta}{1+\theta}$

$\theta>1$ $\frac{\theta}{1+\theta}$ $g(T)=\displaystyle\sum_{r=0}^\infty \frac{T^r}{n(n+1)...(n+r-1)}\tag{2}$

$0<\theta<1$

$(1)$ $(2)$ $n(n+1)(n+2)...(n+r-1)$ $n(n+1)(n+2)...(n+r-1)=\frac{\Gamma(n+r)}{\Gamma(n)}$ $(1)$ $(2)$

$(1)$ $(2)$

— StubbornAtom
সূত্র

(1)

$(1)$

(2)

$(2)$

e^{- u}

$e^{-u}$

(2)

$(2)$

আমি মনে করি আপনি আরও কমপ্যাক্ট উত্তর পেতে পারেন যা আপনি উপরের অসম্পূর্ণ গামা ফাংশনের ক্ষেত্রে সম্মতি দিয়েছেন। প্রথম পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আমি প্রকাশটি পেয়েছি

ই [{এক্স}_{1} | {এক্স}_{1} {এক্স}_{2} \dots {এক্স}_{এন} = ই^{টি}] = (এন - 1) \int_{0}^{1} {z- র}^{R} {(1 - R)}^{এন - z- র} ঘ R,

$E \left[ X_1 | X_1X_2 \cdots X_n=e^T \right]=\left( n - 1 \right) \int_0^1 z^r \left( 1 - r \right)^{n-z}dr,$ কোথায়

z = e^{T} .

$z=e^T.$

ওল্ফ্রাম আলফা এটি পেতে সংহত করে

ই [{এক্স}_{1} | {এক্স}_{1} {এক্স}_{2} \dots {এক্স}_{এন} = ই^{টি}] = \frac{ই^{টি} (এন - 1)}{{টি}^{এন - 1}} [(এন - 2)! - Γ (এন - 1, টি)]

$E \left[ X_1 | X_1X_2 \cdots X_n=e^T \right] = \frac{e^T \left( n-1 \right)}{T^{n-1} } \left[ \left( n-2 \right) !-\Gamma \left(n-1,T \right) \right]$

এখন অসম্পূর্ণ গামা ফাংশন টার্মটি যখন বন্ধ থাকে তখন $n$ একটি পূর্ণসংখ্যা এটাই

Γ (এন - 1, টি) = \frac{Γ (এন - 1)}{ই^{টি}} Σ_{ঞ = 0}^{এন - 2} \frac{{টি}^{ঞ}}{ঞ!}

$\Gamma \left(n-1,T \right)=\frac{\Gamma \left(n-1 \right)}{e^T} \sum_{j=0}^{n-2} \frac{T^j}{j!}$

Rewriting the expectation and simplifying, we find

E [X_{1} | X_{1} X_{2} \dots X_{n} = e^{T}] = \frac{Γ (n)}{T^{n - 1}} [e^{T} - \sum_{j = 0}^{n - 2} \frac{T^{j}}{j!}]

$E \left[ X_1 | X_1X_2 \cdots X_n=e^T \right] = \frac{\Gamma \left( n \right)}{T^{n-1}} \left[ e^T-\sum_{j=0}^{n-2} \frac{T^j}{j!} \right]$

I don't have access to the software that will verify equivalence with your results $(1)$ and $(2)$ , but hand calculations for $n=2$ and $n=3$ do match with your $(1)$ .

— soakley
সূত্র

Where you wrote

E [X_{1} ∣ x_{1} x_{2} \dots x_{n} = e^{T}],

$\operatorname E\left[ X_1\mid x_1x_2\cdots x_n=e^T \right],$ you ought to have

E [X_{1} ∣ X_{1} X_{2} \dots X_{n} = e^{T}] .

$\operatorname E\left[ X_1\mid X_1X_2\cdots X_n=e^T \right]. \qquad$

— Michael Hardy