এই মুহুর্তের কার্যকারিতা প্রমাণ করে অনন্যভাবে সম্ভাব্যতা বন্টন নির্ধারণ করে

Question

Wackerly এট আল এর পাঠ্য এই উপপাদ্যটি বলেছে "চলুন এবং যথাক্রমে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশনগুলি যদি মুহুর্ত-উত্পন্ন উভয় ফাংশন উপস্থিত থাকে এবং টি এর সমস্ত মানের জন্য, তারপরে এক্স এবং ওয়াইয়ের সমান সম্ভাবনা বন্টন রয়েছে। কোনও প্রমাণ ছাড়াই এটি পাঠ্যের আওতার বাইরে বলছে। প্রমাণ ছাড়াই স্ক্যাফার ইয়ংয়েরও একই উপপাদ্য রয়েছে । আমার কাছে কেসেল্লার একটি অনুলিপি নেই, তবে গুগল বইয়ের অনুসন্ধানে এর মধ্যে উপপাদ্যটি খুঁজে পাওয়া যায়নি।m y ( t ) m x ( t ) = m y ( t $m_x(t)$$m_y(t)$$m_x(t) = m_y(t)$

গুটের পাঠ্যটিতে প্রমাণের একটি রূপরেখা রয়েছে বলে মনে হয় তবে এটি "সুপরিচিত ফলাফলগুলি" উল্লেখ করে না এবং এর অন্য একটি ফলাফলও জানতে হবে যার প্রমাণও সরবরাহ করা হয়নি।

কেউ কি জানেন যে মূলত এটি প্রমাণিত হয়েছে এবং যদি প্রমাণটি কোথাও অনলাইনে পাওয়া যায়? অন্যথায় এই প্রমাণের বিশদটি কীভাবে পূরণ করবে?

যদি আমাকে জিজ্ঞাসা করা হয় এটি কোনও হোম ওয়ার্কের প্রশ্ন নয় তবে আমি সম্ভবত এটি কারও গৃহকর্ম হিসাবে ভাবতে পারি। আমি ওয়েকারলি পাঠ্যের উপর ভিত্তি করে একটি কোর্স সিকোয়েন্স নিয়েছি এবং আমি এই প্রমাণটি সম্পর্কে কিছু সময়ের জন্য অবাক হয়েছি। তাই আমি অনুভব করেছি এটি জিজ্ঞাসা করার সময় ছিল।

Comments

সম্পর্কিত : (i) এমজিএফএসের বিপরীতকরণ এবং (ii) মুহূর্তের উপস্থিতি কার্যকারিতা এবং

— কার্ডিনাল

আপনার যদি বিলিংসলের সম্ভাব্যতা এবং পরিমাপ পাঠ্যের অ্যাক্সেস থাকে তবে এটি "মুহুর্তের পদ্ধতি" শিরোনামে একটি বিভাগে আলোচনা করা হয়েছে। (অস্পষ্টতার জন্য ক্ষমা, যেমনটি বর্তমানে আমার হাতে নেই) hand আমি যদি সঠিকভাবে স্মরণ করি তবে তিনি যে প্রমাণটি ব্যবহার করেন তা চরিত্রগত ফাংশনগুলির জন্য সম্পর্কিত ফলাফলগুলির উপর নির্ভর করে যদিও এটি সম্পূর্ণ সন্তুষ্ট হতে পারে না। এটি অবশ্যই (ভাল) ওয়েকারলির পাঠ্যের প্রত্যাশিত ব্যাকগ্রাউন্ডের বাইরে।

— কার্ডিনাল

বাহ এই প্রশ্নগুলির উত্তর আপনার উত্তরগুলি উচ্চতর এবং খুব সহায়ক ছিল আপনাকে ধন্যবাদ এবং পাঠ্যের সুপারিশের জন্য ধন্যবাদ আমার একটি অনুলিপি পাওয়া উচিত।

— ক্রিস সিমোক্যাট

@ কার্ডিনাল আমি আপনার নোটটি দেখার আগে বিলিগসলে অ্যাক্সেস করেছি এবং আমার আগের উত্তরে প্রমাণের বিবরণ যুক্ত করেছি।

— মাইকেল আর চেরনিক

ইতিহাস সম্পর্কিত ("মূলত এটি কে প্রমাণ করেছেন?"), দেখা যাচ্ছে যে ল্যাপ্লেস 1785 সালে এই ধরণের কাজের জন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি ব্যবহার করছিলেন এবং 1810 সালের মধ্যে সাধারণ বিপরীত সূত্রটি (যা প্রমাণের মূল বিষয়) তৈরি করেছিলেন। অ্যান্ডার্স হাল্ড দেখুন , 1750 থেকে 1930

— অবধি

Answer 1

এই সাধারণ প্রমাণ খুঁজে পাওয়া যেতে পারে (সম্ভাবনা তত্ত্ব এবং তার অ্যাপ্লিকেশন, ভোল। 2 পরিচিতি) কাঠুরিয়া । এটি ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম তত্ত্বের সাথে জড়িত একটি বিপরীত সমস্যা। আপনি কি লক্ষ্য করেছেন যে এমজিএফ ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের সাথে একটি আকর্ষণীয় সাদৃশ্য বহন করে? ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মেশন ব্যবহারের জন্য আপনি উইডার (ক্যালকাস প্রথম খণ্ড) দেখতে পাবেন ।

একটি বিশেষ মামলার প্রমাণ:

ধরুন যে এক্স এবং ওয়াই উভয়ই possible only এ কেবলমাত্র সম্ভাব্য মান গ্রহণ করছে } উপরন্তু, অনুমান করা X এবং Y সব T জন্য একই mgf আছে: এন Σ এক্স = 0 ই টি এক্স চ এক্স ( X ) = ঢ Σ Y = 0 ই টি Y চ ওয়াই ( Y ) সরলতার জন্য, আমরা দেব গুলি = e t এবং আমরা de fi ne c i = $0, 1, 2,\dots, n$

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$$ $s = e^t$ জন্য আমি = 0 , 1 , ... , এন ।$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$$i = 0, 1,\dots,n$

এখন ⇒ n ∑ x = 0 s x f এক্স ( এক্স ) - এন ∑ y = 0 এস y f Y ( y ) = 0 ⇒ n

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$$ $$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$$ উপরে কেবল একটি বহুপদী মধ্যে s এর সাথে Coe ffi cients গ 0 , গ 1 , ... , গ এন । একমাত্র উপায় এটা s এর সব মান জন্য শূন্য হতে পারে যদি গ 0 = গ 1 = ⋯ = গ N = 0 .So, আমরা আছে 0 = গ আমি = চ এক্স ( আমি ) - চ ওয়াই ( আমি ) জন্য আমি = 0 , 1 , $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$$ $c_0, c_1,\dots,c_n$$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$ ।$i=0, 1,\dots,n$

$f_X(i)=f_Y(i)$$i=0,1,\dots,n$

$X$$Y$$X$$Y$

Comments

মূলত মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন অনন্যভাবে বন্টন নির্ধারণ করে।

— আরঘা

Answer 2

আপনি যে উপপাদ্য নিয়ে আলোচনা করছেন তা সম্ভাবনা / পরিমাপ তত্ত্বের একটি প্রাথমিক ফলাফল basic সম্ভাব্যতা বা পরিসংখ্যানতত্ত্ব সম্পর্কিত বইগুলিতে প্রমাণগুলি সম্ভবত পাওয়া যাবে। আমি হোল পোর্ট এবং স্টোন পিপি 205-208 এ দেওয়া বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনগুলির জন্য সাদৃশ্যপূর্ণ ফলাফল পেয়েছি

টাকার পিপি 51-53

এবং চুং পিপি 151-155 এটি তৃতীয় সংস্করণ। আমার দ্বিতীয় সংস্করণ রয়েছে এবং 1974 সালে প্রকাশিত দ্বিতীয় সংস্করণে পৃষ্ঠা নম্বরগুলি উল্লেখ করছি।

এমজিএফের পক্ষে প্রমাণটি খুঁজে পাওয়া আমার পক্ষে আরও কঠিন ছিল তবে আপনি বিলিংলির বই "সম্ভাব্যতা এবং পরিমাপ" পিপি 342-345 তে এটি খুঁজে পেতে পারেন। পৃষ্ঠাতে 342 উপপাদ্য 30.1 উপপাদ্য সরবরাহ করে যা মুহুর্তের সমস্যার উত্তর দেয়। পৃষ্ঠায় 345 বিলিংসলে ফলাফলটি জানিয়েছে যে যদি সম্ভাব্যতা পরিমাপের জন্য একটি মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন এম (গুলি) 0 এর আশেপাশের ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে থিওরিম 30.1 এর অনুমানটি সন্তুষ্ট এবং অতএব পরিমাপটি তার মুহুর্তগুলি দ্বারা নির্ধারিত হয়। তবে এই মুহুর্তগুলি এম (গুলি) দ্বারা নির্ধারিত হয়। সুতরাং এম (গুলি) 0 এর আশেপাশে উপস্থিত থাকলে তার মুহুর্ত উত্পন্ন ফাংশন দ্বারা পরিমাপটি নির্ধারণ করা হয় The সুতরাং এই যুক্তিটি তিনি থিওরেম 30.1-এর জন্য যে প্রমাণটি দিয়েছিলেন তা প্রমাণিত করে। বিলিংসলে আরও মন্তব্য করেছেন যে অনুশীলনের সমাধানটি 26।

Comments

চুং এ কোথায়? আপনি কি 161-165 পৃষ্ঠাগুলি বলতে চান? তবুও, ওপি কর্তৃক অনুরোধ হিসাবে এটি মুহূর্ত-উত্পন্ন ফাংশন নয়, চরিত্রগত কার্যাদি নিয়ে কাজ করে।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল হ্যাঁ আমি জানি। আমি ফলাফলটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনগুলির জন্য উল্লেখ করেছি কারণ এটাই আমি এ পর্যন্ত খুঁজে পেয়েছি। যেমনটি আমি বলেছিলাম যে চুংয়ের পৃষ্ঠা সংখ্যাগুলি আমার দ্বিতীয় সংস্করণের উপর ভিত্তি করে। তৃতীয় সংস্করণে এটি কোথায় প্রকাশিত হয়েছে তা আমি জানি না। আমি মনে করি এমন কিছু উত্স থাকতে হবে যার ফল এমজিএফএসে আসবে।

— মাইকেল আর চেরনিক

আমি উত্সাহিত করেছি, কারণ আমি আপনার উত্তরটিরও প্রশংসা করি তাই সময় দেওয়ার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ।

— ক্রিস সিমোক্যাট

Answer 3

$X$$M_X(t)=Ee^{tX}$

$\delta>0$$M_X(t) = M_Y(t) < \infty$$t \in (-\delta,\delta)$$F_X(t) = F_Y(t)$$t \in \mathbb{R}$

মুহুর্ত তৈরির কার্যটি বিতরণটি নির্ধারণ করে তা প্রমাণ করার জন্য, কমপক্ষে দুটি পদ্ধতি রয়েছে:

• $M_X$$(-\delta,\delta)$$X$$F_X$$(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$$M_X$

• $M_X$$(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$$M_X(z)=Ee^{zX}$$M_X(it)=\varphi_X(t)$$t\in\mathbb{R}$$\varphi_X$$F_X$কার্টিস, জেএইচ আন। ম্যাথ। পরিসংখ্যান 13: 430-433 এবং এর উল্লেখ।

স্নাতক স্তরে প্রায় প্রতিটি পাঠ্যপুস্তক মুহুর্ত তৈরির ফাংশন নিয়ে কাজ করে এবং উপরের উপপাদ্যটিকে প্রমাণ না করেই জানিয়ে দেয়। এটি উপলব্ধি করে, কারণ প্রমাণের জন্য স্নাতক স্তরের অনুমোদনের চেয়ে অনেক বেশি উন্নত গণিত প্রয়োজন।

$\varphi_X(t)=Ee^{itX}$

Comments

চরিত্রগত ফাংশনের তুলনায়

— থ্রি

প্রকৃতপক্ষে! এবং এখনও আমি এমন পাঠ্যপুস্তকটি কখনও দেখিনি যা সংখ্যাসূচক পদ্ধতির উপর জোর দেয় তবে স্বতন্ত্রতা উপপাদ্যের প্রমাণ দিতে যথেষ্ট গভীর গণিত রয়েছে।

— ব্যবহারকারীর 3434639