যখন স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি অসীমে বৃদ্ধি পায় তখন কি সাধারণ বিতরণ অভিন্ন বিতরণে রূপান্তরিত হয়?

Question

যদি আদর্শ বিচ্যুতি সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায় তবে সাধারণ বিতরণ কি কোনও নির্দিষ্ট বিতরণে রূপান্তরিত হয়? আমার কাছে মনে হচ্ছে পিডিএফ প্রদত্ত সীমানা সহ অভিন্ন বিতরণের মতো দেখতে শুরু করে । এটা কি সত্য?$[-2 \sigma, 2 \sigma]$

Comments

না, তবে আপনার প্রশ্নের যথাযথ উত্তর দেওয়ার জন্য আমাদের জানতে হবে আপনার রূপান্তর সংজ্ঞাটি কী is মনে রাখবেন যে আনুষ্ঠানিক আলোচনা কেবল তখনই সম্ভব যখন ডান হাতটি পরিবর্তন না করে। [সুতরাং, আপনি Unifrom করার অভিসৃতি স্থাপন করতে পারছে না $-\sigma,\sigma$ কারণ আপনার] $\sigma$ পরিবর্তন করা হয়। আমি কী বলতে চাইছি তা দেখতে সিএলটি গঠনের সন্ধান করুন

— আকসাকাল

কেবলমাত্র যদি আপনি এটি কোনও েকে মোড়ানো বা ছাঁটাই করেন । $o(\sigma)$

— এনটিডিগ্রি

Answer 1

ইতিমধ্যে এখানে অন্যান্য উত্তরগুলি ব্যাখ্যা করার দুর্দান্ত কাজ করেছে যে গাউসিয়ান আরভিগুলি কেন কোনও কিছুতে রূপান্তরিত করে না কারণ গন্ডিয়ান আরভিগুলি বৈধতা ছাড়াই বৈচিত্র্য বৃদ্ধি পায়, তবে আমি একটি আপাত-অভিন্ন বৈশিষ্ট্যটি উল্লেখ করতে চাই যে গৌসিদের এই ধরণের সংগ্রহ সন্তুষ্ট করে যা আমি মনে করি যে কারও পক্ষে অনুমান করা যথেষ্ট যে তারা অভিন্ন হয়ে উঠছে, তবে এটি পরিপূর্ণরূপে দৃ strong় হতে পারে না। $\newcommand{\len}{\text{len}}$

যেখানে এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংগ্রহ বিবেচনা করুন । যাক সসীম দৈর্ঘ্য একটি নির্দিষ্ট ব্যবধান হতে, এবং কিছু জন্য সংজ্ঞায়িত , অর্থাত্ হয় কিন্তু দ্বারা উপর স্থানান্তরিত । একটি বিরতি জন্য সংজ্ঞায়িত দৈর্ঘ্য হতে , এবং মনে রাখবেন ।এক্স এন ∼ এন ( 0 , এন 2 ) এ = [ এ 1 , এ 2 ] সি ∈ আর বি = এ + সি বি এ সি আই = [ আই 1 , আই 2 ] লেন ( I ) = i 2 - i 1 I লেন $\{X_1,X_2,\dots\}$$X_n \sim \mathcal N(0, n^2)$$A = [a_1,a_2]$$c \in \mathbb R$$B = A +c$$B$$A$$c$$I = [i_1,i_2]$$\len (I) = i_2-i_1$$I$$\len(A) = \len(B)$

আমি এখন নিম্নলিখিত ফলাফল প্রমাণ করব:

ফলাফল : হিসাবে ।n → $\vert P(X_n \in A) - P(x_n\in B)\vert \to 0$$n \to \infty$

আমি এই ইউনিফর্মের মতো বলছি কারণ এটি বলে যে এর বিতরণ ক্রমবর্ধমান সমান সম্ভাবনার সমান দৈর্ঘ্যের দুটি নির্দিষ্ট অন্তর রয়েছে, তারা যতই দূরে থাকুক না কেন। এটি অবশ্যই খুব অভিন্ন বৈশিষ্ট্য, তবে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এটি এর প্রকৃত অভিন্ন রূপে রূপান্তর করার বিষয়ে কিছুই বলে না ।এক্স $X_n$$X_n$

পিএফ: নোট করুন যে যেখানে তাই আমি very bound পেতে আবদ্ধ (খুব রুক্ষ) বাঁধাই ব্যবহার করতে পারি এক্স 1 ∼ এন ( 0 , 1 ) পি ( এক্স এন ∈ এ ) = পি ( এ 1 ≤ এন এক্স 1 ≤ এ 2 ) = $X_n = n X_1$$X_1 \sim \mathcal N(0, 1)$

$$P(X_n \in A) = P(a_1 \leq n X_1 \leq a_2) = P\left(\frac{a_1}{n} \leq X_1 \leq \frac{a_2}n\right)$$ ই - এক্স 2 / 2 ≤ $$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx.$$ $e^{-x^2/2} \leq 1$= লেন $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} 1\,\text dx$$ $$= \frac{\text{len}(A)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

আমি পেতে জন্য একই জিনিস করতে পারিপি ( এক্স এন ∈ বি ) ≤ লেন $B$

$$P(X_n \in B) \leq \frac{\text{len}(B)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

এগুলি একসাথে আমার কাছে হিসাবে (আমি এখানে ত্রিভুজ বৈষম্যটি ব্যবহার করছি)।

$$\left\vert P(X_n \in A) - P(X_n \in B)\right\vert \leq \frac{\sqrt 2 \text{len}(A) }{n\sqrt{\pi}} \to 0$$ $n\to\infty$

$\square$

এটি কীভাবে থেকে অভিন্ন বিতরণে রূপান্তরিত? আমি কেবল প্রমাণ করেছি যে একই সীমাবদ্ধ দৈর্ঘ্যের যে কোনও দুটি নির্দিষ্ট অন্তরকে প্রদত্ত সম্ভাবনাগুলি আরও কাছাকাছি এবং স্বজ্ঞাতভাবে বোঝা যায় যে ঘনত্বগুলি এবং এর দৃষ্টিকোণ থেকে "সমতল" হয়ে চলেছে ।$X_n$$A$$B$

কিন্তু জন্য অনুক্রমে একটি অভিন্ন বন্টন একই বিন্দুতে মিলিত, আমি প্রয়োজন চাই মাথা থেকে সমানুপাতিক হচ্ছে প্রতি জন্য কোনো বিরতি , এবং যে কারণ একটি ভিন্ন জিনিস এই চাহিদা কোন প্রয়োগ করতে একজন নয়, বরং অগ্রিম স্থির (এবং যেমন অন্যত্র উল্লেখ করা হয়েছে, এটাও এমনকি সম্ভব সীমাবদ্ধ সমর্থনবিহীন কোনো বিতরণের জন্য নয়)।$X_n$$P(X_n \in I)$$\text{len}(I)$$I$$I$

Comments

ঠিক আছে, আপনি প্রায় বলতে পারেন যে তারা বিতরণে রূপান্তরিত হয়েছে, ব্যতীত তারা যা রূপান্তরিত করে তার সীমাটি একটি অনুচিত বিতরণ। অভিসৃতি এক ধরনের যে সুনির্দিষ্ট করা হবে আমি ব্যাপারে Wasserstein মেট্রিক শূন্য হিসাবে এগিয়ে যাব দেন পারে ? $\sigma \rightarrow \infty$

— ক্লিফ এবি

Answer 2

সম্ভাব্যতার একটি সাধারণ ভুল হ'ল ভাবা যে কোনও বিতরণ অভিন্ন, কারণ যখন তার সমস্ত মান শূন্যের কাছাকাছি হয় তখন এটি দৃশ্যত সমতল দেখায়। এটি কারণ আমরা দেখতে পাই যে এবং এখনও f ( x ) / f ( y ) = 0.001 / 0.000001 = 1000 , অর্থাৎ x এর কাছাকাছি একটি ছোট বিরতি সম্ভবত 1000 গুণ বেশি একটি ছোট বিরতি প্রায় চেয়ে Y ।$f(x)=0.001 \approx 0.000001=f(y)$$f(x)/f(y)=0.001/0.000001=1000$$x$$y$

এটি সীমাতে পুরো বাস্তব লাইনে অবশ্যই অভিন্ন নয়, কারণ তে কোনও অভিন্ন বিতরণ নেই । এছাড়া এমনকি প্রায় অভিন্ন নয় [ - 2 σ , 2 σ ] ।$(-\infty,\infty)$$[-2\sigma,2\sigma]$

আপনি সম্ভবত 688-95-99.7 এর নিয়মটি দেখতে পাচ্ছেন বলে মনে করছেন familiar যদি এটি এ প্রায় অভিন্ন হত তবে দুটি বিভক্ত একই দৈর্ঘ্যের হিসাবে [ 0 , σ ] এবং [ σ , 2 σ ] তে থাকার সম্ভাবনা একই হতে হবে। তবে এটি ক্ষেত্রে নয়: পি ( [ 0 , σ ] ) ≈ 0.68 / 2 = 0.34 , এখনও পি ( [[ σ $[-2\sigma,2\sigma]$$[0,\sigma]$$[\sigma,2\sigma]$$P([0,\sigma])\approx 0.68/2= 0.34$ ।$P([\sigma,2\sigma])\approx (0.95-0.68)/2 = 0.135$

পুরো বাস্তব লাইনের উপরে দেখা গেলে, সাধারণ বিতরণের এই ক্রমটি কোনও সম্ভাব্যতা বন্টনে রূপান্তরিত করে না। এটি দেখার কয়েকটি উপায় রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন সঙ্গে একটি স্বাভাবিক এর সিডিএফ হয় এফ σ ( এক্স ) = ( 1 / 2 ) ( 1 + + ERF ( এক্স / $\sigma$, এবংলিম σ → ∞ এফσ(এক্স)=1/2সবার জন্যএক্স, যার মধ্যে সিডিএফ নয়কোনোদৈব চলক। আসলে এটি মোটেও সিডিএফ নয়।$F_\sigma(x) = (1/2)(1+\mbox{erf}(x/\sqrt{2}\sigma)$$\lim_{\sigma\rightarrow\infty} F_\sigma(x) = 1/2$$x$

এই অ-রূপান্তরিত হওয়ার কারণটি "জন ক্ষয়ক্ষতি" এ স্ফীত হয় is সাধারণ বিতরণের সীমাবদ্ধ ফাংশনটি আসলে "হারিয়ে" সম্ভাবনা (যেমন এটি অনন্তের দিকে পালিয়ে গেছে )। এটি পরিমাপের দৃ tight়তার ধারণার সাথে সম্পর্কিত , যা এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রমকে অন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবলে রূপান্তর করার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত দেয়।

Comments

ভুল "এটি "টি ছিল" এর সমস্ত মানগুলি শূন্যের নিকটে "। "এটি একটি সাধারণ ভুল" এর "এটি" সঠিক ছিল।

— সংগৃহীত

Answer 3

আপনার বিবরণ পিডিএফ শুরু কর্তৃক প্রদত্ত সীমার সঙ্গে একটি অভিন্ন বন্টন মত খুঁজছি $[−2σ,2σ]$ যদি তোমরা সমন্বয় সঠিক নয় ব্যাপকতর স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন মেলে।$\sigma$

শূন্যকে কেন্দ্র করে দুটি সাধারণ ঘনত্বের এই চার্টটি বিবেচনা করুন। লাল বক্ররেখা মানক বিচ্যুতির সাথে মিলিত হয় এবং নীল বক্ররেখা 10 এর মানক বিচ্যুতির সাথে মিলিত হয় এবং এটি প্রকৃতপক্ষে নীল বক্ররেখার প্রায় সমতল [ - 2 , 2 $1$$10$$[-2,2]$

তবে দিয়ে নীল বক্ররেখার জন্য আমাদের [ - 20 , 20 ] এ আসলে এর আকৃতিটি দেখতে হবে । এক্স- এক্সিস এবং ওয়াই- ম্যাক্সিস উভয়কে 10 এর উপাদানগুলির সাহায্যে উদ্ধার করা এই পরবর্তী প্লট দেয় এবং আপনি পূর্বের প্লটটিতে নীল ঘনত্বের জন্য ঠিক একই আকারটি পাবেন $\sigma=10$$[-20,20]$$x$$y$$10$

Answer 4

$\sigma = 1$$\mu = 0, \sigma = \sigma^*$$[-2\sigma^*, 2\sigma^*]$$\sigma^*$

$\mu = 0, \sigma = \sigma^*$$\sigma^* \rightarrow \infty$$[-2, 2]$