ফিশিং সমস্যা

ধরুন আপনি সকাল 8-8PM থেকে কাছের হ্রদে মাছ ধরতে যেতে চান। অতিরিক্ত মাছ ধরার কারণে, এমন একটি আইন চালু করা হয়েছে যাতে বলা হয়েছে যে আপনি প্রতিদিন কেবল একটি মাছ ধরতে পারেন। আপনি যখন কোনও মাছ ধরেন, আপনি এটি বাছাই করতে পারেন (এবং এইভাবে সেই মাছটি নিয়ে বাড়ি চলে যান), বা এটিকে আবার হ্রদে ফেলে দিতে পারেন এবং মাছ ধরা চালিয়ে যেতে পারেন (তবে পরে আরও ছোট মাছের সাথে বসতি ঝুঁকিপূর্ণ হয় না, না কোনও মাছই হয় না)। আপনি যতটা সম্ভব একটি মাছ ধরতে চান; বিশেষত, আপনি ঘরে ঘরে আনা মাছের প্রত্যাশিত ভর সর্বাধিক করতে চান।

সাধারণত, আমরা এই সমস্যাটিকে নিম্নরূপে সেট আপ করতে পারি: মাছগুলি একটি নির্দিষ্ট হারে ধরা পড়ে (সুতরাং, আপনার পরবর্তী মাছটি ধরতে যে সময় লাগে এটি একটি পরিচিত তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণ অনুসরণ করে), এবং ধরা পড়া মাছের আকার কিছু (এছাড়াও পরিচিত) বন্টন অনুসরণ করে । আমরা কিছু সিদ্ধান্ত প্রক্রিয়া চাই যা বর্তমান সময় এবং আপনার সবেমাত্র ধরা একটি মাছের আকারের ভিত্তিতে, সিদ্ধান্ত রাখে যে মাছটি রাখা হবে বা এটিকে পিছনে ফেলে দেওয়া হবে।

সুতরাং প্রশ্নটি হল: এই সিদ্ধান্তটি কীভাবে করা উচিত? মাছ ধরা বন্ধ কখন বন্ধ করার সিদ্ধান্ত নেওয়ার কিছু সহজ (বা জটিল) উপায় আছে? আমি মনে করি যে সমস্যাটি নির্ধারণের সমতুল্য, একটি নির্দিষ্ট সময়ের জন্য, প্রত্যাশিত বড় আকারের মাছগুলি সময়মতো শুরু করা হলে বাড়ির দিকে নেবে; সর্বোত্তম সিদ্ধান্ত প্রক্রিয়াটি একটি মাছ রাখে যদি এবং তবেই যদি মাছটি প্রত্যাশিত ভরগুলির চেয়ে ভারী হয়। তবে এটিকে একরকম স্ব-রেফারেন্সিয়াল মনে হয়; আমরা সর্বোত্তম ফিশারের ক্ষেত্রে সর্বোত্তম ফিশিং কৌশলটি সংজ্ঞায়িত করছি, এবং কীভাবে এগিয়ে যাব আমি নিশ্চিত নই।

stochastic-processes optimal-stopping

— b2coutts
সূত্র

উইকিপিডিয়ায় সেক্রেটারির সমস্যাটি দেখুন - বিশেষত সেরা পছন্দের 1 / ই-আইন বিভাগটি।

— soakley

আমি মনে করি এখানে একটি মূল পার্থক্য হ'ল এটি ধরে নেওয়া হয়েছে যে আমরা জানি কীভাবে সমস্ত বিতরণ করা হয়, তবে সেই সমাধানের মূল কথাটি হ'ল এটি প্রথম 1 / ই আবেদনকারীদের কেবল কিছু জ্ঞান অর্জন করতে এবং একটি ভাল প্রান্তিক সংজ্ঞা নির্ধারণ করতে ব্যবহার করে। আমি মনে করি একটি অনুরূপ ধারণা এখানে বেশ কার্যকর করতে পারে না। আপনি কেবল বিতরণ থেকে একটি দ্বারপ্রান্ত কল্পনা করতে পারেন, তবে আমার মনে হয় না এটি ঠিক করা উচিত; আমি মনে করি সময়ের সাথে প্রান্তিক হ্রাস হওয়া উচিত, কারণ আপনার ভাল / কোনও মাছ ধরার জন্য কম এবং কম সময় রয়েছে।

— বি 2coutts

@ সোয়াকলে ওলোনির উত্তর সম্পর্কে আমার প্রতিক্রিয়াও দেখুন; প্রত্যাশার (প্রত্যাশিত) মান কেবল ভবিষ্যতে আপনি কী ক্যাচ পাবেন তা নির্ভর করে না, তবে আপনার কৌশলটি আসলে কী গ্রহণ করবে। সুতরাং আমি মনে করি এই প্রশ্নটির পাশাপাশি একটি অদ্ভুত স্ব-রেফারেন্টিয়াল দিক রয়েছে।

— বি 2coutts

আমরা অনুকূলকরণের চেষ্টা করি এমন ফাংশন বা মান কী? যে, আমরা কীভাবে ঝুঁকি এবং লাভকে ওজন করব? পয়েন্টটি কী এমন কোনও পদ্ধতি নিয়ে আসে যা ধরা পড়ে মাছের আকারের প্রত্যাশার মানকে সর্বাধিক করে তোলে? আমরা কি কেবল একদিন বা একাধিক দিন ধরে ফিশিং করছি, এবং পরবর্তী ক্ষেত্রে কীভাবে দিনগুলি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত?

— Sextus এম্পিরিকাস

আমরা বিতরণটি জানি ... এটি কি কেবল বিতরণের প্রকারকে বোঝায়, বা এর মধ্যে বিতরণের পরামিতিগুলিও অন্তর্ভুক্ত?

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

আসুন পোইসন প্রক্রিয়াটির হারকে বোঝায় এবং যেখানে হ'ল মাছের আকার বিতরণের संचयी বিতরণ ফাংশন। $\lambda$ $S(x)=1-F(x)$ $F(x)$

আসুন দিনের শেষে চিহ্নিত করুন এবং যাক , , সর্বোত্তম কৌশলটি ব্যবহার করা হলে আমরা প্রাপ্ত বিরতি এর প্রত্যাশিত ক্যাচটি বোঝায় । স্পষ্টত । এছাড়াও, যদি আমরা মাপ একটি মাছ ধরা সময়ে আমরা এটা রাখা এবং স্টপ মাছধরা উচিত যদি এটা বৃহত্তর তারপর । সুতরাং এটি আমাদের সিদ্ধান্তের নিয়ম। সুতরাং, প্রক্রিয়াটির উপলব্ধি এবং অনুধাবন করা সিদ্ধান্ত (গ্রিন পয়েন্ট) নীচের হিসাবে দেখতে পারে: $t=0$ $g(t)$ $t\le 0$ $(t,0)$ $g(0)=0$ $x$ $t$ $g(t)$

অবিচ্ছিন্ন সময়ে কাজ করা, স্টোকাস্টিক ডায়নামিক প্রোগ্রামিংয়ের ধারণাগুলি ব্যবহার করে, সময়ের সাথে পিছনের দিকে পরিবর্তনকে একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়। অসীম সময়ের ব্যবধান বিবেচনা করুন । এই সময়ের ব্যবধানে আমরা আকারের একটি মাছ ধরার সম্ভাবনা হ'ল অন্যথায় আমাদের প্রত্যাশিত ক্যাচটি । $g(t)$ $(t-dt,t)$ $X>g(t)$

λ d t S (g (t)),

$\lambda dt S(g(t)),$

g (t)

$g(t)$

গড় অবসর জীবনের জন্য একটি সূত্র ব্যবহার করে , as হিসাবে চেয়ে বড় একটি মাছের প্রত্যাশিত আকার $g(t)$

E (X | X > g (t)) = g (t) + \frac{1}{S (g (t))} \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x .

$E(X|X>g(t))=g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx.$

সুতরাং, মোট প্রত্যাশার আইনটি ব্যবহার করে, বিরতিতে প্রত্যাশিত ক্যাচ হয়ে যায় $(t-dt,0)$

g (t - d t) = [λ d t S (g (t))] [g (t) + \frac{1}{S (g (t))} \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x] + [1 - λ d t S (g (t)] g (t) .

$g(t-dt) =[\lambda dt S(g(t))][g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx] + [1-\lambda dt S(g(t)] g(t).$

পুনরায় সাজানো, আমরা দেখতে পাই যে সন্তুষ্ট নোট দিন কীভাবে দিনের শেষের দিকে পোইসন রেট এবং গড় মাছের আকারের সমান হারে প্রতিফলিত করে যে আমরা এই পয়েন্টটি আমাদের যে কোনও মাছ ধরতে পারে তা রাখাই ভাল। $g(t)$

\begin{matrix} (1) & \frac{d g}{d t} = - λ \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x . \end{matrix}

$\frac{dg}{dt}=-\lambda \int_{g(t)}^\infty S(x) dx. \tag{1}$

g (t)

$g(t)$

λ

$\lambda$

\int_{0}^{\infty} S (x) d x

$\int_0^\infty S(x)dx$

উদাহরণ 1 : ধরুন যে মাছ মাপ যেমন যে । সমীকরণ (1) এরপরে যা সরল সমীকরণ simp সীমানা শর্ত উপরে ব্যবহার করে, সমাধান জন্য চিত্র উপরে দেখানো । নিম্নলিখিত কোডটি তাত্ত্বিক গড় সাথে সিমুলেশনগুলির উপর ভিত্তি করে এই কৌশলটি ব্যবহার করে গড় ধরের তুলনা করে । $X\sim \exp(\alpha)$ $S(x)=e^{-\alpha x}$

\frac{d g}{d t} = - \frac{λ}{α} e^{- α g (t)}

$\frac{dg}{dt}=-\frac\lambda\alpha e^{-\alpha g(t)}$

g (t) = \frac{1}{α} \ln (1 - λ t),

$g(t) = \frac1\alpha\ln(1-\lambda t),$

t \leq 0

$t\le 0$

α = λ = 1

$\alpha=\lambda=1$

g (- 12)

$g(-12)$

g <- function(t,lambda, rate) {
  1/rate*log(1-lambda*t)
}
catch <- function(daylength=12, lambda=1, rfn=runif, gfn=g, ...) {
  n <- rpois(1,daylength*lambda)
  starttime <- -daylength
  arrivaltimes <- sort(runif(n,starttime,0))
  X <- rfn(n,...)
  j <- match(TRUE, X > gfn(arrivaltimes,lambda,...))
  if (is.na(j))
    0
  else
    X[j]
}
nsim <- 1e+5
catches <- rep(0,nsim)
for (i in 1:nsim)
  catches[i] <- catch(gfn=g,rfn=rexp,rate=1,lambda=1)
> mean(catches)
[1] 2.55802
> g(-12,1,1)
[1] 2.564949

উদাহরণ 2: যদি একই ধরণের (1) এর সমাধান হিসাবে to বাড়ে । কীভাবে সর্বাধিক মাছের আকারকে হিসাবে তা নোট করুন । $X \sim U(0,1)$

g (t) = 1 - \frac{1}{1 - λ t / 2}

$g(t) = 1 - \frac1{1-\lambda t/2}$

g (t)

$g(t)$

t \to - \infty

$t\rightarrow -\infty$

— জারলে টুফ্টো
সূত্র

এটি স্পষ্ট নয় যে আপনি যদি এমন কোনও মাছ ধরে থাকেন যার আকার ছাড়িয়ে যায় তবে কেন এটি বন্ধ করার কৌশলটি সর্বোত্তম। যদি মাছের আকার প্রত্যাশিত সর্বাধিক মাছের আকার বেশি হয়ে যায় তবে এটি থামিয়ে দেওয়া আরও বেশি অর্থবোধ করবে ।

g (t)

$g(t)$

(t, 0)

$(t,0)$

— অ্যালেক্স আর

আপনি বৃহত্তম মাছ বাছাই করার সুযোগ পাওয়ার আগে আপনি মাছ ধরা বন্ধ করবেন। হ'ল মাছটি আপনার বিরতিতে ধরে রাখার সিদ্ধান্ত নিয়েছে বলে প্রত্যাশিত আকার । এছাড়া সময়ে সিদ্ধান্ত নিয়ম আছে, , স্টপ মাছধরা আপনি একটি মাছ চেয়ে বড় ধরা ।

g (t)

$g(t)$

(t, 0)

$(t,0)$

t

$t$

g (t)

$g(t)$

— জারলে টুফ্টো

@AlexR। আমি প্রত্যাশিত সর্বাধিক মাছের আকার using ব্যবহার করে উদাহরণস্বরূপ 2 এর জন্য একটি সিমুলেশন চেষ্টা করেছি tried এটি কাছাকাছি হলেও কম কাজ করেছে। সর্বাধিকের প্রত্যাশায় এমন মাছ রয়েছে যা বাছাই করতে পারবে না (যারা চেয়ে কম হবে )। সর্বাধিক এই প্রত্যাশার সাথে, আপনি যে মুহুর্তটি অপেক্ষা করতে খুব বেশি ঝোঁকেন যে আপনি খুব সুবিধাজনক ক্যাচ পেয়েছেন। এটি আপনাকে প্রায়শই বড় মাছ দেয় তবে আরও বেশি ছোট মাছের দামে বা কোনওোটাই হয় না।

g^{'} (t) = 1 - \frac{e^{λ t} - 1}{λ t}

$g'(t)=1-\frac{e^{\lambda t}-1}{\lambda t}$

g^{'} (t)

$g'(t)$

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস