কাচি বিতরণের কোনও অর্থ নেই কেন?

109

বিতরণ ঘনত্ব ফাংশন থেকে আমরা নীচের গ্রাফের মতো কচী বিতরণের জন্য একটি গড় (= 0) সনাক্ত করতে পারি। তবে কেন আমরা বলি কচী বিতরণের কোনও অর্থ নেই?

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

— উড়ন্ত শূকর
সূত্র

2

আমি সংযুক্ত আরব আমিরাতের ক্যাবেজা জি। (2013)। লা মিডিয়া ডি লা ডিস্ট্রিবিউসিএন ডি কচি। কচী বিতরণের গড় সম্পর্কে অপায়ো এন ম্যাটেমিটিকাস ব্লগে ।

আমার উত্তরটি এখানে দেখুন: stats.stackexchange.com/questions/94402/…

— kjetil b halvorsen

99

আপনি যান্ত্রিকভাবে পরীক্ষা করতে পারেন যে প্রত্যাশিত মানটি বিদ্যমান নেই, তবে এটি শারীরিকভাবে স্বজ্ঞাত হওয়া উচিত, যদি আপনি হিউজেনসের নীতি এবং বৃহত সংখ্যার আইনকে মেনে নেন । বৃহত সংখ্যার আইনের উপসংহারটি কচী বিতরণে ব্যর্থ হয়, সুতরাং এর কোনও অর্থ হতে পারে না। আপনি গড় তাহলে স্বাধীন কোশি র্যান্ডম ভেরিয়েবল, ফলাফল একই বিন্দুতে মিলিত হয় না হিসাবে সম্ভাব্যতা সঙ্গে । এটি একই আকারের কচী বিতরণ স্থির করে। এটি অপটিক্সের ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ। $n$ $0$ $n\to \infty$ $1$

কাউচি উত্স থেকে বিন্দু উত্স থেকে একটি লাইনে আলোর স্বাভাবিক তীব্রতা। হুইজেন্সের নীতিটি বলেছে যে উত্স এবং লক্ষ্যটির মধ্যে যে কোনও লাইন থেকে আলো পুনরায় নির্গত হয় তা ধরে নিয়ে আপনি গভীরতা নির্ধারণ করতে পারেন। সুতরাং, মিটার দূরে একটি লাইনের আলোর তীব্রতা নির্ধারণ করা যায় যে আলোটি মিটার দূরে প্রথমে একটি লাইনটি আঘাত করে এবং যে কোনও সামনের কোণে আবার নির্গত হয়। একটি লাইন মিটার দূরে আলোর তীব্রতা মিটার দূরে একটি লাইনে আলোক বিতরণের ভাঁজ সমঝোতা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে । অর্থাৎ এর সমষ্টি স্বাধীন কোশি ডিস্ট্রিবিউশন একটি কোশি বিতরণের একটি গুণক দ্বারা স্কেল করা হয় । $2$ $1$ $n$ $n$ $1$ $n$ $n$

তাহলে কোশি বন্টন একটি গড় ছিল, তারপর তম পারসেন্টাইল ধা সংবর্তন দ্বারা বিভক্ত করতে বিন্দুতে মিলিত হবে বৃহৎ সংখ্যক আইন দ্বারা। পরিবর্তে এটি স্থির থাকে। যদি আপনি মিটার দূরে (স্বচ্ছ) লাইনে তম পারসেন্টাইল চিহ্নিত করেন , মিটার দূরে, ইত্যাদি তবে এই পয়েন্টগুলি ডিগ্রি অবধি একটি সরলরেখা তৈরি করে । তারা দিকে বাঁক না । $25$ $n$ $n$ $0$ $25$ $1$ $2$ $45$ $0$

এটি আপনাকে বিশেষত কচী বিতরণ সম্পর্কে জানায়, তবে আপনার অবিচ্ছেদ্য পরীক্ষাটি জানা উচিত কারণ এমন কোনও বিতরণ রয়েছে যার কোনও কারণ নেই যার স্পষ্ট শারীরিক ব্যাখ্যা নেই।

— ডগলাস জারে
সূত্র

39

+1 এখন সেখানে একটি আলোকজ্জ্বল উত্তর :-) (দুঃখিত) হয়। যাইহোক, নীতিটি হিউজেন নয়, খ্রিস্টিয়ান হিউজেনদের জন্য নামকরণ করা হয়েছে। হিউজেনস সর্বপ্রথম 1650 এর দশকে পাস্কালের (ফারম্যাট সহ তাঁর চিঠির উপর ভিত্তি করে) প্রকাশিত সম্ভাবনার ক্ষেত্রে নতুন উন্নতির প্রশংসা করেছিলেন: এটি হিউজেন্সের এই ধারণাগুলির বিবরণ ছিল (1657), প্রত্যাশা সহ, যা মূলত একটি গাণিতিক উপর সম্ভাবনা তত্ত্ব পেয়েছিল পাদদেশ এবং জ্যাকব বার্নৌলির (মরণোত্তর) গ্রন্থটির জন্য প্রশস্ত পথ তৈরি করেছেন ( আর্স কনজেকেন্ডি , 1713)।

— হোবার

4

প্রশস্ততা প্রচারিত হয়, তীব্রতা নয়।

— ডোরু কনস্ট্যান্টিন

2

এটি একটি দুর্দান্ত উত্তর, তবে আমি শেষটি বিভ্রান্তির সাথে খুঁজে পেয়েছি: "... 45 ডিগ্রিতে 25 তম পার্সেন্টাইল চিহ্নিত করুন ... একটি সরল রেখা, তারা 0 এর দিকে বাঁক দেয় না।" বিবৃতি নিজেই সত্য (হিউজেনস-ফ্রেসনলের নীতির পরিণতি হিসাবে), তবে এটি " দ্বারা বিভক্ত" এর আগেই । যখন 2-মিটারে 2 দ্বারা বিভক্ত হয়, 3-মিটারে 3 দ্বারা বিভক্ত হয়ে যায় ..., তখন স্বচ্ছ লাইনটি উল্লম্ব হয় (আলোকে ক্যাপচার করার জন্য পর্দার লম্ব হয়)। 45 ডিগ্রি কোয়ান্টাইল লাইনটি কাচির যোগফলের সাথে সম্পর্কিত এবং তর্কটি (এখনও) নিয়ে সহায়তা করে না।

n

$n$

— লি ডেভিড চুং লিন

40

মাইকেল চের্নিক্সের উত্তরে @ হুশিয়ারের মন্তব্যের জবাবে উত্তর যুক্ত হয়েছে (এবং হোবার দ্বারা নির্দেশিত ত্রুটিটি মুছে ফেলার জন্য সম্পূর্ণ পুনরায় লিখিত হয়েছে।)

কচির এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মানের জন্য অবিচ্ছেদ্যের মানটিকে অপরিজ্ঞাত বলা হয় কারণ মানটি "পছন্দসই" হতে পারে এমন কোনও কিছু হতে পারে। অবিচ্ছেদ্য (একটি রিমন ইন্টিগ্রাল অর্থে ব্যাখ্যা করা হয়) যাকে সাধারণত বলা হয় একটি অনুচিত অবিচ্ছেদ্য এবং এর মান অবশ্যই একটি সীমাবদ্ধ মান হিসাবে গণনা করতে হবে: বা

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x = lim_{T_{1} \to - \infty} lim_{T_{2} \to + \infty} \int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx = \lim_{T_1\to-\infty}\lim_{T_2\to+\infty} \int_{T_1}^{T_2} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x = lim_{T_{2} \to + \infty} lim_{T_{1} \to - \infty} \int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx = \lim_{T_2\to+\infty}\lim_{T_1\to-\infty} \int_{T_1}^{T_2} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$ এবং বা অবশ্যই, উভয় মূল্যায়নের একই সীমাবদ্ধ মান দেওয়া উচিত। যদি তা না হয় তবে অবিচ্ছেদ্যটিকে অপরিজ্ঞাত বলা হয়। এটি তাত্ক্ষণিকভাবে দেখায় কেন কাচি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড়টিকে অপরিজ্ঞাত বলা হয়: অভ্যন্তরীণ সীমাতে সীমাবদ্ধকরণের মানটি বিভক্ত হয়।

কচির মূল মানটি একক সীমা হিসাবে প্রাপ্ত হয়: উপরের ডাবল সীমা পরিবর্তে । প্রত্যাশা অবিচ্ছেদ্য অধ্যক্ষ মান সহজে হতে দেখা যায় যেহেতু limitand মূল্য আছে সবার জন্য । তবে এটি বলার অপেক্ষা রাখে না যে একটি কাচ্চি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় । অর্থাত্, গড়টি মূল অর্থে অখণ্ডের মান হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয় মূল নীতিতে নয়।

lim_{T \to \infty} \int_{- T}^{T} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x

$\lim_{T\to\infty} \int_{-T}^{T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$

0

$0$

0

$0$

T

$T$

0

$0$

জন্য , বিবেচনা পরিবর্তে অবিচ্ছেদ্য যা একটি সীমাবদ্ধ মানের কাছে যায় হিসাবে । যখন , আমরা উপরে আলোচনা করা মূল মান পাই । সুতরাং, আমরা এক্সপ্রেশন একটি দ্ব্যর্থহীন অর্থ নির্ধারণ করতে পারবেন না $\alpha > 0$

\begin{aligned} \int_{- T}^{α T} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x & = \int_{- T}^{T} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x + \int_{T}^{α T} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x \\ = 0 + {\frac{\ln (1 + x^{2})}{2 π} |}_{T}^{α T} \\ = \frac{1}{2 π} \ln (\frac{1 + α^{2} T^{2}}{1 + T^{2}}) \\ = \frac{1}{2 π} \ln (\frac{α^{2} + T^{- 2}}{1 + T^{- 2}}) \end{aligned}

$\begin{align} \int_{-T}^{\alpha T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx &= \int_{-T}^{T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx + \int_{T}^{\alpha T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx\\ &= 0 + \left.\frac{\ln(1+x^2)}{2\pi}\right|_T^{\alpha T}\\ &= \frac{1}{2\pi}\ln\left(\frac{1+\alpha^2T^2}{1+T^2}\right)\\ &= \frac{1}{2\pi}\ln\left(\frac{\alpha^2+T^{-2}}{1+T^{-2}}\right) \end{align}$

\frac{\ln (α)}{π}

$\displaystyle \frac{\ln(\alpha)}{\pi}$

T \to \infty

$T\to\infty$

α = 1

$\alpha = 1$

0

$0$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$ কীভাবে উল্লেখ করা হয়েছে যে দুটি অসম্পূর্ণতা কীভাবে সংযুক্ত হয়েছিল, এবং এই বিন্দুটি উপেক্ষা করার ফলে সকলের দিকে এগিয়ে যায় বিভিন্ন ধরণের জটিলতা এবং ভুল ফলাফল কারণ যখন মূল মূল্যবোধের দুধটি মূল্যের ক্রিম হিসাবে মুখোমুখি হয় তখন জিনিসগুলি সবসময় তাদের মনে হয় না। এ কারণেই কাউচি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড়টি অবিচ্ছেদ্যের মূল মান চেয়ে অপরিজ্ঞাত হিসাবে বলা হয় ।

0

$0$

যদি কোনও সম্ভাব্যতার জন্য পরিমাপ-তাত্ত্বিক পদ্ধতির ব্যবহার করে এবং প্রত্যাশিত মান ইন্টিগ্রালকে লেবেসগু ইন্টিগ্রালের অর্থে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে বিষয়টি সহজ is কেবল তখনই উপস্থিত থাকে যখন সসীম, এবং তাই একটি কোশি দৈব চলক জন্য undefined হয় যেহেতু না সসীম হয়। $\int g$ $\int |g|$ $E[X]$ $X$ $E[|X|]$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

9

মাঝের অবিচ্ছেদের মূল্যায়ন ভুল: এটি শূন্য, লোগারিদম নয়। সমস্যাটি হ'ল অসীম ইন্টিগ্রালগুলিতে অন্তর্ভুক্ত দুটি সীমাটি মূল্যায়ন করে।

— হোবার

@ শুভ ত্রুটি চিহ্নিত করার জন্য ধন্যবাদ। আমি আমার উত্তর পুরোপুরি আবার লিখেছি এবং আপনার মন্তব্য আর প্রযোজ্য না।

— দিলীপ সরোতে

অনুপাতের প্রত্যাশা কেন নেই তা আমি বুঝতে পারি না। তাহলে এবং যৌথভাবে স্বাভাবিকভাবে শূন্য থেকে গড় বিভিন্ন সঙ্গে বিতরণ করা হয়, তারপর গড় দেওয়া হয় , আমি কী মিস করছি?

X

$X$

Y

$Y$

Z = \frac{X}{Y}

$Z = \frac{X}{Y}$

\int \int \frac{x}{y} p (x, y) d x d y

$\int \int \frac{x}{y} p \left( x, y \right) dx dy$

— রায়য়

@ ড্রাজিক আমি আমার উত্তরে কোথাও দুটি সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অনুপাত উল্লেখ করিনি। কচির এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে এই সমস্যা উত্থাপনকারী কাউকে জিজ্ঞাসা করুন।

— দিলীপ সরোতে

2

@ ড্রাজিক আপনার অবিচ্ছেদ্য আদৌ বিদ্যমান কিনা তা দেখুন । সাধারণভাবে, যদি আশেপাশে এর ঘনত্ব অবিরত থাকে তবে E [X ^ {- 1}] $ এর অস্তিত্ব নেই।

X

$X$

0

$0$

— দিলীপ সরোতে

33

উপরোক্ত উত্তরগুলি কেন কচী বিতরণের কোনও প্রত্যাশা রাখে না তার বৈধ ব্যাখ্যা, তবে আমি সত্যটি খুঁজে পাই যে দুটি স্বতন্ত্র স্বাভাবিক পরিবর্তনের অনুপাতটি ঠিক তেমন আলোকিত করে: সত্যই, আমরা আছে এবং দ্বিতীয় প্রত্যাশাটি হ'ল । $X_1/X_2$ $\mathcal{N}(0,1)$

E [\frac{| X_{1} |}{| X_{2} |}] = E [| X_{1} |] \times E [\frac{1}{| X_{2} |}]

$\mathbb{E}\left[ \frac{|X_1|}{|X_2|} \right] = \mathbb{E}\left[ |X_1| \right] \times \mathbb{E}\left[ \frac{1}{|X_2|} \right]$

+ \infty

$+\infty$

— সিয়ান
সূত্র

1

হয়একটি 'ভাঁজ করা' কচী এলোমেলো পরিবর্তনশীল যখন আমি জানি যে standard স্ট্যান্ডার্ড কচি? বিতরণ কীভাবে পাওয়া যাবে? ?

| \frac{X_{1}}{X_{2}} |

$\left|\frac{X_1}{X_2}\right|$

\frac{X_{1}}{X_{2}}

$\frac{X_1}{X_2}$

| \frac{X_{1}}{X_{2}} |

$\left|\frac{X_1}{X_2}\right|$

— জেদীআটম

1

হ্যাঁ, এটি একটি কাউচি বৈকল্পিকের পরম মান, যা ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যার চেয়ে ঘনত্ব রয়েছে।

f (x) + f (- x)

$f(x)+f(-x)$

— শি'য়ান

আপনি যদি সাধারণ বিতরণ ভাঁজ করেন তবেঅনন্ত নয় কি?

E 1 / | X_{2} |

$\mathbb{E} 1/|X_2|$

— অ্যালবার্ট চেন

এটা অনন্ত।

— শি'আন

22

কচির কোনও অর্থ নেই কারণ আপনি যে বিন্দুটি (0) নির্বাচন করেন তা কোনও গড় নয়। এটি একটি মধ্যমা এবং একটি মোড । একেবারে অবিচ্ছিন্ন বিতরণের জন্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে ঘনত্বের ক্রিয়া হয় এবং এর ডোমেনের উপর অবিচ্ছেদ্য হয় (যা ক্ষেত্রে) থেকে )। কচির ঘনত্বের জন্য, এই অবিচ্ছেদ্য কেবল সীমাবদ্ধ নয় (অর্ধেক থেকে হয় এবং অর্ধেক থেকে হয় is )। $\int x f(x) dx$ $f$ $f$ $-\infty$ $\infty$ $-\infty$ $0$ $-\infty$ $0$ $\infty$ $\infty$

— মাইকেল চেরনিক
সূত্র

9

আমি আপনার সমালোচনা করছি না, @ ডিলিপ: আমি আপনার পর্যবেক্ষণকে বাড়িয়ে দিচ্ছি। খুব আকর্ষণীয় বিষয়টি হ'ল শূন্য মূল মূল্যের অস্তিত্ব আমাদেরকে কাচ্চি বিতরণের গড় (বা কোনও আরভি এর গড়) এর সংখ্যার মূল মান হিসাবে সংজ্ঞা দিতে প্ররোচিত করতে পারে। এটি এই প্রশ্নের প্রকৃতির আরও গভীরভাবে তদন্ত করে, যা অবিচ্ছেদ্য হয় অসীম বা অপরিজ্ঞাত বলে ঘোষণা করে যেটি প্রকাশিত হয়: যথা, মূল মানটি কেন কাজ করে না ? কেন এটি একটি উপায় হিসাবে ব্যবহার বৈধ হবে না?

— হোবার

5

@ হুবুহু এটিও আকর্ষণীয় যে আপনি যদি কোনও-এর জন্য অ-অটিগ্রাসটি কেটে যান এবং 0 এর জন্য 0 পাওয়া যায় তবে 0 প্রতিসাম্যিক ইন্টিগ্রালের একটি পন্থা হিসাবে সীমাটি গ্রহণ করলে 0 পাওয়া যায় না কেন তা জিজ্ঞাসা করার আরেকটি কারণ রয়েছে ask 0 গড়।

— মাইকেল চেরনিক

10

@ শুভেচ্ছা: আমি আপনার শেষ প্রশ্নটি ব্যঙ্গাত্মক হওয়ার জন্য আপনার পেনাল্টিমেট মন্তব্যে নিয়েছি; যে কোনও হারে আমরা নিখুঁত রূপান্তর চাই এবং আমার মনে "" কারণ হ'ল আমরা চাই ক্ষেত্রগুলির মতো জিনিসগুলি আচরণ করা। বিশেষত, আমাদের যে উত্তরটি পেয়েছে তাতে বিরক্ত না করে আমাদের জিনিসগুলি (ফাংশনগুলি) কে টুকরো টুকরো করে কাটাতে এবং ইচ্ছামতো পুনরায় সাজানো দরকার। আমরা এই কাটা এবং পুনরায় সাজানো রৈখিক ক্রিয়াকলাপের জন্য একটি কাচির বিতরণ করতে পারি না, তাই আমাদের অবশ্যই জোর দিয়ে বলতে হবে যে এর অর্থটি বিদ্যমান নেই।

— কার্ডিনাল

9

এটি, @ কার্ডিনাল, একটি ভাল উত্তর! আমি নিছক বাজে বক্তব্য রাখছি না, কারণ প্রশ্নটি নিজেই জিজ্ঞাসা করে "আমরা [কেন] কচী বিতরণের কোনও অর্থ নেই?" প্রত্যাশা অপরিবর্তিত বলা অবিশ্বাস্যর সন্তুষ্ট হতে পারে, তবে এই সম্ভাবনাটি যে অবিচ্ছেদের একটি যুক্তিসঙ্গত বিকল্প সংজ্ঞা থাকতে পারে - এবং একটি স্বজ্ঞাতই সঠিক উত্তর দেয়! - মানুষকে কষ্ট দেওয়া উচিত। আপনার উত্তর আমার মনে রাখার কাছাকাছি, তবে এটি এখনও অসম্পূর্ণ। আমি মনে করি সন্তোষজনক উত্তরটি পরিসংখ্যানগত তত্ত্বের গুরুত্বপূর্ণ উপপাদাগুলি সনাক্ত করতে পারে যা আমরা যখন শর্তাধীন রূপান্তরিত ইন্টিগ্রালগুলির সাথে কাজ করি তখন ব্যর্থ হয়।

— হোবার

7

@ দিলিপ আমিও এটি ভেবেছিলাম, তবে প্রতিচ্ছবি হ'ল এটি আপনার প্রস্তাবের চেয়ে কিছুটা চ্যালেঞ্জিং বলে মনে হচ্ছে। উদাহরণস্বরূপ, কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যটিতে কোনও সমস্যা নেই: অবশ্যই কোনও বৈকল্পিক প্রয়োজন একটি প্রত্যাশার নিশ্চয়তা দেয়। এবং প্রচুর উপপাদাগুলি চেবিশেভের বৈষম্য ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়েছে, যেখানে আরও একবার আমাদের কোনও গ্যারান্টি দেওয়া হয়েছিল। সুতরাং আমি সত্যিই কৌতূহলী: পরিসংখ্যান চর্চায় ব্যবহৃত বড় কোন উপপাদাগুলি কী যেখানে আমাদের সত্যই শর্তসাপেক্ষে অভিযোজিত, তবে অভিজাত নয়, প্রত্যাশা নিয়ে সমস্যাগুলির সচেতন হতে হবে?

— হোবার

16

কাচি বিতরণটি ইউনিট বৃত্তে অভিন্ন বন্টন হিসাবে সবচেয়ে ভাল ধারণা করা হয়, সুতরাং এটি গড় অবাক হয়ে যদি অবাক হয়। ধরুন কোনও ধরণের "গড় ফাংশন" ছিল। অর্থাৎ, ধরুন, ইউনিট বৃত্তের প্রতিটি সীমাবদ্ধ সাবসেট জন্য, ইউনিট বৃত্তের একটি বিন্দু ছিল। স্পষ্টতই, "অপ্রাকৃত" হতে হবে। আরও স্পষ্টভাবে ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে সমতুল্য হতে পারে না। কাচি বিতরণটি তার আরও স্বাভাবিক, তবে কম প্রকাশের জন্য, রূপটি (0,1) থেকে এক্স-অক্ষের উপরে ইউনিট বৃত্তটি প্রজেক্ট করুন এবং বৃত্তের অভিন্ন বিতরণটি এক্স-অক্ষে স্থানান্তর করতে এই প্রক্ষেপণটি ব্যবহার করুন। $f$ $X$ $f(X)$ $f$ $f$

কেন এই অস্তিত্বের উপস্থিতি নেই তা বোঝার জন্য, ইউনিট বৃত্তের একটি ক্রিয়া হিসাবে এক্সটিকে ভাবেন। ইউনিট বৃত্তে অসীম সংখ্যক বিভেদযুক্ত আরকের সন্ধান করা বেশ সহজ, যেমন, যদি কোনও একটি চাপের দৈর্ঘ্য d হয়, তবে সেই চাপকে x> 1 / 4d রাখুন। সুতরাং এই বিযুক্ত আরাকগুলির প্রত্যেকটি অর্থে 1/4 এরও বেশি অবদান রাখে এবং এই আরকগুলি থেকে মোট অবদান অসীম। আমরা আবার একই জিনিসটি করতে পারি, তবে x <-1 / 4d সহ মোট অবদান বিয়োগ অনন্ত সহ। এই অন্তরগুলি একটি চিত্রের সাথে প্রদর্শিত হতে পারে তবে ক্রস যাচাইকরণের জন্য কি কোনও চিত্র তৈরি করা যেতে পারে?

— ডেভিড এপস্টাইন
সূত্র

1

@ ডেভিড এপস্টাইন সাইটটিতে আপনাকে স্বাগতম। আপনি চিত্রগুলি ডাব্লু / আপনার পছন্দের সফ্টওয়্যারটি তৈরি করতে পারেন এবং উত্তর ক্ষেত্রের উপরে ছোট চিত্র আইকনে (উইজার্ডটি চালু করতে) ক্লিক করে আপনার উত্তরে সেগুলি আপলোড করতে পারেন। দুর্ভাগ্যক্রমে, আপনার এটি করতে>> = 10 টি রেপ দরকার। আমি নিশ্চিত যে আপনার তাড়াতাড়ি যথেষ্ট হবে; অন্তর্বর্তী সময়ে, আপনি যদি ছবিটি ইন্টারনেটে অন্য কোথাও পোস্ট করতে পারেন এবং আপনার উত্তরে এটির একটি লিঙ্ক পোস্ট করতে পারেন তবে উচ্চতর প্রতিনিধি ব্যবহারকারী এটি আনতে এবং আপনার জন্য পোস্ট করতে পারেন।

— গাং

3

কাউকে একটি বৃত্তে ইউনিফর্ম হিসাবে ব্যাখ্যা করা সম্পর্কে আমি সচেতন ছিলাম না তবে এটি অবশ্যই বোধগম্য। একটি টপোলজিকাল যুক্তি দেখায় যে কোনও বৃত্তে কোনও গড় ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্য রয়েছে এমন কোনও ক্রমাগত ফাংশন থাকতে পারে না।

— জহনি

@ ডেভিড অ্যাপস্টেইন আমি আপনার পোস্টটি অন্য পোস্টেও পড়েছি । স্টেরিওগ্রাফিক প্রজেকশনটি সত্যিই দুর্দান্ত। তুলনায়, আপনি কেন অর্ধবৃত্তের সমানভাবে বৈধ রেডিয়াল প্রক্ষেপণকে সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত করার অর্থ বোঝায় না তা নিয়ে মন্তব্য করতে পারেন? যথা, , তারপরে মানক । জ্যামিতিকভাবে এটি মূল বিষয় যে কোনও শিলালিপি কোণ সর্বদা এর সংশ্লিষ্ট কেন্দ্রীয় কোণের অর্ধেক থাকে।

U \sim U n i f [0, 1]

$U \sim \mathrm{Unif}[0,1]$

X \equiv \tan (π (U - \frac{1}{2}))

$X \equiv \tan\left( \pi( U - \frac12 ) \right)$

— লি ডেভিড চুং লিন

প্রকৃতপক্ষে কোনও আলোক উত্সের শারীরিক মডেলের ক্ষেত্রে, অর্ধবৃত্তের চিত্রটি আরও উপযুক্ত, কারণ হুইজেনসের নীতি আপনাকে স্টেরিওগ্রাফিক প্রজেকশন কেন দেবে তা তাত্ক্ষণিকভাবে পরিষ্কার নয়।

— লি ডেভিড চুং লিন

10

কিছু এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর গড় বা প্রত্যাশিত মান হ'ল কিছু সম্ভাব্যতা পরিমাপের উপরে সংজ্ঞায়িত অবিচ্ছেদ্য : $X$ $P$

E X = \int X d P

$EX=\int XdP$

কাচ্চি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড়ের অস্তিত্বের অর্থ কেবল যে কাউচি আরভি এর অবিচ্ছেদ্য অস্তিত্ব নেই। কারণ কাচি বিতরণের লেজগুলি ভারী লেজ (সাধারণ বিতরণের লেজের সাথে তুলনা করুন)। যাইহোক, প্রত্যাশিত মানের অস্তিত্ব কোনও কচি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অন্যান্য ক্রিয়াকলাপগুলির অস্তিত্বকে নিষেধ করে না।

— টমাস
সূত্র

5

লেজগুলি "ভারী" এই অর্থে যে তারা অবিচ্ছেদ্য রূপান্তরিত করার জন্য উভয় দিকেই দ্রুত পর্যায়ে ক্ষয় হয় না। সাধারণ বিতরণ (বা কোনও রেফারেন্স বিতরণ) এর সাথে এই ধারণার কোনও সম্পর্ক নেই।

— হোবার

4

হ্যাঁ, এই সংশোধন করার জন্য ধন্যবাদ। আমি ভারী লেজ এবং সাধারণ বিতরণের মধ্যে কোনও কঠোর সংযোগ বোঝাতে চাইনি। তবে আমি মনে করি যে সাধারণ বিতরণ (হালকা লেজের সাথে) এবং ভারী-লেজযুক্ত বিতরণকে তুলনামূলকভাবে "ভারী" লেজের ধারণাটি উপলব্ধি করতে (সর্বদা নয়) কিছুটা সহজ করে তোলে।

— টমাস

5

এখানে আরও একটি চাক্ষুষ ব্যাখ্যা রয়েছে। (আমাদের মধ্যে যারা গণিত চ্যালেঞ্জযুক্ত তাদের জন্য)) একটি সাবধানী বিতরণ এলোমেলো নম্বর জেনারেটর নিন এবং ফলাফলের মানগুলি গড় করার চেষ্টা করুন। এটির জন্য একটি ফাংশনে এখানে একটি ভাল পৃষ্ঠা। https://math.stackexchange.com/questions/484395/how-to-generate-a-cauchy-random-variable আপনি দেখতে পাবেন যে এলোমেলো মানগুলির "স্পিকনেস" ছোট হওয়ার পরিবর্তে আপনার আকার বাড়িয়ে তুলবে । অতএব এটির কোনও অর্থ নেই।

— পল
সূত্র

4

কেবলমাত্র উত্তরের উত্তরগুলিতে যুক্ত করার জন্য, আমি সংখ্যাসূচক আচরণের ক্ষেত্রে কেন অবিচ্ছেদ্য বিষয়টিকে প্রাসঙ্গিক বলে কিছু মন্তব্য করব। অন্যরা যেমন উল্লেখ করেছে, আমরা যদি মূল মানটিকে "গড়" হিসাবে অনুমোদিত করি তবে সেলেনটি আর বৈধ হবে না! এগুলি ছাড়াও, বাস্তবে, সমস্ত মডেলই আনুমানিক the বিশেষত, কাচি বিতরণ একটি আনবাউন্ডেড এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি মডেল। অনুশীলনে, এলোমেলো পরিবর্তনগুলি সীমাবদ্ধ তবে সীমানা প্রায়শই অস্পষ্ট এবং অনিশ্চিত থাকে। আনবাউন্ডেড মডেলগুলি ব্যবহার এটি হ্রাস করার উপায়, এটি মডেলগুলির মধ্যে অনিশ্চিত (এবং প্রায়শই অপ্রাকৃত) সীমার পরিচয় অপ্রয়োজনীয় করে তোলে। তবে এটি বোঝার জন্য, সমস্যার গুরুত্বপূর্ণ দিকগুলি প্রভাবিত হওয়া উচিত নয়। এর অর্থ হ'ল আমরা যদি সীমাবদ্ধতা প্রবর্তন করি, মডেলটি গুরুত্বপূর্ণ উপায়ে পরিবর্তন করা উচিত নয়। কিন্তু অবিচ্ছেদ্য যখন হয় না নন-কনভার্জেন্ট! মডেলটি অস্থির, এই অর্থে যে আরভিটির প্রত্যাশাটি মূলত স্বেচ্ছাসেবী সীমার উপর নির্ভর করবে। (অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে, সীমানা প্রতিসাম্য তৈরি করার কোনও কারণ নেই!)

এই কারণে, এটি "অসীম" বলার চেয়ে অবিচ্ছেদ্যটি বিচ্ছিন্ন বলা ভাল, সর্বশেষ যখন কিছু উপস্থিত নেই তখন কিছু নির্দিষ্ট মান বোঝায়! আরও গভীর আলোচনা এখানে ।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন
সূত্র

-4

আমি এক সেকেন্ডের জন্য কিছুটা পিক হতে চাই। উপরের গ্রাফিকটি ভুল। এক্স-অক্ষটি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিতে রয়েছে, যা কাচি বিতরণের জন্য বিদ্যমান নেই exist আমি বাছাই করছি কারণ আমি আমার কাজের প্রতিটি দিন কাচের বিতরণটি ব্যবহার করি। একটি ব্যবহারিক ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে বিভ্রান্তি একটি অভিজ্ঞতাগত ত্রুটির কারণ হতে পারে। শিক্ষার্থীদের 1 ডিগ্রি স্বাধীনতার টি বিতরণ মানক কচী chy এটি সাধারণত তাত্পর্যপূর্ণ জন্য প্রয়োজনীয় বিভিন্ন সিগমাস তালিকাবদ্ধ করে। এই সিগমাস মানক বিচ্যুতি নয়, এগুলি সম্ভাব্য ত্রুটি এবং মিউটি মোড।

আপনি যদি উপরের গ্রাফিকটি সঠিকভাবে করতে চেয়েছিলেন, হয় এক্স-অক্ষটি হ'ল কাঁচা ডেটা, বা যদি আপনি তাদের সমতুল্য আকারের ত্রুটি থাকতে চান তবে আপনি তাদের সমান সম্ভাব্য ত্রুটিগুলি দিতেন। একটি সম্ভাব্য ত্রুটি হ'ল স্বাভাবিক বিতরণে আকারে মান 6767 মানক বিচ্যুতি। উভয় ক্ষেত্রেই এটি আধা-আন্তঃখণ্ড রেঞ্জ।

এখন আপনার প্রশ্নের উত্তরের হিসাবে, সবাই উপরে যা লিখেছেন তা সঠিক এবং এটি গাণিতিক কারণ। তবে, আমি সন্দেহ করি যে আপনি একজন শিক্ষার্থী এবং এই বিষয়টিতে নতুন এবং সুতরাং দৃশ্যত সুস্পষ্টর জন্য পাল্টা-স্বজ্ঞাত গাণিতিক সমাধানগুলি সত্য নাও লাগতে পারে।

আমার দুটি প্রায় অভিন্ন বাস্তব বিশ্বের নমুনা রয়েছে, যা একটি কাচ্চি বিতরণ থেকে আঁকা, উভয়ের একই মোড এবং একই সম্ভাব্য ত্রুটি রয়েছে। একটির গড় ১.২ 1. এবং অন্যটির গড় ১.৩৩ রয়েছে। 1.27 এর মধ্য দিয়ে যার একটির স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি 400 টির, যার সাথে 1.33 এর একটি মানক বিচ্যুতি 5.15। উভয়ের পক্ষে সম্ভাব্য ত্রুটি .32 এবং মোডটি 1 This কোনও পরীক্ষার জন্য গড় এবং / বা তারতম্যটির বাইরের তাত্পর্যকে ঠেলাতে কেবল এক অতিরিক্ত পর্যবেক্ষণ লাগে। কারণটি হ'ল গড় এবং বৈকল্পিক কোনও পরামিতি নয় এবং নমুনা গড় এবং নমুনার বৈকল্পিকতা এগুলি এলোমেলো সংখ্যা।

সহজ উত্তরটি হ'ল কাচি বিতরণের প্যারামিটারগুলিতে কোনও গড় অন্তর্ভুক্ত থাকে না এবং তাই কোনও গড় সম্পর্কে কোনও বৈচিত্র নেই।

সম্ভবত আপনার অতীতের পাঠশাস্ত্রে গড়ের গুরুত্বটি ছিল এটি সাধারণত পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান। দীর্ঘমেয়াদে ফ্রিকোয়েন্সি ভিত্তিক পরিসংখ্যানগুলিতে কচী বিতরণের পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান নেই। এটি সত্য যে সমস্ত বাস্তবের উপরে সমর্থন সহ একটি কাচির বিতরণের জন্য নমুনা মিডিয়ান যথেষ্ট পরিসংখ্যান, তবে এটি কারণ এটি অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক হওয়ার কারণে এটি উত্তরাধিকার সূত্রে প্রাপ্ত। এটি কাকতালীয়ভাবে যথেষ্ট পরিমাণে, এটি সম্পর্কে ভাবার সহজ উপায়ের অভাব রয়েছে। এখন বায়েশিয়ান পরিসংখ্যানগুলিতে কচী বিতরণের পরামিতিগুলির জন্য পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান রয়েছে এবং যদি আপনি আগে ইউনিফর্ম ব্যবহার করেন তবে এটিও পক্ষপাতহীন। আমি এটি এনেছি কারণ যদি আপনার এগুলি দৈনিক ভিত্তিতে ব্যবহার করতে হয় তবে আপনি সেগুলি সম্পর্কে অনুমান করার সমস্ত উপায় সম্পর্কে শিখলেন।

কাঁচা কাচ্চি বিতরণগুলির জন্য প্রাক্কলনকারী হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে এমন কোনও বৈধ অর্ডার পরিসংখ্যান নেই, যা আপনি আসল বিশ্বে চালিত হওয়ার সম্ভাবনা, এবং তাই বেশিরভাগের জন্য ফ্রিকোয়েন্সি ভিত্তিক পদ্ধতিগুলিতে পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান নেই তবে সমস্ত বাস্তব অ্যাপ্লিকেশন নয় ।

আমার পরামর্শটি হ'ল মানসিকভাবে বাস্তব থেকে দূরে সরে যাওয়া। এটি হাতুড়ির মতো একটি সরঞ্জাম, এটি ব্যাপকভাবে কার্যকর এবং সাধারণত ব্যবহৃত হতে পারে। কখনও কখনও যে সরঞ্জাম কাজ করবে না।

স্বাভাবিক এবং কচী বিতরণগুলির উপর একটি গাণিতিক নোট। যখন সময় সিরিজ হিসাবে ডেটা গৃহীত হয়, তখন স্বাভাবিক বিতরণ তখনই ঘটে যখন ত্রুটি শূন্যে রূপান্তরিত হয় টি হিসাবে অসীমের দিকে চলে যায়। যখন সময় সিরিজ হিসাবে ডেটা গৃহীত হয়, তখন ত্রুটিগুলি অনন্তের দিকে চলে যাওয়ার পরে কচির বিতরণ হয়। এর একটি কনভারজেন্ট সিরিজের কারণে, অন্যটি ডাইভারজেন্ট সিরিজের কারণে। কচী ডিস্ট্রিবিউশনগুলি কখনই সীমাতে নির্দিষ্ট পয়েন্টে পৌঁছায় না, তারা একটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট পেরিয়ে পিছনে ঘুরতে থাকে যাতে তারা একদিকে পঞ্চাশ শতাংশ সময় এবং অন্যদিকে পঞ্চাশ শতাংশ সময় থাকে। কোনও মিডিয়ান রিভার্শন নেই।

— ডিই হ্যারিস
সূত্র

9

এই প্রতিক্রিয়াতে কিছু বিভ্রান্তি আছে! উদাহরণস্বরূপ, এটি বলছে "এখন বেয়েশিয়ার পরিসংখ্যানগুলিতে কাচ্চি বিতরণের প্যারামিটারগুলির জন্য পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান রয়েছে এবং যদি আপনি আগে ইউনিফর্ম ব্যবহার করেন তবে এটিও পক্ষপাতহীন।" এটির কোনও ধারণা তৈরি করা কঠিন! প্রথমত, পর্যাপ্ততার ফ্রিকোরিস্টবাদী এবং বায়েশিয়ান ধারণাগুলি খুব কাছাকাছি (এবং আমি বিশ্বাস করি যে কেবল কিছু অদ্ভুত, অসীম-ম্লান নমুনা স্পেসে পৃথক হতে পারে, তাই আসল লাইনটি একই) কাচি মডেলের জন্য নির্দিষ্ট মাত্রার কোনও পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান নেই !, কেবল (সম্পূর্ণ ডেটা স্পষ্টতই যথেষ্ট)।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

-6

এটিকে সহজভাবে বলতে গেলে, জুম বাড়ানোর সাথে সাথে বক্ররেখার অঞ্চলটি অসীমের কাছে চলে আসে। আপনি যদি সীমাবদ্ধ অঞ্চলের নমুনা করেন তবে আপনি সেই অঞ্চলের জন্য কোনও উপায় খুঁজে পেতে পারেন। তবে অনন্তের কোনও উপায় নেই।

— পল
সূত্র

8

পিডিএফ এর নীচে অঞ্চল সংজ্ঞা অনুসারে সমান , সুতরাং আপনার "বক্ররেখা" দ্বারা অন্য কিছু বোঝানো উচিত। এটা কি?

1

$1$

— হোবার