একটানা অভিন্ন বিতরণে সম্ভাবনার যোগফল কেন অনন্ত নয়?

Question

উপরে অভিন্ন বিতরণ (অবিচ্ছিন্ন) এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন উপরে দেখানো হয়েছে। বক্ররেখার অধীনে অঞ্চলটি 1 - যা সম্ভাব্য বন্টনে সমস্ত সম্ভাবনার যোগফল 1 হওয়ায় এটি বোধগম্য হয়।

সাধারণত, উপরের সম্ভাব্যতা ফাংশন (এফ (এক্স)) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়

[এ, খ] x এর জন্য 1 / (বা)

এবং 0 অন্যথায়

বিবেচনা করুন যে আমাকে একটি (বলুন, 2) এবং বি (বলুন, 6) এর মধ্যে একটি আসল সংখ্যা চয়ন করতে হবে। এটি অভিন্ন সম্ভাবনা = 0.25 করে। তবে, যেহেতু সেই ব্যবধানে সীমাহীন সংখ্যার সংখ্যা রয়েছে, তাই সমস্ত সম্ভাবনার যোগফল অনন্ত পর্যন্ত না হওয়া উচিত? আমি কি উপেক্ষা করছি?

F (x) x সংখ্যার সম্ভাব্যতা কি নয়?

Comments

এছাড়াও: math.stackexchange.com/questions/2885278/… ; stats.stackexchange.com/questions/199280/…

— বেন বলকার

$f(x)$ কোনও সম্ভাবনা ফাংশন নয় — এটি একটি সম্ভাবনার ঘনত্ব ফাংশন । এটি হ'ল, এটি আপনাকে নির্দিষ্ট সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা দেয় না , তবে সম্ভাবনার ঘনত্ব বা এক্স-অক্ষের পাশাপাশি প্রতি ইউনিট দৈর্ঘ্যের সম্ভাবনা। আপনি এই জাতীয় ক্রিয়াকলাপের মোট সম্ভাবনা পাওয়ার জন্য সংহতকরণ ব্যবহার করেন sum সংক্ষেপণ নয়। $x$

— হ্যালো গুডবাই

Answer 1

$f(x)$আপনার উদাহরণে সম্ভাব্যতার চেয়ে বরং সম্ভাবনার ঘনত্ব বর্ণনা করে describes সাধারণভাবে, ধারাবাহিক বিতরণের জন্য ইভেন্টগুলি - যে জিনিসগুলির জন্য আমরা সম্ভাব্যতা পাই get সেগুলি হ'ল মানের ব্যাপ্তি , যেমন বক্ররেখার অংশ হিসাবে$a$ প্রতি $a+.1$, বা থেকে $a$ প্রতি $b$(যদিও এই ধরণের রেঞ্জগুলি সংগত হতে হবে না)। অবিচ্ছিন্ন বিতরণের জন্য, কোনও একক মান হওয়ার সম্ভাবনা সাধারণত 0 হয়।

Comments

আপনি যা বলতে চাইছেন তা বলার কি আরও প্রযুক্তিগত কোনও সঠিক উপায় আছে? আমি উদ্বিগ্ন "পরিসীমা" জিনিসটি মানুষকে ছুঁড়ে ফেলবে, ধারাবাহিক বিতরণ বিবেচনা করে

— ডায়রাক ডেল্টাস

@Mehrdad: ডিরাক ব-দ্বীপ নেই না একটি ক্রমাগত বন্টন আছে। সম্ভাব্যতা নির্ধারণের সঠিক উপায়টি হবে$P(A) = \int_A 1dF$।

— অ্যালেক্স আর

@ অ্যালেক্সআর: ওফ, আমি "অবিচ্ছিন্ন বিতরণ" দ্বারা ধরে নিয়েছি আপনি কেবলমাত্র একটি অবিচ্ছিন্ন ডোমেনের উপর বিতরণ বোঝাতে চেয়েছেন, যেহেতু লোকেরা যখন ডায়ারাক ডেল্টা ক্রোনেকার ব-দ্বীপের অবিচ্ছিন্ন এনালগ বলে তখন এটি উল্লেখ করে। স্পষ্ট করার জন্য ধন্যবাদ।

— ব্যবহারকারী541686

@ মেহরদাদ আমি ড্যারাকের ব-দ্বীপের বিষয়ে সুনির্দিষ্টভাবে ভাবছিলাম, তবে আমি আশা করি আপনি "সাধারণভাবে" শব্দটিটি এবং ওপি'র পরিসংখ্যানগত সাক্ষরতার সুস্পষ্ট স্তরটি লক্ষ্য করবেন।

— অ্যালেক্সিস

@ মেহরদাদ একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রযুক্তিগত সূত্রটি একটি পরিমাপের শর্তে: ইভেন্ট স্পেসের পাওয়ার সেট থেকে অন্তর [0,1] পর্যন্ত একটি ফাংশন রয়েছে। একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন একটি পরিমাপ হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে (একটি সেট পরিমাপ কেবল সেটের উপর পিডিএফ এর অবিচ্ছেদ্য), তবে কিছু ব্যবস্থা আছে যেমন ডিরাক ডেল্টা (এটিতে যদি একটি সেট থাকে তবে পরিমাপ 1 থাকে)$x_0$, এবং অন্যথায় শূন্য) যা কঠোরভাবে বলা হয়, প্রচলিত অর্থে কার্যকর হয় না।

— সংগৃহীত

Answer 2

কারণ সংক্ষেপে প্রতিটি পদটি ভারসাম্যহীন d দিয়ে থাকে$x$। খুব গুরুত্ব সহকারে খুব প্রাথমিক উদাহরণের মধ্য দিয়ে চলার মাধ্যমে এর গুরুত্ব সম্ভবত খুব সহজেই বোঝা যায়।

নীচের আয়তক্ষেত্রাকার অঞ্চলের অধীনে অঞ্চলটি গণনা করতে রিমন সামিট ব্যবহার করার কথা বিবেচনা করুন (রিমেন সমীকরণের আনুমানিক দিকটি সরানোর জন্য একটি আয়তক্ষেত্রটি বেছে নেওয়া হয়েছিল, যা এখানে ফোকাস নয়): ] আমরা 2 টি উপগতি ব্যবহার করে বা 4 টি উপগঠন ব্যবহার করে অঞ্চলটি গণনা করতে পারি । 2 টি সাবগিরিয়নের ক্ষেত্রে (বোঝানো হয়েছে)$A_i$), অঞ্চলগুলি দেওয়া হয়

$$A_1=A_2=5\times 2 = 10$$ যদিও ৪ টি সাবগিগিনের ক্ষেত্রে (চিহ্নিত করা হয়েছে) $B_i$), অঞ্চলগুলি দেওয়া হয় $$B_1=B_2=B_3=B_4=5\times 1 = 5$$ উভয় ক্ষেত্রেই মোট ক্ষেত্রের সাথে সম্পর্কিত $$\sum_{i=1}^2 A_i = \sum_{i=1}^4B_i = 20$$ এখন, এটি মোটামুটি সুস্পষ্ট, তবে এটি একটি সূক্ষ্ম গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন উত্থাপন করে যা হ'ল: এই দুটি উত্তর কেন একমত হয় ? স্বজ্ঞাতভাবে এটি স্পষ্ট হওয়া উচিত যে এটি কাজ করে কারণ আমরা দ্বিতীয় বিভাগের দ্বিতীয় সেটটির প্রস্থ হ্রাস করেছি । আমরা প্রতিটি প্রস্থের প্রস্থের সাথে 8 টি সাবগ্লিনের সাথে একই জিনিসটি করার বিষয়টি বিবেচনা করতে পারি$0.5$, এবং আবার 16 এর সাথে ... এবং আমরা এই প্রক্রিয়াটি অবিরত করতে পারি যতক্ষণ না আমাদের কাছে অসীম সংখ্যক উপমঞ্চ রয়েছে, প্রত্যেকটির ছোট ছোট প্রস্থ রয়েছে$x$। যতক্ষণ না সবসময় সঠিকভাবে ওজনযুক্ত হয়, উত্তরগুলি সর্বদা সম্মত হওয়া উচিত। সঠিক ওজন ছাড়াই, যোগফলটি সহজভাবেই হবে$\infty$।

এই কারণেই আমি সর্বদা শিক্ষার্থীদের কাছে এটি নির্দিষ্ট করে নিশ্চিত করি যে অবিচ্ছেদ্য কেবল প্রতীক নয় $\int$, কিন্তু প্রতীক জোড়া$\int \text dx$।

Answer 3

আপনি সম্ভাব্যতা বন্টনকে ভুল উপায়ে ব্যাখ্যা করছেন - এটি অসীমভাবে বিভক্ত সম্ভাবনার একটি সংখ্যা, সুতরাং আপনি এটি বলতে পারবেন না যে "একটি (0, 1) ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে 0.5 মান আঁকার সম্ভাবনা" কারণ সেই সম্ভাবনাটি শূন্য - আপনার পেতে পারে এমন অসীম সংখ্যক মান রয়েছে , এবং সেগুলির সবকটিই সমানভাবে সম্ভবত, তাই স্বতন্ত্রভাবে কোনও পৃথক ফলাফলের সম্ভাবনা হ'ল$\frac{1}{\infty} = 0$^[1] ।

পরিবর্তে, আপনি বিভিন্ন ফলাফলের সম্ভাবনাটি দেখতে পারেন এবং অঞ্চলগুলি (এবং তাই অবিচ্ছেদ্য) ব্যবহার করে তা পরিমাপ করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি (0, 1) ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে আঁকেন (পিডিএফ সহ)$f(x) = 1$ জন্য $x \in \left[0, 1\right]$ এবং $f(x) = 0$ অন্যথায়), তারপরে আপনার ফলাফলের মধ্যে থাকা সম্ভাবনা $0.2$ এবং $0.3$ হয়

$\int_{0.2}^{0.3} f(x)\ dx = \int_{0.2}^{0.3} 1\ dx = \left[x \right]_{0.2}^{0.3} = 0.3 - 0.2 = 0.1$

অর্থাৎ আপনার কাছে এই ব্যাপ্তিতে ফলাফল পাওয়ার 10% সম্ভাবনা রয়েছে।

^[1] গণনার আমার অতি-সরলকরণে হার্ট অ্যাটাক হওয়া সমস্ত ব্যক্তির জন্য দুঃখিত।

Answer 4

সাধারণভাবে আপনার যুক্তি এই অনুমানে ব্যর্থ হয়:

তবে, যেহেতু সেই ব্যবধানে সীমাহীন সংখ্যার সংখ্যা রয়েছে, তাই সমস্ত সম্ভাবনার যোগফল অনন্ত পর্যন্ত না হওয়া উচিত?

এটি গাণিতিক সমস্যা, যা এলিয়া প্যারাডক্সেসের জেনো থেকে পরিচিত ।

তাঁর দাবি দুটি ছিল

1. একটি তীর কখনই তার লক্ষ্যে পৌঁছতে পারে না
2. অ্যাকিলিস কখনই কোনও কচ্ছপকে ছাপিয়ে যায় না

উভয়ই এই দাবির ভিত্তিতে ছিল যে আপনি ইতিবাচক সংখ্যার অসীম অনুক্রম তৈরি করতে পারেন (পূর্বের ক্ষেত্রে এটি বলে যে একটি তীর লক্ষ্যমাত্রার বাকি পথের অর্ধেকগুণে উড়তে হবে, পরবর্তীকালে অ্যাকিলিস বলেছে যে কচ্ছপ আগে যেখানে ছিল সেখানে পৌঁছতে এবং এর মধ্যেই কচ্ছপ একটি নতুন অবস্থানে চলে যায় যা আমাদের পরবর্তী রেফারেন্স বেস পয়েন্ট হয়ে যায়)।

দ্রুত এগিয়ে, এর ফলে অসীম অঙ্কের সন্ধান ঘটে।

সুতরাং অসীমের সাধারণ পরিমাণে অনেক ধনাত্মক সংখ্যার অগত্যা অসীম হতে হবে না ; তবে এটি কেবল অসীম হতে পারে না (যদি একটি চরম ওভারসিম্প্লিফিকেশন, যার জন্য দুঃখিত) অনুক্রমের প্রায় সমস্ত সংখ্যা 0-এর খুব কাছাকাছি হয়, আপনি যতই শূন্যের কাছে তাদের অনুরোধ করবেন না কেন।

অনন্ত আরও বেশি কৌশল চালায় plays অর্ডার যার মাধ্যমে আপনি ক্রম উপাদান যোগ গুরুত্বপূর্ণ অত্যন্ত এবং যে রেকর্ডকারী বিভিন্ন ফলাফল দেয় পরিস্থিতি হতে পারে!

অসীমের প্যারাডক্স সম্পর্কে আরও কিছু অন্বেষণ করুন । আপনি অবাক হতে পারেন।

Comments

প্রশ্নটি এমনভাবে ব্যাখ্যা করার মতো কোনও উপায় আমি দেখতে পাচ্ছি না যে ওপি গণনাযোগ্য পরিমাণের কথা চিন্তা করে।

— জিয়েক

Answer 5

$f(x)$ সম্ভাবনার ঘনত্ব বর্ণনা করে এবং এতে ইউনিট রয়েছে $\frac{p}{x}$। অতএব প্রদত্ত এক্সের জন্য আপনি পান$f(x) = \frac{1}{b-a}$ ভিতরে $\frac{p}{x}$ইউনিটগুলি, এবং পি নয়, যেমন আপনি সন্ধান করছেন। আপনি যদি পি চান, আপনার প্রদত্ত পরিসরের জন্য বিতরণ ফাংশনটি দরকার, এটি হ'ল x এর সম্ভাব্যতা p এবং a এবং b এর মধ্যে।

আশা করি এটি উপলব্ধিযোগ্য।